高一數學集合間的基本關係的知識點

　　集合是高一數學的學習內容，將集合的知識點歸納總結，也是學習集合的一種方法，下面是小編給大家帶來的有關於高一集合的基本關係的知識點的具體介紹，希望能夠幫助到大家。

　　介紹

　　1.1.2　集合間的基本關係

　　1.Venn圖

　　在數學中，用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖.

　　比如，中國的直轄市組成的集合為A，用Venn圖表示如圖所示.

　　【例1】試用Venn圖表示集合A={x|x2-16=0}.

　　解：集合A是方程x2-16=0的解集，解方程x2-16=0，得x1=4，x2=-4，所以A={-4,4}，用Venn圖表示如圖所示.

　　對Venn圖的理解　Venn圖表示集合直觀、明確，封閉曲線可以是矩形、橢圓或圓等等，沒有限制.

　　2.子集

　　定義一般地，對於兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關係，稱集合A為集合B的子集. 記法

　　與讀法記作AB***或BA***，讀作“A含於B”***或“B包含A”***. 圖示或示例具有北京市東城區戶口的人組成集合M，具有北京市戶口的人組成集合P，由於任意一個具有北京市東城區戶口的人都具有北京市戶口，所以有MP. 結論 ***1***任何一個集合是它本身的子集，即AA.

　　***2***對於集合A，B，C，若AB，且BC，則AC. 對子集的理解　***1***“AB”的含義：若xA就能推出xB.

　　***2***集合A是集合B的子集不能理解為集合A是由集合B中的“部分元素”組成的，因為集合A可能是空集，也可能是集合B.

　　***3***如果集合A中存在著不是集合B的元素，那麼集合A不包含於B，或B不包含A.此時記作AB或BA.

　　***4***注意符號“”與“”的區別：“”只用於集合與集合之間，如{0}N，而不能寫成{0}N;“”只能用於元素與集合之間，如0N，而不能寫成0N.

　　【例2-1】已知集合M={0,1}，集合N={0,2,1-m}，若MN，則實數m=__________.

　　解析：由題意知MN，又集合M={0,1}，因此1N，即1-m=1.故m=0.

　　答案：0

　　【例2-2】已知集合M={xZ|-1≤x<3}，N={x|x=|y|，yM}，試判斷集合M，N的關係.

　　解：∵xZ，且-1≤x<3，

　　∴x的可能取值為-1,0,1,2.

　　∴M={-1,0,1,2}.

　　又∵yM，

　　∴|y|分別是0,1,2.

　　∴N={0,1,2}.

　　∴NM.

　　3.集合相等

　　如果集合A是集合B的子集***AB***，且集合B是集合A的子集***BA***，那麼集合A與集合B相等，記作A=B.用Venn圖表示如圖所示.

　　對集合相等的理解　***1***A=BAB，且BA，這是證明兩個集合相等的重要依據;

　　***2***集合相等還可以用元素的觀點來定義：只要構成兩個集合的元素是一樣的，即這兩個集合中的元素完全相同，就稱這兩個集合相等;

　　***3***同一個集合，可以有不同的表示方法，這也是定義兩個集合相等的意義所在;

　　***4***集合中的關係與實數中的結論類比

　　實數集合 a≤b包含兩層含義：a=b，或a

　　A.P={1,4,7}，Q={1,4,6}

　　B.P={x|2x+2=0}，Q={-1}

　　C.3P,3Q

　　D.PQ

　　解析：對於A項，7P，而7Q，故P≠Q;對於B項，P={x|2x+2=0}={-1}=Q;對於C項，由3P,3Q，不能確定PQ，QP是否同時成立;對於D項，僅由PQ無法確定P與Q是否相等.

　　答案：B

　　【例3-2】設集合A={x，y}，B={0，x2}，若A=B，求實數x，y的值.

　　解：由集合相等的定義，得或

　　***1***由得x=0，y=0，不滿足集合中元素的互異性，故舍去;

　　***2***由得x=0，y=0或x=1，y=0，由***1***知x=0，y=0應捨去，x=1，y=0符合集合中元素的互異性.

　　綜上，可得x=1，y=0.

