中學數學論文參考範文

　　中學數學作為中學教育的基礎課程,對於學生後續的課程學習和思維培養具有至關重要的作用。下文是小編為大家蒐集整理的關於的內容，歡迎大家閱讀參考!

　　篇1

　　淺析中學數學中的變數代換

　　摘 要：由於數學問題的多樣性、複雜性和靈活性，在直接解決問題受阻時，常需要採用轉化策略，而變數代換就是教師在解決問題中常用的變換手段。通過一些例子論述了變數代換在中學數學中的應用和作用，以及如何正確進行變數代換，從而優化解題過程。

　　關鍵詞：代換;中學數學;應用

　　在學習數學的過程中，我們常常覺得一些公式的變形、等式的變化很難理解，在解題時往往感到很難下手，於是對數學產生畏懼、厭倦情緒，然而變數代換是眾多數學方法中易於掌握且行之有效的方法.

　　所謂變數代換是指某些變數的解析表示式用另一些新的變數***或變量表達式***來代換，這種方法也稱為換元法.

　　一、變數代換的幾種常用方法

　　用變數代換法分析和解決問題可以化難為易，把抽象問題變具體，使解題者對數學更加有興趣，從而提高學習積極性.在中學中，變數代換應用廣泛，總結概括為以下幾點：

　　***一***初等變換法

　　有關函式知識及問題常常要用變數代換思想去分析和理解.初學函式概念與符號f***x***時，很多學生對其表達意義不能正確領會和應用.例如，f***x***=x2，則f***x+ ***=***x+ ***2，在課堂不注重方式的令x=x+ ，學生很難理解，因為x≠x+ ，事實上把f***t***=t2中的變數t用x+ 代入得到結論就比較容易讓學生理解了.

　　例1.定義在R上的函式y=f***x***，當x>0時，f***x***>1且對任意a、b∈R有f***a+b***=f***a***・f***b***，又f***0***≠0.

　　***1***求證：f***0***=1;

　　***2***求證：對x∈R，有f***x***>0;

　　***3***求證：f***x***是R上增函式.

　　分析：解決本題關鍵在於把條件中的a，b，x進行多次變數代換，

　　還有利用等量代換，如f***0***=1.

　　證：***1***由f***a+b***=f***a***・f***b***，得f***0+0***=f***0***・f***0***.因為f***0***≠0，所以f***0***=1.

　　***2***當x≥0時，f***x***≥1>0;當x<0時，因為-x>0，所以f***-x***>0.

　　由f[x+***-x***]=f***x***・f***-x***，知

　　f***x***= = >0.

　　綜上知：x∈R，有f***x***>0.

　　***3***設x1 0.因f***x2***=f***x2-x1+x1***=f***x2-x1***・f***x1***;

　　又當x2-x1>0時，f***x2-x1***>1，且f***x1***>0，所以

　　f***x2***=f***x2-x1***・f***x1***>f***x1***，

　　因此f***x***是R上增函式.

　　***二***遞推數列下標代換法

　　例2.在數列an中，a1=3，nan+1=***n+2***an+2n***n+1******n+2***，求通項公式an.

　　分析：解題過程中主要是把 變換為bn，這樣過程可以簡化些，最後再用an回代.

　　解：對原遞推式兩邊同除以n***n+1******n+2***可得：

　　= +2 ①

　　令

　　bn= ②

　　則①為bn+1=bn+2，即數列bn是首項為b1= = ，公差是bn+1-bn=2的等差數列，因而

　　bn= +2***n-1***=2n- ，

　　代入②式中得

　　an= n***n+1******4n-1***.

　　故所求的通項公式是

　　an= n***n+1******4n-1***.

　　***三***方程代換法

　　例3.若正數a，b滿足ab=a+b+3，求ab的取值範圍.

　　分析：題中的a，b之和與a，b之積是聯想韋達定理的訊號，因此考慮構造方程進行代換.

　　解：設ab=p，則a+b=p-3，故a，b是方程x2-***p-3***的兩個正根，則有

　　?駐=***p-3***2-4p≥0，p>0，p-3>0，

　　解得p≥9，即a，b的取值範圍為[9，+∞***.

　　***四***整體代換

　　例4.設x，y，z>0，x+y+z=1，求 + + 的最小值.

　　分析：注意到x+y+z=1，其他的代數式與之相乘後不會改變其原來的性質.就該題而言，相乘後可得到能利用均值不等式的模式.

　　證： + + =***x+y+z****** + + ***=14+ + + + + ≥2*** + + ***=14+2***2+6+3***=36.

　　當x= ，y= ，z= 時等號成立.

　　***五***不等式中的變數代換

　　在代數式的恆等變形和解方程時，我們使用過變數代換.而在不等式的證明中若能引進適當的代換，不僅能使證明簡化，而且比較容易找到證題思路.下面用兩道例題進行描述，權作引玉之磚.

　　例5.已知a>0，b>0，c>0，求證： + + ≥ .

