北師大版九年級數學上冊期末試卷
同學們在檢驗自己的數學學習成果最直接的方法便是通過試題,同學們要準備哪些數學期末試卷來練習呢?下面是小編為大家帶來的關於,希望會給大家帶來幫助。
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一、選擇題***本大題共6小題,每小題2分,共12分.在每小題所給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的,請將正確選項前的字母代號填塗在答題卡相應位置上***
1.方程x***x+2***=0的解是*** ***
A.﹣2 B.0,﹣2 C.0,2 D.無實數根
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】根據方程即可得出兩個一元一次方程,求出方程的解即可;
【解答】解:x***x+2***=0,
x=0,x+2=0,
x1=0,x2=﹣2,
故選B.
【點評】本題考查瞭解一元二次方程的應用,能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵.
2.兩個相似三角形的相似比是2:3,則這兩個三角形的面積比是*** ***
A. : B.2:3 C.2:5 D.4:9
【考點】相似三角形的性質.
【分析】根據相似三角形面積的比等於相似比的平方解答即可.
【解答】解:∵兩個相似三角形的相似比是2:3,
∴這兩個三角形的面積比是4:9,
故選:D.
【點評】本題考查的是相似三角形的性質,掌握相似三角形面積的比等於相似比的平方是解題的關鍵.
3.在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,則cosA的值是*** ***
A. B. C. D.
【考點】銳角三角函式的定義.
【分析】根據勾股定理求出AB,根據餘弦的定義計算即可.
【解答】解:∵∠C=90°,AC=2,BC=1,
∴AB= = ,
∴cosA= = ,
故選:D.
【點評】本題考查的是銳角三角函式的定義,在直角三角形中,銳角的正弦為對邊比斜邊,餘弦為鄰邊比斜邊,正切為對邊比鄰邊.
4.已知A***﹣1,y1***,B***2,y2***是拋物線y=﹣***x+2***2+3上的兩點,則y1,y2的大小關係為*** ***
A.y1>y2 B.y1
【考點】二次函式象上點的座標特徵.
【分析】拋物線的對稱軸為直線x=﹣2,根據二次函式的性質,拋物線開口向下,在對稱軸的右側y隨x的增大而減小,即可判定.
【解答】解:∵y=﹣***x+2***2+3,
∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣2,拋物線開口向下,
∴當x>﹣2,y隨x的增大而減小,
∵﹣2<﹣1<2,
所以y1>y2.
故選A.
【點評】本題考查了二次函式象上點的座標特徵:二次函式象上點的座標滿足其解析式.也考查了二次函式的性質.
5.小明為檢驗M、N、P、Q四點是否共圓,用尺規分別作了MN、MQ的垂直平分線交於點O,則M、N、P、Q四點中,不一定在以O為圓心,OM為半徑的圓上的點是*** ***
A.點M B.點N C.點P D.點Q
【考點】點與圓的位置關係;線段垂直平分線的性質.
【分析】連線OM,ON,OQ,OP,由線段垂直平分線的性質可得出OM=ON=OQ,據此可得出結論.
【解答】解:連線OM,ON,OQ,OP,
∵MN、MQ的垂直平分線交於點O,
∴OM=ON=OQ,
∴M、N、Q再以點O為圓心的圓上,OP與ON的大小不能確定,
∴點P不一定在圓上.
故選C.
【點評】本題考查的是點與圓的位置關係及線段垂直平分線的性質,熟知線段垂直平分線上任意一點,到線段兩端點的距離相等是解答此題的關鍵.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,O是△ABC的內心,以O為圓心,r為半徑的圓與線段AB有交點,則r的取值範圍是*** ***
A.r≥1 B.1≤r≤ C.1≤r≤ D.1≤r≤4
【考點】直線與圓的位置關係;三角形的內切圓與內心.