　　4.真子集

　　定義如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我們稱集合A是集合B的真子集. 記法記作AB***或BA***. 圖示結論 ***1***AB且BC，則AC;

　　***2***AB且A≠B，則AB. 對真子集的理解　***1***若集合A是集合B的子集，則集合A中所有元素都屬於集合B，並且集合B中至少有一個元素不屬於集合A;

　　***2***子集包括集合相等與真子集兩種情況，真子集是以子集為前提的.若集合A不是集合B的子集，則集合A一定不是集合B的真子集;

　　***3***與任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集.

　　【例4】已知集合P={2 012,2 013}，Q={2 011,2 012，2 013，2 014}，則有***　　***

　　A.P=Q B.QP

　　C.PQ D.QP

　　解析：很明顯，集合P中的元素都屬於集合Q，則PQ，但是2 014Q,2 014P，所以PQ.

　　答案：C

　　5.空集

　　定義我們把不含任何元素的集合，叫做空集. 記法規定空集是任何集合的子集，即A 特性 ***1***空集只有一個子集，即它本身，

　　***2***是任何非空集合的真子集，即若A≠，則A {0}與的區別

　　{0}與

　　的區別 {0}是含有一個元素的集合是不含任何元素的集合，因此{0}，注意不能寫成={0}，{0} 【例5-1】下列集合為空集的是***　　***

　　A.{0} B.{1}

　　C.{x|x<0} D.{x|1+x2=0}

　　解析：很明顯{0}和{1}都不是空集;因為{x|x<0}是全體負陣列成的集合，所以{x|x<0}也不是空集;集合{x|1+x2=0}是一元二次方程1+x2=0的解集，但是方程1+x2=0無實數解，所以{x|1+x2=0}=.

　　答案：D

　　【例5-2】有下列命題：①空集沒有子集;②任一集合至少有兩個子集;③空集是任何集合的真子集;④若A，則A≠.其中正確的有***　　***

　　A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

　　解析：對於①，空集是任何集合的子集，故，①錯;對於②，只有一個子集，是其自身，②錯;對於③，空集不是空集的真子集，③錯;空集是任何非空集合的真子集，④正確.

　　答案：B

　　6.集合間的關係判斷

　　***1***集合A，B間的關係

　　***2***判斷兩集合間關係的關鍵是弄清所給集合是由哪些元素組成的，也就是把抽象的集合具體化，這就要求熟練地用自然語言、符號語言***列舉法和描述法***、圖形語言***Venn圖***來表示集合.

　　***3***判斷集合間的關係，其方法主要有三種：

　　①一一列舉觀察;

　　②集合元素特徵法：首先確定集合的元素是什麼，弄清集合元素的特徵，再利用集合元素的特徵判斷關係.

　　一般地，設集合A={x|p***x***}，B={x|q***x***}，若p***x***推出q***x***，則AB;若q***x***推出p***x***，則BA;若p***x***，q***x***互相推出，則A=B;若p***x***推不出q***x***，q***x***也推不出p***x***，則集合A，B無包含關係.

　　③數形結合法：利用數軸或Venn圖.

　　***4***當MN和MN均成立時，MN比MN更準確地反映了集合M和N的關係.當MN和M=N均成立時，M=N比MN更準確地反映了集合M和N的關係.

　　例如，集合M={1}，集合N={1,2}，這時MN和MN均成立，MN比MN更準確地反映了集合M={1}和集合N={1,2}的關係.又例如，集合M={3}，集合N={3}，這時MN，NM，M=N均成立，M=N比MN更準確地反映了集合M={3}和集合N={3}的關係.【例6-1】指出下列各對集合之間的關係：

　　***1***A={-1,1}，B={***-1，-1***，***-1,1***，***1，-1***，***1,1***};

　　***2***A={x|x是等邊三角形}，B={x|x是等腰三角形};

　　***3***A={x|-1

　　***4***M={x|x=2n-1，nN*}，N={x|x=2n+1，nN*}.

　　分析：先找到集合中元素的特徵，再由特徵判斷集合之間的關係.

