高一數學集合的例題講解介紹

　　學生在學習數學的時候嗎，需要多注意例題，很多的考試的試題都是根據課本的典型例題的變化得來的，下面的小編將為大家帶來高一數學關於集合的典型例題的介紹，希望能夠幫助到大家。

　　高一數學集合的例題講解

　　【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關係

　　A*** M=N P B*** M N=P C*** M N P D*** N P M

　　分析一：從判斷元素的共性與區別入手。

　　解答一：對於集合M：{x|x= ,m∈Z};對於集合N：{x|x= ,n∈Z}

　　對於集合P：{x|x= ,p∈Z}，由於3***n-1***+1和3p+1都表示被3除餘1的數，而6m+1表示被6除餘1的數，所以M N=P，故選B。

　　分析二：簡單列舉集合中的元素。

　　解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時不要急於判斷三個集合間的關係，應分析各集合中不同的元素。

　　= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

　　= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。

　　點評：由於思路二隻是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　變式：設集合 ， ，則*** B ***

　　A.M=N B.M N C.N M D.

　　解：

　　當 時，2k+1是奇數，k+2是整數，選B

　　【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個數為

　　A***1 B***2 C***3 D***4

　　分析：確定集合A*B子集的個數，首先要確定元素的個數，然後再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

　　解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有兩個元素，故A*B的子集共有22個。選D。

　　變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那麼集合M的個數為

　　A***5個 B***6個 C***7個 D***8個

　　變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

　　解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　評析 本題集合A的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數，所以共有 個 .

　　【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數p,q,r的值。

　　解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

　　∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

　　∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，

　　∴ ∴

　　變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數b,c,m的值.

　　解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5

　　∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

　　又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-***2+2***=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合A={x|***x-1******x+1******x+2***>0},集合B滿足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

　　分析：先化簡集合A，然後由A∪B和A∩B分別確定數軸上哪些元素屬於B，哪些元素不屬於B。

　　解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而***-∞,-2***∩B=ф。

　　綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

　　變式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。***答案：a=-2，b=0***

　　點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數形結合的方法，作出數軸來解之。

　　變式2：設M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。

　　解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

　　①當 時，ax-1=0無解，∴a=0 ②

　　綜①②得：所求集合為{-1，0， }

　　【例5】已知集合 ，函式y=log2***ax2-2x+2***的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數a的取值範圍。

　　分析：先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用引數分離求解。

　　解答：***1***若 ， 在 內有有解

　　令 當 時，

　　所以a>-4,所以a的取值範圍是

　　變式：若關於x的方程 有實根,求實數a的取值範圍

　　1、已知全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那麼集合 { 2 ，7 ，8}是 *** ***

　　2 . 如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一個元素，則a的值是 *** ***

　　A.0 B.0 或1 C.1 D.不能確定

　　3. 設集合A={x|1

　　A.{a|a ≥2｝ B.{a|a≤1｝ C.{a|a≥1｝. D.{a|a≤2｝.

　　5. 滿足{1，2，3} M {1，2，3，4，5，6}的集合M的個數是 *** ***

　　A.8 B.7 C.6 D.5

　　6. 集合A={a2，a+1，-1}，B={2a-1，| a-2 |， 3a2+4}，A∩B={-1}，則a的值是*** ***

　　A.-1 B.0 或1 C.2 D.0

　　7. 已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，則 *** ***

　　A.I=A∪B B.I=*** ***∪B C.I=A∪*** *** D.I=*** ***∪*** ***

　　8. 設集合M= ，則 *** ***

　　A.M =N B. M N C.M N D. N

　　9 . 集合A={x|x=2n+1，n∈Z}， B={y|y=4k±1，k∈Z}，則A與B的關係為 *** ***

　　A.A B B.A B C.A=B D.A≠B

　　10.設U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},*** UA***∩B={4}，*** UA***∩*** UB***={1，5}，則下列結論正確的是*** ***

　　A.3 A且3 B B.3 B且3∈A C.3 A且3∈B D.3∈A且3∈B

　　二.填空題***5分×5=25分***

　　11 .某班有學生55人,其中音樂愛好者34人,體育愛好者43人,還有4人既不愛好體育也不愛好音樂,則班級中即愛好體育又愛好音樂的有 人.