【分析】作OD⊥AB於D,OE⊥BC於E,OF⊥AC於F,根據題意得出四邊形OECF是正方形,得出OF=CF,由勾股定理得出AB= =5,由內心的性質得出CF=OF=1,AF=AC﹣CF=3,由勾股定理求出OA,由直線與圓的位置關係,即可得出結果.
【解答】解:作OD⊥AB於D,OE⊥BC於E,OF⊥AC於F,連線OA、OB,如所示
則四邊形OECF是正方形,
∴OF=CF=OE=CE,
∵∠C=90°,AC=4,BC=3,
∴AB= =5,
∵O是△ABC的內心,
∴CE=CF=OF=OE= ***AC+BC﹣AB***=1,
∴AF=AC﹣CF=3,BE=BC﹣CE=2,
∴OA= = = ,OB= = = ,
當r=1時,以O為圓心,r為半徑的圓與線段AB有唯一交點;
當1
當
∴以O為圓心,r為半徑的圓與線段AB有交點,則r的取值範圍是1≤r≤ ;
故選:C.
【點評】本題考查了直線與圓的位置關係、三角形的內切圓與內心、勾股定理、直角三角形內切圓半徑的計算等知識;熟練掌握直線與圓的位置關係,由勾股定理求出OA是解決問題的關鍵.
二、填空題***本大題共10小題,每小題2分,共20分.不需寫出解答過程,請把答案直接填寫在答題卡相應位置上***
7.一組資料﹣2,﹣1,0,3,5的極差是 7 .
【考點】極差.
【分析】根據極差的定義即可求得.
【解答】解:由題意可知,極差為5﹣***﹣2***=7.
故答案為:7.
【點評】此題考查了極差,極差反映了一組資料變化範圍的大小,求極差的方法是用一組資料中的最大值減去最小值.注意:①極差的單位與原資料單位一致.②如果資料的平均數、中位數、極差都完全相同,此時用極差來反映資料的離散程度就顯得不準確.
8.某車間生產的零件不合格的概率為 .如果每天從他們生產的零件中任取10個做試驗,那麼在大量的重複試驗中,平均來說, 100 天會查出1個次品.
【考點】概率的意義.
【分析】根據題意首先得出抽取1000個零件需要100天,進而得出答案.
【解答】解:∵某車間生產的零件不合格的概率為 ,每天從他們生產的零件中任取10個做試驗,
∴抽取1000個零件需要100天,
則100天會查出1個次品.
故答案為:100.
【點評】此題主要考查了概率的意義,正確理解 的意義是解題關鍵.
9.拋擲一枚質地均勻的硬幣3次,3次拋擲的結果都是正面朝上的概率是 .
【考點】列表法與樹狀法.
【分析】首先根據題意畫出樹狀,然後由樹狀求得所有等可能的結果與3次拋擲的結果都是正面朝上的情況,再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:畫樹狀得:
∵共有8種等可能的結果,3次拋擲的結果都是正面朝上的只有1種情況,
∴3次拋擲的結果都是正面朝上的概率是: .
故答案為: .
【點評】此題考查的是用列表法或樹狀法求概率.用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比.
10.某校為了解全校1300名學生課外閱讀的情況,隨機調查了50名學生一週的課外閱讀時間,並繪製成如統計表.根據表中資料,估計該校1300名學生一週的課外閱讀時間不少於7小時的人數為 520 人.
時間***小時*** 4 5 6 7 8
人數***人*** 3 9 18 15 5
【考點】用樣本估計總體;加權平均數.
【分析】用所有學生數乘以課外閱讀時間不少於7小時的人數所佔的百分比即可.
【解答】解:該校1300名學生一週的課外閱讀時間不少於7小時的人數是1300× =520人.
故答案為:520.
【點評】本題考查了用樣本估計總體的知識,解題的關鍵是求得樣本中不少於7小時的人數所佔的百分比.
11.PA、PB分別切⊙O於點A、B,若∠P=70°,則∠C的大小為 55 ***度***.
【考點】切線的性質.
