氣體星雲

[拼音]：suiji guocheng

[英文]：stochastic process

隨時間推進的隨機現象的數學抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由於受許多隨機因素的影響，它本身具有隨機性，因此{xn，n=1，2，…}便是一個隨機過程。類似地，森林中某種動物的頭數，液體中受分子碰撞而作布朗運動的粒子位置，百貨公司每天的顧客數，等等，都隨時間變化而形成隨機過程。嚴格說來，現實中大多數過程都具有程度不同的隨機性。

氣體分子運動時，由於相互碰撞等原因而迅速改變自己的位置與速度，其運動的過程是隨機的。人們希望知道，運動的軌道有什麼性質(是否連續、可微等等)？分子從一點出發能達到某區域的概率有多大？如果有兩類分子同時運動，由於擴散而互相滲透，那麼擴散是如何進行的，要經過多久其混合才會變得均勻？又如，在一定時間內，放射性物質中有多少原子會分裂或轉化？電話交換臺將收到多少次呼喚？機器會出現多少次故障？物價如何波動？這些實際問題的數學抽象為隨機過程論提供了研究的課題。

一些特殊的隨機過程早已引起注意，例如1907年前後，Α.Α.馬爾可夫研究過一列有特定相依性的隨機變數，後人稱之為馬爾可夫鏈（見馬爾可夫過程）；又如1923年N.維納給出了布朗運動的數學定義（後人也稱數學上的布朗運動為維納過程），這種過程至今仍是重要的研究物件。雖然如此，隨機過程一般理論的研究通常認為開始於30年代。1931年，Α.Η.柯爾莫哥洛夫發表了《概率論的解析方法》；三年後，Α.Я.辛欽發表了《平穩過程的相關理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過程與平穩過程奠定了理論基礎。稍後，P.萊維出版了關於布朗運動與可加過程的兩本書，其中蘊含著豐富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《隨機過程論》問世，它系統且嚴格地敘述了隨機過程的基本理論。1951年伊藤清建立了關於布朗運動的隨機微分方程的理論(見隨機積分)，為研究馬爾可夫過程開闢了新的道路；近年來由於鞅論的進展，人們討論了關於半鞅的隨機微分方程；而流形上的隨機微分方程的理論，正方興未艾。60年代，法國學派基於馬爾可夫過程和位勢理論中的一些思想與結果，在相當大的程度上發展了隨機過程的一般理論，包括截口定理與過程的投影理論等，中國學者在平穩過程、馬爾可夫過程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面也做出了較好的工作。

研究隨機過程的方法是多樣的，主要可分為兩大類：一是概率方法，其中用到軌道性質、停時、隨機微分方程等；另一是分析方法，工具是測度論、微分方程、半群理論、函式論、希爾伯特空間等。但許多重要結果往往是由兩者並用而取得的。此外，組合方法、代數方法在某些特殊隨機過程的研究中也起一定的作用。研究的主要課題有：多指標隨機過程、流形上的隨機過程與隨機微分方程以及它們與微分幾何的關係、無窮質點馬爾可夫過程、概率與位勢、各種特殊過程的專題討論等。

隨機過程論的強大生命力來源於理論本身的內部，來源於其他數學分支如位勢論、微分方程、力學、複變函式論等與隨機過程論的相互滲透和彼此促進，而更重要的是來源於生產活動、科學研究和工程技術中的大量實際問題所提出的要求。目前隨機過程論已得到廣泛的應用，特別是對統計物理、放射性問題、原子反應、天體物理、化學反應、生物中的群體生長、遺傳、傳染病問題、排隊論、資訊理論、可靠性、經濟數學以及自動控制、無線電技術等的作用更為顯著。

隨機過程的定義

設 (Ω，F，p)為概率空間（見概率），T為指標t的集合（通常視t為時間），如果對每個t∈T，有定義在Ω上的實隨機變數x(t)與之對應，就稱隨機變數族x＝{x(t)，t∈T}為一隨機過程（簡稱過程）。研究得最多的是T 為實數集R＝(-∞，∞)的子集的情形；如果T為整數n的集，也稱{xn}為隨機序列。如果T是d維歐幾里得空間Rd（d為大於1的正整數）的子集，則稱x為多指標隨機過程。

