非線性板殼理論

[拼音]：leiyulun

[英文]：class field theory

研究數域上阿貝爾擴張的理論。它的基本思想是用基域的算術性質去刻畫它上面的阿貝爾擴張。設 k是一數域，I是k的一切非零的分式理想構成的乘法群，I也記作l(k)。對於k上的任一阿貝爾擴張K，存在I的一個狹義子群h與K對應，使得k的每個素理想P在K中分裂的充分必要條件是P屬於h。

D.希爾伯特於1898年至1899年間作了如下的猜想：設

C

k是k的理想類群，於是存在一個惟一的阿貝爾擴張K/k適合下列條件：

（1）K/k的伽羅瓦群G(K/k)≌

C

k；

（2）k中每個素理想在K中非分歧；

（3）設k的素理想P在

C

k中所代表的類的階為ƒ。則ƒ|hk， hk＝｜

C

k｜。令hk=g·ƒ，於是P在K中分解成g個不同的素因子的積，它們對P的公共剩餘次數為ƒ。

希爾伯特就hk=2的情形給出了證明，以他的洞察力對一般情況作了如上的猜想。P.H.富特文格勒於1907年證明了如上的猜想。這個K/k被稱為希爾伯特類域。

在推廣希爾伯特類域的道路上，H.韋伯做了一步重要的準備工作，他在他的著作《代數學教程》第3卷中推廣了理想類群的概念。k的每個素理想P決定一類互相等價的P進賦值，這個等價類稱為k的一個有限素點，仍用P表示。此外，k還有r1個到實數域R的實嵌入σ1，σ2，…，σr1和r2對到複數域

C

的共軛的復嵌入

決定出k的r1+r2個阿基米德絕對值

如下：

，其中| |表示複數絕對值。由

決定的等價類稱為k的無限素點，依次記作

，前r1個稱為實素點，後r2個稱為復素點。用

P

表示k的全部素點，用

P

的元素作形式積

，其中vi≥0，μj≥0，而且只有有限多個vi不為0。M稱為k的一個整除子。所有整除子構成一個乘法么半群，而且是一個高斯半群。

稱為M的有限部分。

每個整除子 M如下定義I(k)的一個模M的束子群：元素α∈k*(k*=k-{0})稱為滿足下列乘法同餘式(*)α呏1(mod×M)，是指①將理想(α-1)/M0表成互素整理想的商U/

，要求

與M0互素，而且②σi(α)>0對所有μi>0的實素點Pinfin;i。所有滿足(*)的α生成的主理想(α)的集合，記作S

，構成l(k)的一個子群，稱為模M的束子群。當M為單位整除子時，S1=I 即主理想子群。

用I

(k)=I

表示I 中由一切與M0互素的整理想生成的子群。於是S

嶅I

而且I

的階有限。I的一個子群h 稱為嚴格意義下的理想群，是指存在k的一個整除子M使得S

嶅h嶅I

。以下說的理想群都是這種嚴格意義下的理想群。設h1和h2為任意兩個理想群，分別由整除子M1和M2所規定:S

嶅hi嶅I

，i=1，2。如果(h1)

=h1∩I

=h2∩I

=(h2)

，那麼h1和h2稱為是等價的，記作h1～h2。於是，所有理想群分成一些等價類，包括理想群h的等價類記作(h)。若屬於同一類的理想群h1和h2，分別由M1、M2所規定，則有I

/h1≌I

/h2。因而每個等價類(h)決定了一個惟一的商群，稱為理想類群。對每個等價類(h )，存在一個整除子

F

使得(h )包含一個由

F

規定的理想群，而且若一個由整除子M規定的理想群屬於(h)，則

F

整除M。

F

由(h)惟一決定，稱為(h)的導子。(I)的導子為1。

高木貞治在1920年發表的文章中，應用H.韋伯的理想類群，成功地推廣了希爾伯特的結果，並且建立了完整的類域論。設K/k為數域k 上一個n 次伽羅瓦群擴張，G為它的伽羅瓦群。k的一個有限素點P稱為在K 中分歧，是指素理想P在K 中分歧；k的一個實素點P∞稱為在K中分歧，是指與P∞對應的k 的實嵌入σ 在K上的每個開拓都是復嵌入。對於任一σ∈G 和K 的任一分式理想U，令

。設B為K的一個素理想，且位於k的素理想P之上，令B對P的剩餘次數為ƒ。則

/k(B)=Pƒ。令

/k(I(k))={

/k(U)|U取遍K的非零的分式理想｝。高木貞治得到以下的重要結果：

（1）基本定理設K/k為數域k上一n次阿貝爾擴張，則存在k的一個整除子M，僅含在K內分歧的素點(有限或無限)作為素因子，使得理想群h =

/k(I

(K))S

在I

(k)內的指數為n。

（2）分歧定理設(h)的導子為

F

，則K的一個素點P在K內分歧的充分必要條件是P｜

F

。

（3）同構定理K/k的伽羅瓦群與I

(k)/h 同構。

（4）分解定理設P為k的與

F

互素的任一素理想;設h

F

∈(h)為由

F

規定的理想群；設ƒ 是最小正整數使得Pƒ∈h

F

，則P在K 中分解成

個素理想的積。

（5）存在定理設h 為k的任一理想群，由整除子M所規定，指數(I

(k):h)=n。則存在一個n次阿貝爾擴張K/k使得h=

/k(I

(K))S

。

於是，在k上有限阿貝爾擴張K/k和k的理想群（等價類）之間建立了一個一一對應。K/k 稱為對應於h 的類域，同時h 稱為對應於K/k的類群。(h)的導子稱為K/k的導子。