　　解：***1***集合A的代表元素是數，集合B的代表元素是有序實數對，故A與B之間無包含關係.

　　***2***等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故AB.

　　***3***集合B={x|x<5}，用數軸表示集合A，B如圖所示，由圖可知AB.

　　***4***由列舉法知M={1,3,5,7，…}，N={3,5,7,9，…}，故NM.

　　怎樣用數軸表示集合　對於連續實陣列成的集合，通常用數軸來表示，這也屬於集合表示的圖示法.注意在數軸上，若端點值是集合的元素，則用實心點表示;若端點值不是集合的元素，則用空心點表示.

　　【例6-2】已知集合，，則集合M，N的關係是***　　***

　　A.MNB.MN

　　C.NMD.NM

　　解析：設n=2m或2m+1，mZ，

　　則有

　　又∵，

　　∴MN.

　　答案：B

　　7.求已知集合的子集***或真子集***

　　***1***在寫出某個集合的子集時，可以按照集合中元素的個數從無到有、從少到多的順序依次寫出，要做到不重不漏.一定要考慮這一特殊的集合，因為是任何集合的子集;若是要求寫出某個集合的真子集，則不能將集合自身計算在內，因為任何一個集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集.

　　例如：寫出集合{1,2,3}的所有子集和真子集.我們可以按照元素個數從少到多依次寫出，其中元素個數分別為0,1,2,3.可以得到集合{1,2,3}的所有子集為，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3};所有真子集為，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}.

　　***2***當集合A中含有n個元素時，其子集的個數為2n，真子集的個數為2n-1，非空子集的個數為2n-1，非空真子集的個數為2n-2.

　　【例7-1】已知集合M滿足{1,2}M{1,2,3,4,5}，請寫出集合M.

　　分析：根據題目給出的條件可知，集合M中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5，且M中必須含有元素1,2，故可按M中所含元素的個數分類寫出集合M.

　　解：***1***當M中含有兩個元素時，M為{1,2};

　　***2***當M中含有三個元素時，M為{1,2,3}，{1,2,4}，{1，2,5};

　　***3***當M中含有四個元素時，M為{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5};

　　***4***當M中含有五個元素時，M為{1,2,3,4,5}.

　　因此滿足條件的集合M為：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.

　　有限集合子集的確定技巧　***1***確定所求的集合;

　　***2***合理分類，按照子集所含元素的個數依次寫出;

　　***3***注意兩個特殊的集合，即空集和集合自身，看它們是否能取到.

　　【例7-2】設集合A={a，b，c}，B={T|TA}，求集合B.

　　解：∵A={a，b，c}，又TA，

　　∴T可能為，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}.

　　∴B={，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}.

　　【例7-3】已知集合A={1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之和.

　　解：集合A的子集分別是：，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}.注意到A中的每個元素分別出現在A的4個子集中，即在其和中出現4次.故所求之和為***1+3+5***×4=36.

　　集合所有子集的元素之和的計算公式　若集合A={a1，a2，a3，…，an}，則A的所有子集的元素之和為***a1+a2+…+an***·2n-1.

　　8.集合間的基本關係與方程的綜合問題

　　集合間的基本關係與方程的綜合問題，通常是已知兩個表示方程解集的集合間的關係，求方程中未知引數的取值範圍.解決此類問題應注意：

　　***1***要明確表示方程解集的集合中哪個字母是方程中的未知數.集合{x|f***x***=0}表示關於x的方程的解集，x是未知數，其他字母是常數.例如集合{x|mx2-x+23=0}表示關於x的方程mx2-x+23=0的解集，其中x是未知數，m是常數.此方程易錯認為是一元二次方程，其原因是忽視了其中的引數m的取值.當m=0時，該方程為-x+23=0，是一元一次方程;當m≠0時，該方程為mx2-x+23=0，此時才是關於x的一元二次方程.

