橫縣

[拼音]:gong’e hanshu

[英文]:conjugate function

對於週期為 2π的勒貝格可積函式 ƒ(x)(以下記為ƒ∈l1(-π ,π)),積分

幾乎處處存在。函式愝(x)稱為ƒ(x)的共軛函式。愝(x)未必屬於l1(-π,π),例如

是某個ƒ∈l1(-π,π)的傅立葉級數,但ƒ的共軛函式

logn卻不屬於l1(-π,π)。然而,當ƒ∈lp(p>1)時,有

,就是說,愝∈lp,這是著名的里斯定理。

共軛函式的概念和單位圓內解析函式的理論有密切關係。假設

(2)

是ƒ ∈l1(-π,π)的傅立葉級數,記為σ[ƒ]。置сk=αk-ibk,那麼級數(2)就是冪級數

(3)

在單位圓周z=eix(0≤x≤2π)上的實部。它的虛部

(4)

就是ƒ的共軛級數,記為σ[ƒ]。在一定條件下,它是共軛函式愝(x)的傅立葉級數。共軛函式的性質與傅立葉級數σ[ƒ]的收斂性有密切關係。

以冪級數(3)為橋樑,傅立葉級數σ[ƒ]的許多性質,可以藉助於圓內解析函式的理論來推導。這是因為級數(3)在單位圓內是一個解析函式F(z),而解析函式是強有力的理論工具,ƒ(x)與愝(x)的許多深刻的性質便可以通過對F(z)的研究得出。這種方法稱為傅立葉分析中的複變函式論方法。例如積分(1)的存在性,以及上述里斯定理的證明都是通過這種方法得到的,它對傅立葉級數理論的發展有著重要意義。