張其昀(1901～1985)

[拼音]：tuoyuan hanshu

[英文]：elliptic function

雙週期的亞純函式。它最初是從求橢圓弧長時引匯出來的，所以稱為橢圓函式。橢圓函式論可以說是複變函式論在19世紀發展中最光輝的成就之一。N.H.阿貝爾、C.G.J.雅可比和K.外爾斯特拉斯等人對此都有卓越的貢獻。一個函式ƒ(z)，如果存在著常數T≠0（可以是複數），使對一切z均有

ƒ(z+T)=ƒ(z) (1)

則稱ƒ(z)為周期函式，T為其週期。可使週期T滿足式(1)且有最小的模。

如果一函式ƒ(z)有兩個週期2ω，2ω┡，且

（以下恆設其>0），則稱ƒ(z)為雙週期函式。一般說來，ƒ(z)在z=z0附近的性態與在

附近的性態相同，m，n為任何整數;z0+

稱作z0的(週期)合同點。因此，研究ƒ(z)例如可只限於z在以0，2ω1=2ω，2ω2=2(ω+ω┡)，2ω3=2ω┡為頂點的平行四邊形p中變動。這個平行四邊形稱為ƒ(z)的基本週期四邊形或基本胞腔（見圖

。

只有極點的雙週期解析函式ƒ(z)就是橢圓函式。不妨假設在p的周界上沒有ƒ(z)的零點和極點，因為否則只要對復座標z作適當平移變換便可達到目的。

由劉維爾定理知，雙週期解析函式ƒ(z)如果沒有奇點則必為常數。又由留數定理易證，ƒ(z)在p 中也不可能只有一個單極點。且可證明，ƒ(z)在p 中取任何值的點的個數包括極點的個數（重數也計入個數內）均相同。橢圓函式在p中極點的個數稱作它的階數。因此，（非常數的）橢圓函式至少是二階的。

ξ函式與P函式

定義

(2)

式中∑┡表示對一切整數m，n求和，但m=n=0除外。ξ(z)是一亞純函式，以

為單極點(m，n=0，±1，±2，…)，且主部為

。它不是周期函式，但滿足下列關係：

(3)

式中ηj=ξ(ωj)為三個常數，它們之間有如下關係：

由式(3)可見

已是一個二階橢圓函式，以

為二階極點，並以

為其主部。

任何橢圓函式均可通過 P(z)及其各階導函式表出。

函式P(z)滿足微分方程

式中

。P函式還有所謂加法公式

σ函式

為了得到橢圓函式的一種方便的表示法，引進σ函式。

，

式中∏┡表示對一切整數m，n求積，但m=n=0除外。σ(z)是以

為單零點的整函式，它不是雙週期的，但滿足下列關係：

易證

任何 n階橢圓函式ƒ(z)，如分別以α1，α2，…，αn和β1，β2，…，βn為其零點和極點（計入重數），則總可使得

，這時它可表為

式中C為一常數。

如記

，

則可證

式中

，且根式已適當選定一支。

θ函式

在實際應用中，作變換

，可使橢圓函式ƒ(z)變成另一橢圓函式φ(υ)，後者的一個週期為1，另一週期為

。引進θ函式

式中q=

。θ(υ)不是橢圓函式，但有

由θ(υ)還可引進

函式如下：

這些函式都不是橢圓函式，但有

任何以2ω，2ω┡為週期的橢圓函式ƒ(z)，可通過θ函式表出：

如前式中αr，βr(r＝1，…，n)為ƒ(z)的零點與極點。

P(z)與

k(υ)間有如下確定的關係：

式中

。

k 函式間也有加法公式等。

雅可比橢圓函式

令

(根號取定一值)，定義雅可比橢圓函式如下：

它們都是 u的二階橢圓函式。sn u以 4K與2iK┡為週期，cnu以4K與2K+2iK┡為週期，dn u以2K與4iK┡為週期，式中

。它們和三角函式有某些相似之處。例如，有

，

等等。由這些公式，可得

，

這裡根式應選取u＝0時取值 ＋1的一支，由此可以得出

(4)

右邊這類含有四次根式的積分正是求橢圓的弧長時會遇到的那種型別，它們統稱為橢圓積分。由式(4)可見，u作為z的函式時，其反函式正好是橢圓函式sn u。橢圓函式名稱來源於此。

自守函式

橢圓函式 ƒ(z)具有這樣一個特點：當z經過平移變換

後函式值不變。變換T，T┡生成一群G，ƒ(z)的變數z經G中任何變換後ƒ(z)保持不變。

一般說來，設G =｛T｝為分式線性變換構成的群(但不是單位群，即不是由恆等變換一個元構成的群)，又設ƒ(z)為某區域D中的亞純函式，群G中的任何元T把D變成自身。且使

，

則稱ƒ(z)為區域D中關於群G的自守函式。橢圓函式就是全平面中關於群

整數}的自守函式。

自守函式理論是由H.龐加萊與F.克萊因等人在19世紀80年代建立起來的，它對複變函式論的許多分支以及微分方程都有重要影響。