數學學習中的聯結及導向策略
【摘要】學習是一種聯結。認為聯結是從嘗試錯誤刺激反應的發展到有意義的學習。通過對兩種理論在實踐中進行分析，其特質是先進與落後的區別。數學學習實際上是尋求“中間變數”，構建數學認知結構的過程。而目前教學中還眾多停留在嘗試錯誤的低階層次上，與培養髮展型的高素質人才不相容。以數學知識結構為基礎，以學生原有不同的的數學認知結構為出發點，以學生髮展為目標達到構建學生的認知結構，作為促進學生有意義的聯結的三大導向策略。
【關鍵詞】數學學習 聯結 認知結構 導向策略
一、引 言
全日制義務教育新《數學課程標準》明確指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶”，教師應當幫助學生“在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”這實際上從一個角度要求數學教師，要重視學生的認知學習。但在實際教學中，還未重視認知結構的研究運用。尤其到了複習階段，連續不斷的向學生髮放複習試卷和機械地向學生布置複習題給予強化，以達到反應結果。或者在平時教學中，讓學生死記一些結論，不注重“有意義的學習”。學生的學習似乎還停留在“S—R”階段。這種簡單的操作方法在短時間內能使考試成績上去，但代價是學生沉重的學習負擔，並造成學生思維僵化，不利於培養“發展型”人才，與素質教育背道而馳。如學生對於絕對值概念，只知道│a│是a絕對值，而不明白它的真正內涵。沒有通過學生生活中已建立起來的認知概念與數學內容的新認知結構進行聯結。結果是造成對絕對值概念理解的是似而非。本文就數學學習的聯結問題及導向策略上作一些探索。
二、關於聯結理論
數學學習是什麼過程？“人類的學習總是以一定的經驗和知識為前提，是在聯想的基礎上，更好地理解和掌握新知的。”① 數學學習也不例外，這裡的聯想即為知識的聯結過程。
關於聯結，理論上的研究，目前有兩大派別。一是以美國心理學家桑代克為代表的聯結主義的行為學習理論。二是以美國心理學家布魯納和奧蘇伯爾為代表的認知學派學習理論。桑代克的主要觀點是，學習就是作嘗試錯誤。如果把當今的學習刺激設為S，學習反應設為R，學習就是S—R的聯結過程。它是在動物實驗的基礎上提出的，是一種盲目的嘗試。通過不斷嘗試，出現錯誤，不斷矯正，從中學會知識和技能。
而認知學派認為，學習就是知覺的重新組合，這種知覺經驗變化過程不是簡單的“S—R”過程，而是突然的“頓悟”，強調“情景的整體關係”。而以美國心理學家託而曼為代表的觀點進一步認為，在 S與R之間應該有一個“中間變數”，即認知和目的，學習是期待，就是對環境的認知。因而，學習過程是一個S—O—R的過程。布魯納和奧蘇伯爾還把它進行了發展為現代認知理論，認為“學習就是類目即及其編碼系統的形成。”②它不僅批評S—R直接、機械的聯結，而且提出學習存在一個認識過程，是認知結構的重新組合。強調原有的認知結構的作用，也強調學習材料本身的內在聯絡。把內在聯絡的材料和學生原有的認知結構聯結起來，新舊知識發生作用，新材料在學生的頭腦中達成“內化”，學會了對“S—O—R”中的“O”的捕捉，成為真正的意義的聯結，或者說學生對新材料有了深刻地理解和超越。
顯然，在不同的時代，上述理論對數學教育都有積極的貢獻。但時至今日，在數學教育中，我們不能不重視，數學學習重要的應該是認知學習，它是一個建立學生心理內部學習機制的過程。這裡要明白三點：學生學習數學，一要利用學生原有的認知結構，二要重視學生一定年齡階段的心理髮展水平，三要充分考慮不直接參與的情感、意志、興趣等問題。
三、數學學習的兩種聯結思想剖析
下面結合教學實踐，說明“S—R”與認知結構連結之間的各自意義。
例：如圖，已知在⊙O內接△ABC中，D是AB上一點，AD=AC，E是AC的延長線上一點，AE=AB，連結DE交⊙O於P，延長ED交⊙O於Q.求證：AP=AQ.