【分析】首先連線OA,OB,由PA、PB分別切⊙O於點A、B,根據切線的性質可得:OA⊥PA,OB⊥PB,然後由四邊形的內角和等於360°,求得∠AOB的度數,又由圓周角定理,即可求得答案.
【解答】解:連線OA,OB,
∵PA、PB分別切⊙O於點A、B,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
即∠PAO=∠PBO=90°,
∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°,
∴∠C= ∠AOB=55°.
故答案為:55.
【點評】此題考查了切線的性質以及圓周角定理.此題難度不大,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數形結合思想的應用.
12.在正八邊形ABCDEFGH中,AC、GC是兩條對角線,則tan∠ACG= 1 .
【考點】正多邊形和圓.
【分析】首先證明 = = 圓周長,然後求出 = ×360°=90°,問題即可解決.
【解答】解:設正八邊形ABCDEFGH的外接圓為⊙O;
∵正八邊形ABCDEFGH的各邊相等,
∴ = = 圓周長,
∴ = ×360°=90°,
∴圓周角∠ACG= ×90°=45°.
∴tan∠ACG=1.
故答案為:1.
【點評】本題考查的是正多邊形和圓,該題以正多邊形及其外接圓為載體,以正多邊形的性質及其應用的考查為核心構造而成;對分析問題解決問題能力提出了一定的要求.
13.沿一條母線將圓錐側面剪開並展平,得到一個扇形,若圓錐的底面圓的半徑r=2cm,扇形的圓心角θ=120°,則該圓錐的母線長l為 6 cm.
【考點】圓錐的計算.
【分析】易得圓錐的底面周長,也就是側面展開的弧長,進而利用弧長公式即可求得圓錐的母線長.
【解答】解:圓錐的底面周長=2π×2=4πcm,
設圓錐的母線長為R,則: =4π,
解得R=6.
故答案為:6.
【點評】本題考查了圓錐的計算,用到的知識點為:圓錐的側面展開的弧長等於底面周長;弧長公式為: .
14.小明做實驗時發現,當三角板中30°角的頂點A在⊙O上移動,三角板的兩邊與⊙O相交於點P、Q時, 的長度不變.若⊙O的半徑為9,則 的長等於 3π .
【考點】弧長的計算.
【分析】連結OP、OQ,根據在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等於這條弧所對的圓心角的一半,得出∠POQ=2∠A=60°,再根據弧長公式列式計算即可.
【解答】解:連結OP、OQ,則∠POQ=2∠A=60°.
∵⊙O的半徑為9,
∴ 的長= =3π.
故答案為3π.
【點評】本題考查了弧長的計算,圓周角定,解答本題的關鍵是熟練掌握弧長的計算公式以及圓周角定理的內容.
15.四邊形ABCD內接於⊙O,若⊙O的半徑為6,∠A=130°,則扇形OBAD的面積為 10π .
【考點】扇形面積的計算;圓內接四邊形的性質.
【專題】計算題.
【分析】連結OB、OD,先利用圓內接四邊形的性質計算出∠C=180°﹣∠A=50°,再根據圓周角定理得到∠AOD=2∠C=100°,然後利用扇形的面積公式計算扇形OBAD的面積.
【解答】解:連結OB、OD,
∵∠A+∠C=180°,
∴∠C=180°﹣130°=50°,
∴∠AOD=2∠C=100°,
∴扇形OBAD的面積= =10π.
故答案為10π.
【點評】本題考查了扇形面積的計算:扇形面積計算公式:設圓心角是n°,圓的半徑為R的扇形面積為S,則 S扇形= •πR2或S扇形= lR***其中l為扇形的弧長***.也考查了圓周角定理.
16.某數學興趣小組研究二次函式y=mx2﹣2mx+1***m≠0***的象時發現:無論m如何變化,該象總經過兩個定點***0,1***和*** 2 , 1 ***.
【考點】二次函式象上點的座標特徵.
