淺談高中數學零點問題
函式的零點是考綱上要求的基本內容，也是高中新課程標準新增內容之一，是函式的重要性質。接下來小編為你整理了，一起來看看吧。
篇一
一、求函式的零點
例1求函式y=x2-***x<0***2x-1***x≥0***的零點。
解：令x2-1=0***x<0***，解得x=1，
2x-1=0***x≥0***，解得x=。
所以原函式的零點為和-1和。
點評：求函式f***x***的零點，轉化為方程f***x***=0，通過因式分解把方程轉化為一***二***次方程求解。
二、判斷函式零點個數
例2求f***x***=x-的零點個數。
解：函式的定義域***-∞，0***∪***0，+∞***。
令f***x***=0即x-=0，
解得：x=2或x=-2。
所以原函式有2個零點。
點評：轉化為方程直接求出函式零點，注意函式的定義域。
三、根據函式零點反求引數
例3若方程ax-x-a=0有兩個解,求a的取值範圍。
析：方程ax-x-a=0轉化為ax=x+a。
由題知，方程ax-x-a=0有兩個不同的實數解，即函式y=ax與y=a+x 有兩個不同的交點，如圖所示。
***1***0此種情況不符合題意。
***2***a>1。
直線y=x+a 在y軸上的截距大於1時，函式y=ax與函式y=a+x 有兩個不同的交點。
所以a<0與0 點評：採用分類討論與用數形結合的思想。
四、用二分法近似求解零點
例4求函式f***x***=x3+x2-2x-2的一個正數零點***精確到0.1***。
解：***1***第一步確定零點所在的大致區間***a，b***，可利用函式性質，也可藉助計算機，但儘量取端點為整數的區間，並儘量縮短區間長度，通常可確定一個長度為1的區間。
***2***列表如下：
零點所在區間中點函式值 區間長度
***1，2***f***1.5*** >0 1
***1，1.5*** f***1.25*** <00.5
***1.25,1.5*** f***1.375*** <00.25
***1.375,1.5*** f***1.438***>0 0.125
***1.375,1.438*** f***1.4065***>0 0.0625
可知區間***1.375，1.438***長度小於0.1，故可在***1.375，1.438***內取1.4065作為函式f***x***正數的零點的近似值。
點評：用二分法求函式零點近似值的過程中，首先依據函式性質確定函式零點存在的一個區間，此區間選取應儘量小，並且易於計算，再不斷取區間中點，把區間的範圍逐步縮小，使得在縮小的區間記憶體在一零點。當達到精確度時，這個區間內的任何一個值均可作為函式的零點。
篇二
函式的零點是溝通函式、方程、影象的一個重要媒介，滲透著等價轉化、化歸、數形結合、函式與方程等思想方法，是一個考察學生綜合素質的很好知識點.近幾年的數學高考中頻頻出現零點問題，其形式逐漸多樣化，但都離不開這幾種常用的等價關係：函式y=f***x***有零點?圳方程f***x***=0有實數根?圳函式y=f***x***的影象與x軸有交點.也可拓展為：函式y=F***x***=f***x***-g***x***有零點?圳方程組y■=f***x***y■=g***x***有實數根?圳函式y1=f***x***與函式y2=g***x***的影象有交點.
圍繞它們之間的關係，就高考中的一些典型題型加以剖析：
型別一：函式零點的分佈
解決零點的分佈問題，主要依據零點的存在性定理：如果函式y=f***x***在區間[a，b]上的影象是連續不斷的一條曲線，並且有f***a***・f***b***<0，那麼函式y=f***x***在區間***a，b***內有零點.而零點的個數還需結合函式的影象和性質，尤其是函式的單調性才能確定.
例1：***2013高考數學重慶卷***若a A.***a，b***和***b，c***內
B.***-∞，a***和***a，b***內
C.***b，c***和***c，+∞***內
D.***-∞，a***和***c，+∞***內
解析：由題意a0，f***b***=***b-c******b-a***<0，f***c***=***c-a******c-b***>0.顯然f***a***・f***b***<0，f***b***・f***c***<0，所以該函式在***a，b***和***b，c***上均有零點，故選A.
變式：***高考廣東卷、高考山東卷***若函式為f***x***為奇函式，當x<0時，f***x***=-lg***-x***+x+3，已知f***x***=0有一個根為x0，且x0∈***n，n+1***，n∈N*，則n的值為________.
解析：由題意，設x>0，則-x<0，f***-x***=-lgx-x+3=-f***x***，所以當x>0時，f***x***=lgx+x-3在***0，+∞***上是增函式，f***2***<0，f***3***>0，所以x0∈***2，3***，則n=2.
型別二：函式零點的個數
判斷函式零點個數可利用定義法，即令f***x***=0，則該方程的解即為函式的零點，方程解的個數就是函式零點的個數;也可根據幾何法，將函式的零點問題轉化為兩個函式影象的交點問題來解決.
例2：***2012高考數學湖北卷***函式f***x***=xcosx2在區間[0，4]上的零點個數為*** ***
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析：定義法，令f***x***=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6個解，因此函式f***x***=xcosx2在區間[0，4]上有6個零點，故選C.
型別三：利用函式零點求引數
在高考中，除了要我們求函式的零點個數外，還常出現一種題型就是：先給出函式的零點個數，再來解決其他問題***如求引數***.要解決此類問題常根據函式y=F***x***=f***x***-g***x***有零點?圳方程組y■=f***x***y■=g***x***有實數根?圳函式y1=f***x***與y2=g***x***函式的影象有交點.
例3：***2009高考數學山東卷***若函式 f***x***=ax-x-a***a>0且a≠1***有兩個零點，則實數a的取值範圍是 .
解析：我們可將上述函式的零點轉換成兩個函式的影象的交點個數問題，根據例3的幾何法：
1.建構函式.設函式y=ax***a>0，且a≠1***和函式y=x+a，則函式f***x***=ax-x-a***a>0且a≠1***有兩個零點， 就是函式y=ax***a>0且a≠1***與函式y=x+a有兩個交點.
2.通過影象描繪題意――將數轉化成形.
3.由影象得出結論――將形轉化成數.
當時0 當時a>1***如圖2***，因為函式y=ax***a>1***的影象過點***0，1***，而直線y=x+a所過的點***0，a***在點***0，1***的上方，此時兩函式有兩個交點.所以實數a的取值範圍是{a|a>1}.
上述各例子剖析了近幾年數學高考中函式零點問題的典型題型及解法，值得一提的是，各種型別各種方法並不是完全孤立的，利用數學的轉化與化歸、數形結合等思想，函式F***x***=f***x***-g***x***的零點問題看成方程根的個數或者函式影象y=f***x***、y=g***x***的交點個數問題，使得複雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，難解的問題轉化為易解的問題，未解決的問題轉化為已解決的問題.