　　***2***正確理解集合包含關係的含義，特別是AB的含義.當B≠時，對於AB，通常要分A=和A≠兩種情況進行討論，此時，容易忽視A=的情況.

　　***3***對於二次項係數中含有引數的方程的解集問題，注意要對二次項係數是否為零進行討論.【例8-1】若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}且BA，求m的值.

　　分析：由於BA，因此集合B的所有元素都是集合A的元素，但由於集合B的元素x滿足mx+1=0，又字母m的範圍不明確，m是否為0題目沒有明示，因此要進行分類討論.本題應弄清楚兩個問題：一是集合B有沒有元素;二是集合B有元素時，元素是什麼.

　　解：A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.

　　因為BA，所以方程mx+1=0的解可以是-3或2或無解.

　　當mx+1=0的解為-3時，由-3m+1=0得;

　　當mx+1=0的解為2時，由2m+1=0得;

　　當mx+1=0無解時，m=0.

　　綜上可知，m的值為或或0.

　　【例8-2】設集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2***a+1***x+a2-1=0}，若BA，求實數a的值或取值範圍.

　　解：由題意得A={0，-4}，BA.

　　***1***當A=B時，即B={0，-4}.

　　由此知，0，-4是方程x2+2***a+1***x+a2-1=0的兩根，

　　由韋達定理知解得a=1.

　　***2***當B=時，Δ=4***a+1***2-4***a2-1***<0，解得a<-1.

　　***3***當B為單元素集時，Δ=4***a+1***2-4***a2-1***=0，解得a=-1.

　　當a=-1時，B={x|x2=0}={0}A，滿足條件.

　　綜上所述，所求實數a的取值範圍為a≤-1或a=1.9.集合間的基本關係與不等式的綜合問題

　　用圖形來表示數，形象而直觀，因此數形結合的思想在數學中廣泛應用.數軸是表示實數的，任何一個實數在數軸上均可用一個點來表示，反之，數軸上任何一點都代表一個實數，在數軸上表示一個不等式的取值範圍，形象而直觀.

　　在數軸上表示集合時，要注意端點用實心點還是空心點，若包含端點，則用實心點表示，若不包含端點，則用空心點表示.

　　集合間的基本關係與不等式的綜合問題，通常是已知兩個不等式解集的關係，求不等式中引數的值***或取值範圍***，解決此類問題應注意：

　　***1***要明確表示不等式解集的集合中哪個字母是不等式的未知數.集合{x|f***x***>0}，{x|f***x***<0}，{x|f***x***≥0}，{x|f***x***≤0}均表示關於x的不等式的解集，x是未知數，其他字母是常數.例如，集合{x|-nx+3<0}表示關於x的不等式-nx+3<0的解集，x是未知數，n是常數.這個方程易錯認為是一元一次不等式，其原因是忽視了其中的引數n的取值.當n=0時，該不等式為3<0，不是一元一次不等式;當n≠0時，該不等式才是關於x的一元一次不等式.

　　***2***用不等號連線的式子稱為不等式，例如2<3和3<2都是不等式，有了這種對不等式概念的正確理解就不會認為m+1

　　分析：集合A中是一個用具體數字表示的不等式，集合B中是一個用字母m表示的不等式，集合A給出的不等式在數軸上表示為-2到5的線段***去掉兩個端點***，集合B給出的不等式，m+1與2m-1的大小關係有兩種情形：當m+1≥2m-1時x，所以BA一定成立;當m+1<2m-1時，可藉助於數軸來分析解決.

　　解：∵BA，A≠，∴B=或B≠.

　　當B=時，m+1≥2m-1，解得m≤2.

　　B≠時，如數軸所示.

　　則有解得

　　因此2

　　綜上所述，m的取值範圍為m≤2或2

　　【例9-2】已知集合A={x|x<-1，或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若BA，求實數a的取值範圍.

　　分析：對集合B是否為空集進行分類討論求解.

　　解：當B=時，只需2a>a+3，即a>3;

　　當B≠時，根據題意作出如圖所示的數軸，

　　可得或解得a<-4或2

　　綜上可得，實數a的取值範圍為a<-4或a>2.