【分析】先把原函式化為y=mx***x﹣2***+1的形式,再根據當x=0或x﹣2=0時函式值與m值無關,把x的值代入函式解析式即可得出y的值,進而得出兩點座標.
【解答】解:∵原函式化為y=mx***x﹣2***+1的形式,
∴當x=0或x﹣2=0時函式值與m值無關,
∵當x=0時,y=1;當x=2時,y=1,
∴兩定點座標為:***0,1***,***2,1***.
故答案為:2,1.
【點評】本題考查的是二次函式象上點的座標特點,根據題意把函式化為y=mx***x﹣2***+1的形式是解答此題的關鍵.
三、解答題***本大題共11小題,共88分.請在答題卡指定區域內作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟***
17.***1***計算:sin45°﹣cos30°tan60°
***2***解方程:x2﹣4x﹣1=0.
【考點】特殊角的三角函式值;解一元二次方程-公式法.
【分析】***1***將特殊角的三角函式值代入求解;
***2***利用公式法求解一元二次方程即可.
【解答】解:***1***原式= ﹣ ×
= ﹣
= ;
***2***∵a=1,b=﹣4,c=﹣1,
△=b2﹣4ac=20>0,
∴x= ,
即x1=2+ ,x2=2﹣ .
【點評】本題考查了特殊角的三角函式值以及利用公式法求解一元二次方程,解答本題的關鍵是掌握特殊角的三角函式值以及解一元二次方程的方法.
18.利用標杆BE測量建築物的高度,如果標杆BE長1.2m,測得AB=1.6m,BC=8.4m,樓高CD是多少?
【考點】相似三角形的應用.
【專題】探究型.
【分析】先根據題意得出△ABE∽△ACD,再根據相似三角形的對應邊成比例即可求出CD的值.
【解答】解:∵EB⊥AC,DC⊥AC,
∴EB∥DC,
∴△ABE∽△ACD,
∴ = ,
∵BE=1.2,AB=1.6,BC=8.4,
∴AC=10,
∴ = ,
∴CD=7.5.
答:樓高CD是7.5m.
【點評】本題考查的是相似三角形的應用,熟知相似三角形的對應邊成比例的性質是解答此題的關鍵.
19.趙州橋的主橋拱是圓弧形,它的跨度***弧所對的弦***長為37.4m,拱高***弧的中點到弦的距離***為7.2m,請求出趙州橋的主橋拱半徑***結果保留小數點後一位***.
【考點】垂徑定理的應用;勾股定理.
【分析】將拱形進行補充,構造直角三角形,利用勾股定理和垂徑定理解答.
【解答】解:設O為圓心,作OD⊥AB於D,交弧AB於C,如所示:
∵拱橋的跨度AB=37.4m,拱高CD=7.2m,
∴AD= AB=18.7m,
∴AD2=OA2﹣***OC﹣CD***2,即18.72=AO2﹣***AO﹣7.2***2,
解得:AO≈27.9m.
即圓弧半徑為27.9m.
答:趙州橋的主橋拱半徑為27.9m.
【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理,根據題意作出輔助線,構造出直角三角形是解答此題的關鍵.
20.一次學科測驗,學生得分均為整數,滿分10分,成績達到6分以上為合格.成績達到9分為優秀.這次測驗中甲乙兩組學生成績分佈的條形統計如下:
***1***請補充完成下面的成績統計分析表:
平均分 方差 中位數 合格率 優秀率
甲組 6.9 2.4 91.7% 16.7%
乙組 1.3 83.3% 8.3%
***2***甲組學生說他們的合格率、優秀率均高於乙組,所以他們的成績好於乙組.但乙組學生不同意甲組學生的說法,認為他們組的成績要高於甲組.請你給出三條支援乙組學生觀點的理由.
【考點】條形統計;加權平均數;中位數;方差.
【專題】表型.