按“S—R”的行為主義聯結理論，可以讓學生直接操作。這時，學生可能不去仔細審題。由圖形“先入為主”，不斷嘗試，不斷碰壁，然後再回頭去審題。在點、線、角、三角形、圓的離散圖形中不斷產生錯誤。偶而碰上解題思路，才得到問題的解決。之後，再不去認識、總結。下次在碰上此題，又重新錯誤嘗試。顯然，這樣的問題解決法，造成精力的極大浪費，所學知識也難以鞏固。平時，我們老師經常說：“此題我讓學生解過，還做不出！”原因在於“S—R”聯結不是“有意義的學習”，沒有找出新舊知識之間的內在聯結，沒有建立學生的新的認知結構。
而利用認知結構理論思考，首先是認真審題，進入“上位學習”③，對自己提問：
1、見過這個問題嗎？見過與其類似的問題嗎？用到那些基礎知識？（圖類似？還是條件類似？還是結論類似？）
2、見過與之有關的問題嗎？（能利用它的某些部分嗎？能利用它的條件嗎？能利用它的結論嗎？引進什麼輔助條件，以便利用？）
以此，把原建立的認知結構中的全等三角形、圓周角性質、等腰三角形的判定等舊知加以調運。在此基礎上，使學生進入“下位學習”④
然後，盯住目標——始終盯住要證的結論AP=AQ。就是要明確方向，哪怕中間狀態不斷變化，但始終與目標比較，及時調整自己的思路，建立“認知地圖”⑤，以不迷失方向。其基本框架如下：
有什麼方法能夠達到目標？（1、達到的目標的前提是什麼？2、能實現其中的某個前提嗎？3、實現這個前提還應該怎麼辦？）
如上題，我們不妨採用逆向分析進行探索。這是認知策略的其中一條有效途徑：
AP=AQ（目標）
↑
∠AQP=∠APQ（前提）
以下為實現前提需找中間量，
即∠AQP=中間量=∠APQ.這時, 逆向分析無法進行,此時一般就是添輔助線的時候,轉化圓周角∠AQP,連結BP,即有
∠AQP=∠ABP.
因此,只要證明∠ABP=∠APQ.
由於∠ABP=∠ABC+∠PBC,∠APQ=∠E+∠PAC,
而∠PBC=∠PAC,所以,只要證∠ABC=∠E,即證△ABC≌△AED.
***以下略***
這樣，學生在原有的認知結構思維水平基礎上發展他的聯想思維，使新舊知識加以聯結，找到證題方法，達到解決問題，建立起新的認知結構。
因此，我們在教學中，一定要把精力化在建立學生認知結構的工夫上，善始善終加以引導。少用或不用“S—R”這種“嘗試錯誤”的機械方法，多用科學成功的嘗試，引導學生認真尋求“中間變數”，努力使學生的新舊知識加以聯結，促進學生的數學素養不斷提高。
四、數學學習聯結的教學策略
事實上就學習者對數學問題的解決，無論是數學概念的形成、數學技能的掌握，還是數學能力的培養，都是學習者由未知到已知的聯結過程，即“S—R”的聯結過程，重要的是尋求“中間變數O”，從而構建數學認知結構。所謂數學認知結構，就是學生通過自己主動的認識而在頭腦裡建立起來的數學知識結構。可以這樣說，數學學習的聯結過程，就是數學認知建構的過程，學會自覺主動的尋求“中間變數”。最終達到解決問題的目的的過程。那麼，在這一過程中數學學習究竟有那些規律可循？說具體一點有那些主要途徑，這裡談一些粗淺的認識。
策略之一：以數學知識結構為基礎，構建學生的數學認知結構
學習過程就其本質而言是一種認識活動。因此，數學教學的根本任務是發展學生的數學認知結構，首先應明確：數學認知結構是由數學知識結構轉化而來的；要建立學生的數學認知結構，首先必須以數學知識結構為基礎，進行開發、利用，從而轉化為學生的數學的認知結構。著重把握以下三個方面：