過程x實際上是兩個變元(t，ω)(t∈T，ω ∈Ω)的函式，當t固定時，它是一個隨機變數；當ω固定時，它是t的函式，稱此函式為隨機過程（對應於ω）的軌道或樣本函式。

如不限於實值情況，可將隨機變數與隨機過程的概念作如下一般化:設(E，ε)為可測空間（即E為任意非空集，ε為E的某些子集組成的σ域），稱x=(x(ω)， ω∈Ω)為取值於E的隨機元，如果對任一

B

∈ε，{ω:x(ω)∈

B

}∈F。特別，如果

為Rd中全體波萊爾集所成的σ域（稱波萊爾域），則取值於Rd中的隨機元即d維隨機向量。如果

其中RT為全體實值函式ƒ=(ƒ(t)，t∈T)的集，而

為包含一切RT中有限維柱集

的最小σ域，則取值於E的隨機元x 即為上述的(實值)隨機過程。如對每個t∈T，有取值於E 的隨機元x(t)與之對應，則稱{x(t)，t∈T}為取值於E的隨機過程。

以下如無特別宣告，只討論取值於(R 1，B1)的隨機過程。

有窮維分佈族

一維分佈函式描述了隨機變數取值的概率規律（見概率分佈），對隨機過程x={x(t)，t∈T}起類似作用的是它的全體有窮維分佈函式：對任意 n個tj∈T，i＝1，2，…，n，考慮

的聯合分佈函式

，

，全體聯合分佈

稱為x 的有窮維分佈族，它顯然滿足下列相容性條件：

（1）對(1，2，…，n)的任一排列(λ1，λ2，…，λn)，

；

（2）若m

。反之，有著名的柯爾莫哥洛夫定理：設已給T及一族分佈函式

如果它滿足①、②，則必存在概率空間(Ω，F，p)及定義於其上的隨機過程x，而且x的有窮維分佈族重合於F。

從測度論的觀點看，每一隨機過程x={x(t)，t∈T}在(RT，BT)上產生一概率測度PX，稱為x 的分佈，它在上述柱集上的值就是

正態過程

有窮維分佈都是正態分佈的隨機過程，又稱高斯過程。就象一維正態分佈被它的均值（見數學期望）和方差所確定一樣，正態過程{x(t)，t∈T}被它的均值函式m(t)=Ex(t)和協方差函式

λ(s，t)=Ex(s)x(t)-m(s)m(t)

所確定，其中λ(s，t)是對稱非負定函式，即λ(s，t)=λ(t，s)，而且對任意的 tj∈T及實數αj，1≤i≤n，有

反之，對任給的有限實值函式m(t)和對稱非負定函式λ(s，t)，由柯爾莫哥洛夫定理可證，存在一個正態過程，以m(t)為其均值函式，以λ(s，t)為其協方差函式。

根據中心極限定理，許多實際問題中出現的隨機過程可近似地視為正態過程。此外，正態過程有一系列的好性質，如它的最佳線性估計重合於條件期望，這一點在應用上是很方便的，既準確又便於計算。因此正態過程在實際中有廣泛的應用，在無線電通訊及自動控制中尤為重要。為方便計，設m(t)呏0。任取tj，t∈T，用L(x(t1)，x(t2)， …，x(tn))表示由x(t1)，x(t2)，…，x(tn)的線性組合所構成的希爾伯特空間，x(t)在此空間上的投影記作

稱為x(t)關於x(t1)，x(t2)，…，x(tn)的最佳線性估計，即線性最小均方誤差估計;條件期望E(x(t)|x(t1)，x(t2)，…，x(tn))則是非線性的最小均方誤差估計。對正態過程來講，這兩種估計以概率1相等。

可分性

設F是p-完備的，即F包含任何概率為零的集的一切子集。在隨機過程的研究中，Ω的某些重要的子集並不能由事件（即F中的元素）經可列次集運算而得到。例如

對一切

若T不可列，則作為不可列多個事件的交，A未必是一個事件，也就談不上它的概率。為了解決這類問題，杜布引進了隨機過程可分性的概念。稱過程x 關於T 的某一可列稠集Q可分(或簡稱可分)，是指除了一個概率為零的集N外，x在每一t∈T 處的值，可以用限於Q的x在t附近的值來任意逼近；即任給不屬於N的ω，存在{rj}∈Q，使得rj→t，且x(rj，ω)→x(t，ω)。所謂Q為T 的稠集，是指T 的每一點必是Q 中某個點列的極限。如果x 關於Q 可分，則可以證明上述的 A是一個事件，而且有p(A)＝p({ω:|x(r，ω)|≤α，對一切r∈Q})。如果過程x關於T的任一可列稠集都可分，則稱x完全可分。