【分析】***1***本題需先根據中位數的定義,再結合統計得出它們的平均分和中位數即可求出答案.
***2***本題需先根據統計,再結合它們的合格率、優秀率說出它們各自的觀點是本題所求的答案.
【解答】解:***1***從統計中可以看出:
甲組:中位數7;
乙組:平均分7,中位數7;
***2***①因為乙組學生的平均成績高於甲組學生的平均成績,所以乙組學生的成績好於甲組;
②因為甲乙兩組學生成績的平均分相差不大,而乙組學生的方差低於甲組學生的方差,說明乙組學生成績的波動性比甲組小,所以乙組學生的成績好於甲組;
③因為乙組7分以上人數多於甲組7分以上人數,所以乙組學生的成績好於甲組.
【點評】本題考查的是條形統計的綜合運用.讀懂統計,從統計中得到必要的資訊是解決問題的關鍵.
21.一個不透明的口袋中裝有4個完全相同的小球,分別標有數字1、2、3、4,另有一個可以自由旋轉的圓盤.被分成面積相等的3個扇形區,分別標有數字1、2、3***如所示***.小穎和小亮想通過遊戲來決定誰代表學校參加歌詠比賽,遊戲規則為:一人從口袋中摸出一個小球,另一個人轉動圓盤,如果所摸球上的數字與圓盤上轉出數字之和小於4,那麼小穎去;否則小亮去.
***1***用樹狀或列表法求出小穎參加比賽的概率;
***2***你認為該遊戲公平嗎?請說明理由;若不公平,請修改該遊戲規則,使遊戲公平.
【考點】遊戲公平性.
【專題】壓軸題.
【分析】***1***首先根據題意畫出樹狀,由樹狀求得所有等可能的結果與兩指標所指數字之和和小於4的情況,則可求得小穎參加比賽的概率;
***2***根據小穎獲勝與小亮獲勝的概率,比較概率是否相等,即可判定遊戲是否公平;使遊戲公平,只要概率相等即可.
【解答】解:***1***畫樹狀得:
∵共有12種等可能的結果,所指數字之和小於4的有3種情況,
∴P***和小於4***= = ,
∴小穎參加比賽的概率為: ;
***2***不公平,
∵P***小穎***= ,
P***小亮***= .
∴P***和小於4***≠P***和大於等於4***,
∴遊戲不公平;
可改為:若兩個數字之和小於5,則小穎去參賽;否則,小亮去參賽.
【點評】本題考查的是遊戲公平性的判斷.判斷遊戲公平性就要計算每個事件的概率,概率相等就公平,否則就不公平.
22.已知關於x的一元二次方程x2﹣x+m=0有兩個不相等的實數根.
***1***求實數m的取值範圍;
***2***若方程的兩個實數根為x1、x2,且x1+x2+x1•x2=m2﹣1,求實數m的值.
【考點】根的判別式;根與係數的關係.
【分析】***1***由關於x的一元二次方程x2﹣x+m=0有兩個不相等的實數根,可得△>0,繼而求得實數m的取值範圍;
***2***由方程的兩個實數根為x1、x2,且x1+x2+x1•x2=m2﹣1,可得方程1+m=m2﹣1,繼而求得答案.
【解答】解:***1***∵方程有兩個不相等的實數根,
∴△=b2﹣4ac=1﹣4m>0,
即m< ;
***2***由根與係數的關係可知:x1+x2=1,x1•x2=m,
∴1+m=m2﹣1,
整理得:m2﹣m﹣2=0,
解得:m=﹣1或m=2,
∵m< ,
∴所求m的值為﹣1.
【點評】此題考查了根的判別式以及根與係數的關係.注意△>0⇔方程有兩個不相等的實數根,若二次項係數為1,常用以下關係:x1,x2是方程x2+px+q=0的兩根時,x1+x2=﹣p,x1x2=q.
23.用40cm長的鐵絲圍成一個扇形,求此扇形面積的最大值.