（1）加強數學知識的整體聯絡。數學是一個有機整體，各知識相互聯絡，教學中教師對數學知識的組織應能促進學生從前後聯絡上下照應的角度對數學知識進行整體性構建從而在頭腦中形成經緯交織的知識網路，這是一種“情景的整體關係”。對於一個具體的數學問題，應該感知有效的資訊。如在本文第二部分的例題分析中提出的第1、第2個問題，就是尋求有效資訊，找其聯結點；對於“準類”的一塊知識，要注意縱向聯結。如函式，初一年級學習一次式、一元一次方程、二元一次方程組時，就要向學生滲透函式思想，初二學習正比例函式、反比例函式、一次函式，要回首前面知識與函式的聯絡，並在學習一元二次方程時，自然與二次函式聯結作準備。到了初三，初中數學的“四個二次”（二次式、二次方程、二次不等式、二次函式）有機地綜合聯結；對於一章知識，要讓學生逐步自己小結，構成知識網路，輸入大腦，形成數學認知結構。
（2）注意揭示數學思維過程。數學被稱為“思維的體操”，但是數學的思維價值和智力價值是潛在的，決不是自然形成的，也不是靠教師下達指令能創造出來的，課堂教學中，教師應精心創設問題情景，引導啟發學生積極思維，其間應注意兩個環節：①製造認知衝突——充分揭示學生的思維過程，即使新的需要與學生原有的數學水平之間產生認知衝突。傳統的教學在教師分析討論解題時，往往思路理想化、技巧化、脫離學生的認知規律，忽視了學生的思維活動，導致學生一聽就懂，一做即錯。學生無法達到真正的連結。為此，在引導學生學習中，為了使學生聯結中，必須充分估計知識方面的缺陷和學的思維心理障礙，揭示他們的思維過程，從反面和側面引起學生的注意和思考，使他們在跌到處爬起來，在認知衝突中加強聯結。②稚化自身思維——充分揭示教師的思維過程。即教師啟發引導要與學生的思維同步，切不可超前引路，越俎代皰。如果教師在教學中，對於各類問題，均能“一想即出，一做就對”，尤其是幾何證明題，輔助線新手拈來，或者把自己的解題過程直接拋給學生，使學生產生思維惰性，遇到新的問題情景，往往束手無策。只有通過教師的多種方式的啟發，稚化自身，象學生學習新知識的過程一樣展開教學，把自己認識問題的思維過程充分展示，接近學生的認知勢態，學生才能真正體會、感受到數學知識所包含的深刻的思維和豐富的智慧。③開發解題內涵—— 充分揭示數學發展的思維過程。在引導學生學習中，除了學生、教師的思維活動外，還存在著數學家的思維活動，即數學的發展思維過程。這種過程與經過邏輯組織的理論體系是不同的。如果將課本內容照搬到課堂上學生就無法領略到數學家精湛的思維過程。學生要吸取更多的營養，必須經自身的探索去重新發現。這就需要教師幫助學生開發數學問題的內涵，努力使學生的整理性思維方式變為探索性思維方式，有效地使學生從數學知識結構出發，構建新的認知結構。
（3）有機滲透數學思想方法。所謂數學思想方法就是數學活動的基本觀點，它包括數學思想和數學方法。數學思想是教學思維的“軟體”，是數學知識發生過程的提煉、抽象、概括和提升，是對數學規律更一般的認識，它蘊藏在數學知識之中，需要教師引導學生去挖掘。而挖掘的過程就是數學認知結構形成的過程，也就是數學學習的最佳連結過程。數學方法是數學思維的“硬體”，它們是數學知識不可分割的兩部分。如字母代數思想、集合對映思想、方程思想、因果思想、遞推思想、極限思想、引數思想、變換思想、分類思想等。數學方法包括一般的科學方法——觀察與實驗、類比與聯想、分析與綜合、歸納與演繹、一般與特殊，還有具有數學學科特點的具體方法——配方法、換元法、屬性結合法、待定係數法等等 Æ。這就要求在數學知識教學的同時，必須注重數學思想，數學方法的有機滲透，讓學生學會對問題或現象進行分析、歸納、綜合、概括和抽象等。只有這樣，才能有助於學生一個活的數學知識結構的形成。現舉一例：