　　12. 設集合U={***x，y***|y=3x-1}，A={***x，y***| =3}，則 A= .

　　13. 集合M={y∣y= x2 +1,x∈ R｝,N={y∣ y=5- x2,x∈ R｝,則M∪N=_ __.

　　14. 集合M={a| ∈N，且a∈Z}，用列舉法表示集合M=_

　　15、已知集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,則m的值為

　　三.解答題.10+10+10=30

　　16. 設集合A={x, x2,y2-1｝,B={0,|x|,,y｝且A=B,求x, y的值

　　17.設集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2***a+1***x+a2-1=0} ，A∩B=B， 求實數a的值.

　　18. 集合A={x|x2-ax+a2-19=0｝，B={x|x2-5x+6=0｝，C={x|x2+2x-8=0｝.

　　***1***若A∩B=A∪B，求a的值;

　　***2***若 A∩B，A∩C= ，求a的值.

　　19.***本小題滿分10分***已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0}.若A∩B=B，求實數a的取值範圍.

　　20、已知A={x|x2+3x+2 ≥0}, B={x|mx2-4x+m-1>0 ,m∈R}, 若A∩B=φ, 且A∪B=A, 求m的取值範圍.

　　21、已知集合 ，B={x|2

　　參考答案

　　C B A D C D C D C B

　　26 {***1,2***} R {4,3,2,-1｝ 1或-1或0

　　16、x=-1 y=-1

　　17、解：A={0，-4} 又

　　***1***若B= ，則 ，

　　***2***若B={0}，把x=0代入方程得a= 當a=1時，B=

　　***3***若B={-4}時，把x=-4代入得a=1或a=7.

　　當a=1時，B={0，-4}≠{-4}，∴a≠1.

　　當a=7時，B={-4，-12}≠{-4}， ∴a≠7.

　　***4***若B={0，-4}，則a=1 ，當a=1時，B={0，-4}， ∴a=1

　　綜上所述：a

　　18、.解： 由已知，得B={2，3｝，C={2，-4｝.

　　***1***∵A∩B=A∪B，∴A=B

　　於是2，3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的兩個根，由韋達定理知：

　　解之得a=5.

　　***2***由A∩B ∩ ，又A∩C= ，得3∈A，2 A，-4 A，由3∈A，

　　得32-3a+a2-19=0，解得a=5或a=-2?

　　當a=5時，A={x|x2-5x+6=0｝={2，3｝，與2 A矛盾;

　　當a=-2時，A={x|x2+2x-15=0｝={3，-5｝，符合題意.

　　∴a=-2.

　　19、解:A={x|x2-3x+2=0}={1,2},

　　由x2-ax+3a-5=0，知Δ=a2-4***3a-5***=a2-12a+20=***a-2******a-10***.

　　***1***當2

　　***2***當a≤2或a≥10時，Δ≥0，則B≠ .

　　若x=1，則1-a+3a-5=0,得a=2,

　　此時B={x|x2-2x+1=0}={1} A;

　　若x=2，則4-2a+3a-5=0，得a=1,

　　此時B={2,-1} A.

　　綜上所述，當2≤a<10時，均有A∩B=B.

　　20、解：由已知A={x|x2+3x+2 }得 得 .***1***∵A非空 ，∴B= ;***2***∵A={x|x }∴ 另一方面， ，於是上面***2***不成立，否則 ，與題設 矛盾.由上面分析知，B= .由已知B= 結合B= ,得對一切x 恆成立，於是，有 的取值範圍是