E.阿廷於1927年證明了著名的一般互反律，設K/k為數域k上一個n次阿貝爾擴張，G(K/k)為它的伽羅瓦群，O為K 的整數環。設P為k的任一個在K 中不分歧的素理想，Z為P在K 中的一個素因子B的分解群，Z 包含一個對應於B的弗羅貝尼烏斯置換σ 使得 ασ呏α

P (modB)，α∈O，其中N

表示P的絕對範數。這個σ與B的選取無關，由P惟一決定，因而可記成

，稱為阿廷符號。它還可以推廣如下：設

是k 的任一個非零分式理想，Pi(1≤i≤m)在K中都不分歧，則定義

。

阿廷互反律設K/k為數域k上一個n次阿貝爾擴張，δ 為它的判別式， Iδ 的定義如前，則有：

（1）阿廷對映

是 Iδ到K/k的伽羅瓦群G(K/k)的一個滿同態。

（2）存在k的一個整除子M，僅以在K 中分歧的素點為它的素因子，使得S

嶅Ker(ω)(Ker(ω)表ω的核)，從而Ker(ω)=

/k(I

(K))S

。適合S

嶅Ker(ω)的一切整除子M的最大公因子

F

就是K/k的導子。

同構定理和分解定理是阿廷互反律的直接推論。

除了存在定理⑤以外，還有一個具有給定的區域性性質的有限阿貝爾擴張存在的定理，就是1932年發表的格魯恩瓦爾德定理。王湘浩於1948年發現該定理包含的錯誤，並於1950年給出了正確的更一般的陳述和證明。從此以後人們稱之為格魯恩瓦爾德－王定理。它是著名定理“數域上中心單（結合）代數為迴圈代數”成立的主要根據之一。

有理數域

Q

上的分圓域是類域的一個雛形。設K＝

Q

(ζ)為 m(m>1)分圓域，ζ為一個m 次本原單位根，當m為偶數時，假定4│m。此時K是

Q

上φ(m)次阿貝爾擴張，它的伽羅瓦群

，K 的每個自同構σ由它在ζ上的作用惟一決定。若 ζσ=ζr，σ可記成 σr，(r， m)=1，

Q

只有一個無限素點即實素點p∞。在K內分歧的素點恰由m的素因子和p∞組成。設p是任一個與m互素的素數，P為p在K中的一個素因子，ƒ為P對p的剩餘次數。於是NK/Q(P)=pƒ，而且對應於p 的弗羅貝尼烏斯置換是 σp:ζ捚＝ζp。於是

。其次，

Q

的每個非零分式理想是一個主理想，而且可由一個正有理數生成，與m互素的分式理想可寫成

，其中每個素數 pi與m 互素，vi∈Z。於是

。

由此可知， (α)屬於阿廷對映ω 的核，其充分必要條件是

。所以

。這就是有理數域上m分圓域的互反律。

C.謝瓦萊於20世紀30年代末引進了伊代爾 (idele)概念以替代理想概念，從而將有限阿貝爾擴張的阿廷對映推廣到任意（有限或無限）阿貝爾擴張上去。對於數域k的每個素點P，有一個區域性域

(區域性緊緻拓撲域)，k

的乘法群k

是區域性緊緻交換群。除有限多個無限素點外，對每個有限素點P， k

有一個極大緊子群即k

的單位群U

。作直積 ∏k

，它的元素α可寫作α=(α

)，α

∈k

。如果α除去有限多個分量(其中包括全部無限素點上的分量)外，其餘每個分量都是k

的單位，那麼α稱為一個伊代爾。所有伊代爾集合是∏k

的一個子群，記作Jk。Jk顯然是所有這種子群

的並集，其中S 是k的素點集的任一個包含全部無限素點的有限子集。因而，由∏k

的乘積拓撲誘匯出的Jk的拓撲是區域性緊的。若α=(α

)的所有分量α

=α∈k*，則α顯然是一個伊代爾，稱為主伊代爾。所有主伊代爾構成Jk的一個子群，且與k*同構，仍記作k*。於是商群

C

k=Jk/k*，稱為伊代爾類群。

自從H.哈塞利用區域性域上的布饒爾群以建立區域性類域論以來，人們逐步認識到群的上同調理論和類域論之間的聯絡，經過許多人的努力，應用群的上同調理論，對類域論作了系統處理。首先建立區域性類域論，然後由區域性類域論組織成整體類域論。設K/k為數域k上任一有限阿貝爾擴張，G為它的伽羅瓦群。對k的每個素點P，取定K的一個素點B使得B|P。K