　　分析：直接證明似乎不太容易，若注意到不等式的對稱性，把b+c，a+c，a+b看作三個新的變數進行代換，就會使形式變得簡單，容易證明.

　　證：令x=b+c，y=c+a，z=a+b，則

　　a= ***-x+y+z***，b= ***x-y+z***，c= ***x+y-z***，

　　於是

　　+ + = + +

　　=- + *** + ***+ *** + ***+ *** + ***

　　≥- +3= .

　　當且僅當x=y=z，即a=b=c時取“=”號.

　　二、變數代換的作用

　　變數代換在數學解題中有著廣泛的運用，被稱為是解決數學問題的有力槓桿.下面通過舉例說明幾種常見的用處.

　　***一***用代換變未知為已知

　　在一些題目中，往往通過引進新的變數可把分散的條件聯絡起來，使隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯絡起來，或者變為熟悉的形式，從而把原本複雜的計算和推證簡化. 　　例6.△ABC的三個內角A、B、C滿足：A+C=2B， + + ，求cos 的值.

　　分析：本題中A+C=120°是已知，隨後結合三角形角的關係與三角公式進行運算.再次除由已知想到引進變數進行代換後，還要求對三角公式的運用相當熟練.

　　解：由△ABC中已知A+C=2B，可得

　　A+C=120°B=60°

　　由A+C=120°，可設A=60°+αC=60°-α代入已知等式得

　　+ = + = + = = =-2 .

　　***二***溝通數學中各分科的統一

　　解數學綜合題的關鍵是尋找各知識點的有機聯絡，通過知識點的轉移以達到代數問題三角解，幾何問題代數解.而變數代換在知識的轉化中起到了橋樑作用.

　　例7.若a<1，b<1，求證： ≤1.

　　證：因為a<1，b<1，令a=sin α，b=sin β，則

　　ab± =sin α sin β± =sin α sin β± =sin α sin β±cos α cos β=±cos***α β***

　　所以

　　ab± =±cos***α β***≤1.

　　***三***可以拓寬解題思路，實現一題多解

　　“一題多解”即在數學解題過程中，一些題目往往具有多種不同的解法，但由於每個學生原有知識、本身素質以及掌握資訊量不盡相同，對題中數字方式以及構建新的聯絡也各不相同，正如通常情況下運用變數代換就可使題目有不同的解法.

　　例8.已知x、y是正數，且x+y=1，A=ax+by，B=ay+bx，試比較AB與ab的大小.

　　分析：本題通過觀察條件的結構特徵，引入中間變數，使兩個變元的問題轉化為一個變元的問題，且差的符號也容易判定.

　　解法1：令x=cos2 α，y=sin2 α，α∈***0， ***，則

　　AB-ab=***ax+by******ay+bx***-ab=***a2+b2***cos2 α sin2 α+ab***cos4 α+sin4 α***-ab=***a-b***2cos2 α sin2 α≥0

　　所以AB≥ab.

　　解法2：令x= t，y= -t***0≤t≤ ***，則

　　AB-ab=[***a-b***t+ ][-***a-b***t+ ]-ab

　　=-***a-b***2t2+*** ***2-ab=***a-b***2*** -t2***≥0

　　而***a-b***2≥0， -t2>0，即AB≥ab.

　　三、用變數代換法解題錯誤解析

　　變數代換是中學數學中一個重要的數學方法，正確的運用它常常能事半功倍，而運用不當則常會導致不易發覺的錯誤，長此則會影響解題者思維的嚴密性.

　　例9.若x+y+z=1，試證：x2+y2+z2≥ .

　　解：設x= -t，y= -2t，z= +3t***t∈R***，所以

　　x2+y2+z2=*** -t***2+*** -2t***2+*** +3t***2= +14t2≥ .

　　當t=0，即x=y=z= 時，等號成立.

　　辨析：粗看確是一個好方法，可仔細看發現其中代換x= -t，y= -2t，z= +3t欠妥當，因為x= ，y= ，z= 顯然適合已知條

　　件x+y+z=1，但都無法從中代換得出，而且類似這樣不能得出的x、y、z還有很多.由此可見，這種代換實質上縮小了原變數的可取值範圍，因此失之片面.

　　正確解法如下：

　　解：設x= +t，y= +s，則z= -t-s，所以

　　x2+y2+z2=*** +t***2+*** +s***2+*** -t-s***2= +t2+s2+***t+s***2≥ .

　　當t=s=0，即x=y=z= 時，等號成立.

　　由以上例子可看出，在用變數代換的轉化思想時必須注意在作代換轉化過程中可能出現的一些問題，對此須有補救措施，以確保代換後問題轉化的等價性.

　　參考文獻：

　　[1]徐正水.淺談變數代換思想的教學[J].中學月刊，2006***7***：22-23.

　　[2]王豪榜.變數代換在解題中的應用[J].高中數學教與學，2002：18-20.

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