昴星團

[拼音]：gongxing yingshe

[英文]：conformal mapping

又稱保角對映，複變函式論的一個分支。它是從幾何的觀點來研究複變函式。若解析函式w＝ƒ(z)在域D中單葉(見單葉函式)，且將D 映為域墹，則在D 中的(有限)點z處，ƒ′(z)≠0，在D中任取一點z0 ，

C

z為過z0的在D 內的任一簡單光滑曲線:z=z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤b)，其中x(t)及y(t)是z(t)的實部與虛部。設z(t0)=z0(α≤t0≤b)，曲線 Cz在 z=z0的切線與實軸的夾角是 z′(t0)的幅角Argz′(t0)。w =ƒ(z)將

C

z映為墹中過w 0=ƒ(z0)的一條簡單光滑曲線

C

w：w =ƒ(z(t))(α≤t≤b)。由於

Cw在w0的切線與實軸的夾角是

。

所以

C

w在w0處切線與實軸的夾角同Cz在z0處的切線與實軸的夾角相差Argƒ′(z0)。這個值與曲線

C

z的形狀及方向無關。因此，若在D中一點z0，過z0點有D中的二條光滑曲線

及

則這二條曲線在z0的交角，即這二條曲線在z0點的切線的夾角為

。w=ƒ(z)將

C

，

C

嶤分別映為墹中的二條光滑曲線

C

，

C

。則

C

與

C

之間的夾角為

。也就是，用單葉解析函式w=ƒ(z)作對映時，曲線間的夾角的大小及方向保持不變，所以稱w =ƒ(z)為保角變換或保角對映。由於

，故當|z-z0|充分小時，|ƒ(z)-ƒ(z0)|還近似地等於｜ƒ′(z0)||z-z0|，即經過w =ƒ(z)， |z-z0| 近似地伸縮了|ƒ′(z0)|倍。這個數與向量z-z0的方向無關，故稱｜ƒ′(z0)｜為在點z0的伸縮率，於是在D 中一點z0一個領域內的任一小三角形，經w =ƒ(z)對映後，映為Δ中含w0=ƒ(z0)的一個鄰域內的一個曲邊三角形，這兩三角形對應角相等，對應邊近似地成比例，因此這兩個三角形近似地是相似形。因此，稱w =ƒ(z)的對映為共形對映，或保形對映，即在一點的附近，w =ƒ(z)幾乎保持了幾何的形狀。

共形對映有廣泛的應用。應用它可以成功地解決流體力學與空氣動力學，彈性理論以及場論等很多方面的許多實際問題。例如H.E.茹科夫斯基應用著名的茹科夫斯基函式

作為出發點，來研究各種飛機機翼截面，是很有成效的。

共形對映理論中最基本的定理是黎曼對映定理：至少有兩個邊界點的任意單連通區域一定可以共形對映到單位圓的內部。如果對域中指定一點z0要求將z0映為0，且 Argƒ′(z0)等於已給的θ0，那麼這樣的對映是惟一的，這是黎曼於1851年證明的，當時的證明略有不足之處，經後人補充完整，對於多連通區域也有相應的定理，但要求多連通區域的模相同。當兩個多連通域的模相同時，才有亞純函式存在，使它們相互共形對映。

將單位圓映為單位圓的共形對映為