【考點】扇形面積的計算;二次函式的最值.
【分析】設出圓的半徑和弧長,由扇形的面積公式S扇形= lr,得出關於半徑的二次函式,由二次函式的頂點座標得出扇形面積的最大值.
【解答】解:設半徑為r,弧長為l,則40=2r+l,
∴l=40﹣2r,
∴S扇形= lr= r ***40﹣2r***=﹣r2+20r=﹣***r﹣10***2+100,
∴當半徑為10時,扇形面積最大,最大值為100cm2.
【點評】本題考查了扇形的面積公式,以及二次函式的最值問題,用扇形的半徑表示成面積的二次函式是解題的關鍵.
24.一枚運載火箭從地面L處發射,當火箭到達A點時,從位於距發射架底部4km處的地面雷達站R***LR=4***測得火箭底部的仰角為43°.1s後,火箭到達B點,此時測得火箭底部的仰角為45.72°.這枚火箭從A到B的平均速度是多少 ***結果取小數點後兩位***?
***參考資料:sin43°≈0.682,cos43°≈0.731,tan43°≈0.933,
sin45.72°≈0.716,cos45.72°≈0.698,tan45.72°≈1.025***
【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.
【專題】探究型.
【分析】根據題意可以得到AL和BL的長度,從而可以得到AB的長度,根據由A到B用的時間為1s,從而可以求得這枚火箭從A到B的平均速度.
【解答】解:∵在Rt△ALR中,tan43°= ,LR=4,
∴AL=4×0.933=3.732,
∵在Rt△BLR中,tan45.72°= ,LR=4,
∴BL=4×1.025=4.1,
∴AB=4.1﹣3.732=0.368≈0.37,
∵火箭從A到B用時1s,
∴火箭從A到B的平均速度為:0.37÷1=0.37km/s,
即這枚火箭從A到B的平均速度是0.37km/s.
【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題,解題的關鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件.
25.要設計一本畫冊的封面,封面長40cm,寬30cm,正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形畫.如果要使四周的邊襯所佔面積是封面面積的 ,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應如何設計四周邊襯的寬度***結果保留小數點後一位,參考資料: ≈2.236***.
【考點】一元二次方程的應用.
【專題】幾何形問題.
【分析】設上、下邊襯寬均為4xcm,左、右邊襯寬均為3xcm,根據封面的面積關係建立方程求出其解即可.
【解答】解一:設上、下邊襯寬均為4xcm,左、右邊襯寬均為3xcm,
則***40﹣8x******30﹣6x***= ×40×30.
整理,得x2﹣10x+5=0,解之得x=5±2 ,
∴x1≈0.53,x2≈9.47***捨去***,
答:上、下邊襯寬均為2.1cm,左、右邊襯寬均為1.6cm.
解二:設中央矩形的長為4xcm,寬為3xcm,
則4x×3x= ×40×30,
解得x1=4 ,x2=﹣4 ***捨去***,
∴上、下邊襯寬為20﹣8 ≈2.1,左、右邊襯寬均為15﹣6 ≈1.6,
答:上、下邊襯寬均為2.1cm,左、右邊襯寬均為1.6cm.
【點評】本題考查了一元二次方程解實際問題的運用,一元二次方程的解法的運用,解答時根據矩形的面積公式建立方程是關鍵.
26.如①,A、B、C、D四點共圓,過點C的切線CE∥BD,與AB的延長線交於點E.
***1***求證:∠BAC=∠CAD;
***2***如②,若AB為⊙O的直徑,AD=6,AB=10,求CE的長;
***3***在***2***的條件下,連線BC,求 的值.
【考點】切線的性質;相似三角形的判定與性質.
【專題】計算題.