設x={x(t)，t∈T}與Y={Y(t)，t∈T}為定義在概率空間(Ω，F，p)，上的兩個隨機過程，如果對任何t∈T，p(x(t)=Y(t))=1，則稱x與Y等價(x與Y互為修正)；這時，x和Y有相同的有窮維分佈族。雖然任給的過程 x未必可分，但杜布證明了下列重要結果：對任一過程x，必存在與它等價的可分過程Y 。因此在討論僅與有窮維分佈有關的性質時，可取一可分過程Y來代替x。

過程x稱為隨機連續，如果對任一t0∈T，在依概率收斂的意義下(見概率論中的收斂)有

，對隨機連續的過程x，必存在一個完全可分過程Y與之等價。

可測性

為了研究樣本函式對t的積分等問題，需要x(t，ω)關於兩個變數(t，ω)的可測性。設T是R中某區間，B(T)是T中全體波萊爾集所成的σ域，B(T)×F表示乘積σ域，μ=L×P表示勒貝格測度L(見測度論）與p的乘積測度，

表示 B(T)×F關於μ的完備化σ域。

稱隨機過程x為可測的，如果對任一實數α，有

：

稱隨機過程x 為波萊爾可測的，如果對任一實數α，有

。如果過程x 隨機連續，則必存在與x 等價的、可測而且完全可分的過程Y。

有時還需要更強的可測性。設給了F的一族子σ 域{

，t∈T}，其中T=R+=[0，∞)，滿足：

（1）單調性，對s≤t，

嶅

；

（2）右連續性，

③完備性，F0包含F 的一切概率為零的集。稱x 為{

}-適應的，如果對任一t，xt為

可測；稱xt為{

}-循序可測的，如果對任一t∈T 及實數α，有{(s，ω):x(s，ω)≤α， s≤t}

([0，t])×

。

循序可測過程一定是適應的而且是波萊爾可測的，但逆之不然，除非樣本函式性質較好。例如所有樣本函式都右連續的適應過程一定是循序可測。使一切樣本函式右連續的適應過程都可測的T×Ω上的最小σ域，稱為可選σ域，關於可選σ域可測的過程稱為可選過程。可見，可選可測性是比循序可測性更強的一種可測性。進一步，使一切樣本函式連續的適應過程都可測的T ×Ω上的最小σ域，稱為可料σ域，關於可料σ域可測的過程稱為可料過程。這又是一種比可選可測性更強的可測性。可以證明，樣本函式左連續的適應過程都是可料過程。

軌道性質

當人們觀察物體作隨機運動時，最感興趣的問題之一是它的軌道性狀，因此隨機過程論中一個重要問題是研究軌道性質，例如探討在什麼條件下，過程的軌道x(t，ω)， α≤t≤b，以概率1有界，或無第二類斷點，或是階梯函式，或是連續函式，等等。函式ƒ(t)在[α，b]上無第二類斷點是指：對每一個t0∈(α，b)，存在左、右極限

及

而在α、b)處，則存在單側極限。

設過程{x(t)， t∈[α，b]}可分，而且存在常數α>0，ε>0，с≥0，使得對任意的t∈[α，b]，t+Δt∈[α，b]，有

，則過程的軌道以概率1在[α，b]上一致連續。設可分過程{x(t)，t∈[α，b]}隨機連續，而且存在常數p>0，q>0，r>0，с≥0，使得對任意的α≤t1≤t2≤t3≤b，有

則過程的軌道以概率 1無第二類斷點。正態過程的軌道性質有更好的結果:對均值函式m(t)呏0的可分正態過程{x(t)，t∈[α，b]}，只要存在с≥0，α>0，使得