例：如圖，線上段AB上有三個點C1，C2，C3，問圖中有多少條線段？若線段AB上有99個點，則有多少條線段？ A C1 C2 C3 B
探索分析：①如果一條一條數，這是一種思想方法；②如果AB上有99個點就得另闢溪徑；③假如一開始要你對後一種比較複雜的情況作出回答，就必須回到簡單情況去考慮，這就是一般到特殊、簡單到複雜的數學方法，也就是“以退求進”的變換思想；
當有1個點C1時，有線段AC1，AB， C1A，共有2+1=3條；
當有2個點C1C2時，有線段AC1，AC2，AB，C1C2，C1B，C2B，共有3+2+1=6條；
當有3個點C1C2C3時，有線段AC1，AC2，AC3，AB，C1C2，C1C3，C1B，C2C3，C2B，C3B共有4+3+2+1=10條；
當有99個點時，共有線段100+99+98+……+3+2+1=5050條.
這裡用到了重要的歸納思想。
策略之二：以學生的層次性出發，引導學生構建新的數學認知結構
一方面，認知結構總是在學生頭腦中進行建構的。學生學習活動的主動性，自覺性是建構認知結構的精神力量；另一方面，認知結構總是不斷髮生變化的，原有認知結構是構建新認知結構的基礎，新認知結構是原認知結構的發展與完善。因此教師應積極探索在課堂教學中根據學生實際按層次引導他們去構建數學認知結構。
（1）對整體水平較高的班級集體，由於學生有較豐富的知識積累，具有較強的形成“思維鏈”的能力，因而可採用快（教學節奏）、多（問題系列）、變（習題豐富多變）等思路進行教學，啟發學生的思維向縱深發展，培養學生思維的敏捷性和獨創性。促進以高效快速建構。
（2）對學生基礎和發展水平中等的班級集體，教師應以課本為本，按教材本身的內在邏輯有序地組織教學，理清知識體系，形成知識網路，注意方法指導，培養學生自學能力和應用知識解決實際問題的能力。
（3）對整體水平較低的班級集體，重在考慮以下策略：①採用“小步子”方式循序漸進，經常“回頭觀望”，調整教學進度和內容的難易度以符合學生認知結構；②儘可能多地利用多種手段（例如：形象生動的語言或多種教學媒體的輔助）激發學生學習興趣，啟發學生思維；③對學生因新舊知識銜接不良難以遷移時，及時制定有針對性的複習對策，通過提問、書面作業、補充輔導等幫助學生過渡，以取得整體水平的提高。現舉一例課堂實錄片段，特別適用數學整體水平較低的的學生：
例：課題——無理數。學生學了有理數後，不能有效地容納無理數概念，即學生用“同化”的過程形成新概念，只能通過“順應”的過程達到無理數概念的形成。對於基礎較差的班級學生，若直接用“無盡不迴圈小數叫無理數”死灌，感到抽象，學生難以理解。我們不妨用形象生動的教學情景，從感知著手：教師上課進教室，手拿一個骰子。上課開始，教師問學生：“這是一件什麼東西？” 學生感到詫異：“老師怎麼把賭具拿到教師裡來，這不是搓麻將用的嗎！”引起學生一片好奇心。接著教師把一位同學請到講臺前進行拋骰子，教師作好記錄，黑板上跳出一串數： 2.25361554261……，這時，教師問學生：“無盡的投下去，結果出現的數能迴圈出現嗎？” 由於這是學生直接感知到的，又貼近實際，學生很自然地得出了無理數的概念。這是一種巧妙的聯結，是行之有效的策略。
總之，從數學知識結構本身不同層次學生來說，創設聯結的“最近發展區”，引導他們樂於構建新的認知結構這一導向策略，體現了因材施教，因人施教的原則。