【分析】***1***連結OC,如①,根據切線的性質得OC⊥CE,由於CE∥BD,則OC⊥BD,再根據垂徑定理得到 = ,然後利用圓周角定理可得∠BAC=∠CAD;
***2***如②,連結OC交BD於E,由***1***得OC⊥BD,則BE=DE,根據圓周角定理得到∠D=90°,則利用勾股定理可計算出BD=8,所以BE= BD=4,在Rt△OBE中計算出OE=3,再證明△OBE∽△OCE,然後利用相似比可計算出CE的長;
***3***先計算出CE=2,由於 = ,則∠CDB=∠CAB,根據正切定義得到tan∠CBE= = ,則tan∠CBE= tan∠CAB= ,即得到 = .
【解答】***1***證明:連結OC,如①,
∵CE為切線,
∴OC⊥CE,
∵CE∥BD,
∴OC⊥BD,
∴ = ,
∴∠BAC=∠CAD;
***2***解:如②,連結OC交BD於E,
由***1***得OC⊥BD,則BE=DE,
∵AB為直徑,
∴∠D=90°,
∴BD= = =8,
∴BE= BD=4,
在Rt△OBE中,OE= =3,
∵BE∥CE,
∴△OBE∽△OCE,
∴ = ,即 = ,
∴CE= ;
***3***解:∵OE=3,OC=5,
∴CE=5﹣3=2,
∵ = ,
∴∠CDB=∠CAB,
∵tan∠CBE= = = ,
∴tan∠CAB=tan∠CBE= ,
∵tan∠CAB= ,
∴ = .
【點評】本題考查了切線的性質:圓的切線垂直於經過切點的半徑.運用切線的性質來進行計算或論證,常通過作輔助線連線圓心和切點,利用垂直構造直角三角形解決有關問題.
27.如①,已知拋物線C1:y=a***x+1***2﹣4的頂點為C,與x軸相交於A、B兩點***點A在點B的左邊***,點B的橫座標是1.
***1***求點C的座標及a 的值;
***2***如②,拋物線C2與C1關於x軸對稱,將拋物線C2向右平移4個單位,得到拋物線C3.C3與x軸交於點B、E,點P是直線CE上方拋物線C3上的一個動點,過點P作y軸的平行線,交CE於點F.
①求線段PF長的最大值;
②若PE=EF,求點P的座標.
【考點】二次函式綜合題.
【分析】***1***根據二次函式的性質即可直接求得頂點C的座標,把B的座標代入函式解析式即可求得a的值;
***2***①C2的頂點座標是C關於x軸的對稱點,且二次項係數互為相反數,據此即可求得C2的解析式,然後根據平移的性質求得C3的解析式.利用待定係數法求得直線CE的解析式,則PF的長即可利用x表示出來,然後根據二次函式的性質求得PF的最大值;
②PE=EF則P和F關於x軸對稱,即縱座標互為相反數,據此即可列方程求解.
【解答】解:***1***頂點C為***﹣1,﹣4***.
∵點B***1,0***在拋物線C1上,∴0=a***1+1***2﹣4,解得,a=1;
***2***①∵C2與C1關於x軸對稱,
∴拋物線C2的表示式為y=﹣***x+1***2+4,
拋物線C3由C2平移得到,
∴拋物線C3為y=﹣***x﹣3***2+4=﹣x2+6x﹣5,
∴E***5,0***,
設直線CE的解析式為:y=kx+b,
則 ,解得 ,
∴直線BC的解析式為y= x﹣ ,
設P***x,﹣x2+6x﹣5***,則F***x, x﹣ ***,
∴PF=***﹣x2+6x﹣5***﹣*** x﹣ ***=﹣x2+ x﹣ =﹣***x﹣ ***2+ ,
∴當x= 時,PF有最大值為 ;
②若PE=EF,∵PF⊥x軸,
∴x軸平分PF,
∴﹣x2+6x﹣5=﹣ x+ ,
解得x1= ,x2=5***捨去***
∴P*** , ***.
【點評】本題考查了待定係數法求二次函式的解析式,以及二次函式的應用,求函式最值問題常用的方法是轉化為函式的性質問題.