吳有訓(1897～1977)

[拼音]：xushu

[英文]：ordinal number

集合論基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的數的推廣。序數概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又是偏序集、全序集的特殊情形。

偏序、全序和良序

次序是二元關係（見對映）的一個非常重要的型別。設R是定義在A上的滿足下列條件的二元關係：

（1）對於一切x∈A有xRx（自反性）；

（2）對於一切x，y∈A，由xRy與yRx可得x=y（反對稱性）；

（3）對於一切x，y，z∈A，由xRy與yRz可得xRz（傳遞性），就稱R是定義在A上的偏序，也稱半序。偏序R通常記為≤或

，α≤b)讀作α在b前。集合A連同其上定義的偏序≤，稱為偏序集，記為〈A，≤〉。實數集上的通常的大小關係、集合之間的被包含關係、自然數之間的可整除關係都是偏序的例。設≤為A上的偏序。如果在A上定義一個關係<，使得x

（1）′對任何x∈A，xy，三者必居其一且僅居其一。實數集及其任何子集在通常的≤關係下是全序集的例。對於全序集〈A，≤〉如果再加上條件⑤A的任一非空子集都有最小元，就稱≤為A上的良序，〈A，≤〉稱為良序集。按任何順序排起來的有限集，按自然順序的自然數集，將所有奇數排在前面、所有偶數排在後面的自然數集{1，3，5，…，2，4，6，…}都是良序集之例。但整數全體，區間［0，1］，就不是良序集。設，<

B

，≤2>為兩個偏序集，如果存在A到

B

的雙射φ使得對於一切x，y∈A，x≤1y當且僅當φ(x)≤2φ(y)，便稱兩偏序集為序同構，記為A埍

B

。例如奇數集與偶數集序同構，但是上面列舉的三個良序集沒有兩個是序同構的。

序數的定義

序數原來被定義為良序集的序型，而良序集A的序型凴，作為從A的元素的屬性中抽象出來的結果，是所有與A序同構的一切良序集的共同特徵，即凴定義為{

B

｜

B

埍A}。這個定義從形式上看來是十分簡單明瞭的，但在ZFC公理系統中不能證明它構成一個集合。事實上，{

B

｜

B

埍A}是一個真類。因此，原來的那個定義是不成功的，必須修正，另走別的途徑。設 α是一個良序集，ξ∈α，稱S(ξ)＝{β∈α|β<ξ}為在良序集α中由ξ所生成的初始截段。1923、1928年，J.馮·諾伊曼把序數定義為滿足下述條件的良序集α:對於一切ξ∈α，S(ξ)=ξ。例如在集合9={0，1，2，…，8}中取一個元素2，S(2)={0，1}=2，9中任何其他元素也具有這個性質，所以9是一個序數。

集A稱為歸納集，如果①═∈A，②只要α∈A就有α′＝α∪{α}∈A。歸納集A的存在性是由無限公理保證的。A的一切歸納子集之交N稱為自然數集，它是最小的歸納集。N是良序的，並且其中任一元素n的初始截段S(n)={0，1，2，…，(n-1)}=n，所以N是一個序數，這個序數通常用ω表示。N 的每一個元素n都是序數，稱為有限序數。有限序數以屬於每一個歸納集作為特徵。其他序數稱為超限序數，ω 就是最小的超限序數。1937年R，M.魯賓遜給出了序數的另一等價定義，良序集是一個序數，若〈α，∈〉是傳遞集，即只要x∈α且y∈x就有y∈α，這些定義沒有康托爾原來定義的缺點。

序數有三種，第一種是0；第二種是某一序數α的後繼α′=α∪{α}，稱為後繼序數；其他序數屬於第三種，稱為極限序數。對於任何良序集A，必有一個且僅有一個序數α使A與α序同構，此時α稱為A的序數，用凴 =α表示。任何兩個具有相同序數的良序集，必定序同構，因此序數是同構良序集的共同特徵，這正是康托爾序數概念的實質。

序數的算術

設αξ（ξ<λ）為一序數列，在集合A=

中規定其任意兩個元素〈γ，i〉、〈δ，j〉的次序如下：

<γ，i>＜<δ，j>當且僅當i＜j或者i=j且γ＜δ；則〈A，＜〉構成一個良序集。A的序數可定義為序數列αξ(ξ<λ)之和，用

表示之。特別地，當λ=2，α0=α，α1=β時，

可簡寫為α+β；當對於任何ξ<λ，αξ=α時，

可寫成α·λ，稱為兩個序數α，λ的乘積。對於任何序數α、β、γ，它們的加、乘運算滿足：

（1）結合律，(α+β)+γ=α+(β+γ)，(α·β)·γ=α·(β·γ)；

（2）左分配律，α·(β+γ)=α·β+α·γ。但交換律與右分配律對序數的和、積卻並不成立，例如:ω+1>ω=1+ω;ω·2>ω=2·ω；1·ω+1·ω=ω·2>ω=(1+1)ω。由於全體序數構成一個真類（布拉利-福爾蒂定理），因此對於任何極限序數λ，序數列{αξ|ξ<λ}總有上界，且必然存在最小的上界，它就是序數列{αξ|ξ<λ}的上確界