　　21、∵A={x|***x-1******x+2***≤0}={x|-2≤x≤1}，

　　B={x|1

　　∵ ，***A∪B***∪C=R，

　　∴全集U=R。

　　∴ 的解為x<-2或x>3，

　　即，方程 的兩根分別為x=-2和x=3，

　　由一元二次方程由根與係數的關係，得

　　b=-***-2+3***=-1，c=***-2***×3=-6

　　高中數學關於集合的知識點

　　***1***集合是數學上的一個基礎概念，所謂的“基礎概念”是不能用其他的概念加以定義的，因此我們只能通過描述它的特點和性質來認識它。

　　***2***對於集合一定要從整體的角度來看待它.例如由“我們班的同學”組成的一個集合A，則它是一個整體，也就是一個班集體;

　　***3***構成集合的物件必須是“確定的”且“不同”的。

　　***4***要注意組成集合的“物件”的廣泛性：一方面，任何一個確定的物件都可以組成一個集合，如人、動物、數、方程、不等式等都可以作為組成集合的物件;另一方面，就是集合本身也可以作為集合的物件，如上面所提到的集合A，可以作為以“我們高一年級各班”組成的集合B的元素.

　　1、確定性：

　　即給定一個集合，每一個物件是否是該集合中的元素，應該是有明確判定標準的才行，不能出現模稜兩可的情況。

　　例如：個子比較高的同學，跑得比較快的人，素質非常高的人，試問以上的描述物件的全體構成集合嗎?

　　這些表述由於無法找到一個明確的判定標準，因此他們所描述物件就無法組成一個集合。

　　2、互異性：

　　集合中的元素是互不相同的，如果出現兩個及以上的相同元素只能算作一個，及集合中的元素是不重複出現的。

　　3、無序性：

　　即集合中的元素沒有次序之分，只要兩個集合的元素王全相同，這麼這兩個集合就是同一集合。

　　知識解讀：

　　集合中的元素，必須具備確定性、互異性、無序性。反過來，一組物件若不具備這三性，則這組物件也就不能構成集合，集合中元素的這三大特性是我們判斷一組物件是否能構成集合的依據.

　　解決與集合有關的問題時，要充分利用集合元素的“三性”來分析解決，也就是一方面，我們要利用集合元素的“三性”找到解題的“突破口”;另一方面，問題被解決之時，應注意檢驗元素是否滿足它的“三性”.

　　以下是高中數學中常用的數集及相應字母表示，在學習過程中大家比較容易混淆：

　　有理數集***N***、整數集***Z***、有理數集***Q***、實數集***R***

　　實際上，我們只需要按照它們所表示的範圍依次列出，然後記熟四個英文字母即可，非常簡潔高效。

　　注意：

　　***1***自然數集與非負整數集是相同的，也就是說，自然數集包括數0

　　***2***非負整數集內排除0的集記作N*或N+ ，Q+表示非負有理數。

　　1、集合的概念

　　集合是集合論中的不定義的原始概念，教材中對集合的概念進行了描述性說明：“一般地，把一些能夠確定的不同的物件看成一個整體，就說這個整體是由這些物件的全體構成的集合***或集***”。理解這句話，應該把握4個關鍵詞：物件、確定的、不同的、整體。

　　物件――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一確定的。

　　整體――集合不是研究某一單一物件的，它關注的是這些物件的全體。

　　確定的――集合元素的確定性――元素與集合的“從屬”關係。

　　不同的――集合元素的互異性。

　　2、有限集、無限集、空集的意義

　　有限集和無限集是針對非空集合來說的。我們理解起來並不困難。

　　我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記做Φ。理解它時不妨思考一下“0與Φ”及“Φ與{Φ}”的關係。

　　幾個常用數集N、N*、N+、Z、Q、R要記牢。

　　3、集合的表示方法

　　***1***列舉法的表示形式比較容易掌握，並不是所有的集合都能用列舉法表示，同學們需要知道能用列舉法表示的三種集合：

　　①元素不太多的有限集，如{0，1，8}

　　②元素較多但呈現一定的規律的有限集，如{1，2，3，„，100}

　　③呈現一定規律的無限集，如 {1，2，3，„，n，„}

　　●注意a與{a}的區別

　　●注意用列舉法表示集合時，集合元素的“無序性”。

　　***2***特徵性質描述法的關鍵是把所研究的集合的“特徵性質”找準，然後適當地表示出來就行了。但關鍵點也是難點。學習時多加練習就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y=x2}， {y|y=x2}， {***x，y***|y=x2}是三個不同的集合。

　　4、集合之間的關係

　　●注意區分“從屬”關係與“包含”關係

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