策略之三：以學生髮展為目標，使學生自主地構建新的數學認知結構
根據數學認知結構來構思教學策略較好地解決了知識與能力的關係，但是，教學的根本問題乃是人的問題。面向二十一世紀的中學數學教師應該看到：學生的學習主要不只是為適應當前的環境，而是為適應今後發展的需要。從當前看，學生的學習容易成為一個被動的接受過程；從未來看，他們的學習又有待於發展到完全獨立而主動的自學階段，因些，數學課堂教學的重點是要培養起獨立積極學習的態度和自我教育，自我發展的自主的、能動的、創造性的能力。數學認知結構的建立，最後歸根到底，不是依賴教師去建構，更不是簡單的聯結，而是要求學生離開教師後，能自己主動地建構。因此以“人的發展”為主題，進行中學數學課堂教學策略的探討和構思是一種趨勢。
“人的發展”是課堂教學的出發點和歸宿，而課堂教學如何促進人的發展呢？必須以培養學生獨立學習的能力為突破口，獨立學習的實質是強調學生的獨立思考。傳統的教學模式是先教後學，即課堂教學在先，學生複習作業在後。然而獨立學習將這種天經地義的教學關係（或順序）顛倒過來，先學後教，即學生首先必須獨立學習，然後再進行課堂教學。在課堂教學中應著重解決學生在獨立學習中遇到的問題。中央教科所盧仲衡先生倡導的數學自學法、北京師範大學裴娣娜教授的自主發展性教學、上海華東師範大學葉瀾教授的“自主教學”、江蘇特級教師邱學華先生的嘗試教學法、江蘇洋思中學的“先練後學”教學模式等等，不失為使學生自覺構建新的認知結構的有效連結途徑。因此，此時的課堂教學是在獨立學習的基礎上進行，其教學策略則應側重在以下幾個方面：①通過檢查閱讀筆記和作業本以及課堂小測驗或提問來了解學生獨立學習的情況；②反映和解決學生獨立學習中存在的主要問題。關鍵在於教師在引導學生對存在的問題進行分析歸類，將大部分問題在分析過程中得以解決，小部分問題則通過質疑，討論來解決；③教師應充分尋找學生思維的閃光點，讓學生充分表現，鼓勵學生大膽發表自己的獨立見解。同時教師留心尋找學生的創見，作為深化課堂教學的契機，使全班同學共同受益。④小結引導學生對本節內容進行小結，要求學生按照自己的思路的方法把小結內容記入閱讀筆記。
初看起來，強調學生的獨立學習，似乎教師的教學任務輕了。其實不然，在獨立學習基礎上所進行的課堂教學是一種高水平的教學。就學生而言，課堂上充滿求知慾（問題意識）和表現欲（參與意識），課堂教學因此具有了永恆的內在動力。就教師而言，教學再也不能只停留在傳授知識的層面上，而須在發現問題、啟發思維、培養悟性上下功夫。它客觀地要求教師不斷地超越學生、超越一般的教學、超越自我，從而真正達到了教學相長的目的。根據教學目標包括知識、情感及技能目標來構思教學策略是提高課堂教學效益的有效方法，但從更深層次來說構思教學策略還應更注重培養學生的能力，這就要求從認知結構的角度，從數學思維規律的培養及數學思想方法的滲透來構思教學策略，使學生在有限的中學學習中從“學會”變會“會學”。同時還應掌握“獨立學習”能力，使學校成為從“終結教育”轉向“終身教育”的場所，因此從教育發展人的功能的角度來分析，設計數學認知結構的形成的聯結策略是一種趨勢。
教學活動是一項創造性的活動，合理的課堂教學策略是一種科學的導向，對於提高數學課堂教學效益，培養學生能力，全面地促進學生和諧的、創造性的發展有著極其重要的作用。合理的教學策略的選擇是一項藝術，這一藝術將使學生的數學學習成為有意義的聯結，煥發出學習生命的活力。