，

x的軌道就以概率1連續。

停時

這一概念的引進是隨機過程論發展史中的一件大事，它帶來了許多新的研究課題，而且擴大了理論的應用範圍。早在1945年，J.L.杜布關於馬爾可夫鏈的文章中已經有了停時的思想。60年代杜布、Ε.Б.登金（又譯鄧肯）、R.M.布盧門塔爾等應用停時於鞅及強馬爾可夫過程的研究；70年代，由於法國概率論學派的工作而使停時的理論更加完善。

直觀上，停時是描述某種隨機現象發生的時刻，它是普通時間變數t的隨機化。例如，燈泡的壽命、一場球賽持續的時間都可看成是停時。又如，作隨機運動的粒子首次到達某集A 的時刻τ，τ(ω)=inf{t>0，x(t，ω)∈A}，且約定inf═＝∞，當x 的軌道連續而且A是一個閉集時，τ就是一個停時，它是一個隨機變數，而且對任何t≥0，{τ≤t}∈σ{x(u)，u≤t}。

一般地，設在可測空間(Ω，F)中已給F的一族單調、右連續、完備的子σ 域族{

，t∈R+}，稱定義在Ω上的非負可測函式τ=τ(ω)（可取+∞為值）為

停時，如果對任意 t≥0，總有{τ≤t}∈

。這一定義的直觀背景是：把

理解為到t為止的全部資訊，一個可觀測的隨機現象發生的時刻τ是否不遲於t這一資訊應包含在

之中。

類似於

，對停時τ可以定義σ域

，其中

為包含一切

的最小σ域。Fτ可理解為過程到τ為止的全部資訊。

停時有許多好的性質，例如，若τ1、τ2是停時，則τ1∨τ2、τ1∧τ2也是停時，其中

，

;還有

，這裡

表示包含

、

的最小σ域；進一步，若{τn}是一列停時，則

也是停時。更細緻地研究停時，需要對其進行分類，重要的型別有可料時、絕不可及時等。

二階過程

均值和方差都有限的實值或復值隨機過程稱為二階過程。二階過程理論的重要結果之一是它的積分表示。設F是可測空間(Λ，A)上的有限測度，如果對每一A∈A，有一復值隨機變數Z(A)與它對應，且滿足：

（1）E|Z(A)|2< ∞；

（2）

則稱Z＝{Z(A)，A∈A}為(Λ，A)上的正交隨機測度。定義在Λ上、關於A可測而且關於F平方可積的函式全體記為L2（Λ，A，F）。給了一個正交隨機測度Z，一族函式

，

，就可以產生一個二階過程

，滿足

(1)

它的二階矩為

。 (2)

反之，對給定的二階過程，只要它的二階矩有積分表示(2)，就一定存在一個正交隨機測度Z，使過程本身有積分表示(1)。(1)和(2)分別稱為過程x和它的二階矩的譜表示。對均方連續的實二階過程{x(t)，t∈[α，b)]}，則有級數展開式

其中{ηn}是標準正交實隨機變數序列，即

；δnm=0，n=m時，δnm=1)，λn是積分方程

的本徵值，ψn是相應的本徵函式

Γ(t，s)=Ex(t)x(s)。

特殊隨機過程類

對過程的概率結構作各種假設，便得到各類特殊的隨機過程。除上述正態過程、二階過程外，重要的還有獨立增量過程、馬爾可夫過程、平穩過程、鞅點過程和分支過程等。貫穿這些過程類的有兩個最重要最基本的過程，布朗運動和泊松過程，它們的結構比較簡單，便於研究而應用又很廣泛。從它們出發，可以構造出許多其他過程。這兩種過程的軌道性質不同，前者連續而後者則是上升的階梯函式。

廣義過程

正如從普通函式發展到廣義函式一樣，隨機過程也可發展到廣義過程。設D為R上全體無窮次可微且支集有界的實值函式φ的集，定義在D上的連續線性泛函稱為廣義函式、全體廣義函式的集記為Dx。考慮D×Ω上的二元函式x(φ，ω)，如果對固定的ω，x(·，ω)∈Dx是廣義函式，而對固定的φ，x(φ，·)是隨機變數，則稱{x(φ，ω):φ∈D}為定義在(Ω，F，p)上的廣義過程。它在φ1，φ2，…，φn上的聯合分佈為