一元一次方程解法步驟

　　一元一次方程是初中數學教學中的重點和難點,在教學過程中教師和學生都有 有心無力 的感覺,如何將一元一次方程與實際應用更好地結合起來是教學一元一次方程中的核心問題，什麼是一元一次方程呢？怎麼解呢？下面是小編整理的什麼是一元一次方程，歡迎閱讀。

　　什麼是一元一次方程

　　只含有一個未知數、未知數的最高次數為1的等式叫做一元一次方程***linear equation in one unknown***;使方程左右兩邊的值相等的未知數的值，叫做方程的解***solution***

　　一元一次方程基本資訊

　　標準形式

　　一元一次方程的標準形式***即所有一元一次方程經整理都能得到的形式***是ax=b*** ***。其中 是未知數的係數， 是常數， 是未知數。未知數一般常設為 , , 。

　　方程特點

　　***1***該方程為整式方程。

　　***2***該方程有且只含有一個未知數。

　　***3***該方程中未知數的最高次數是1。

　　滿足以上三點的方程，就是一元一次方程。

　　判斷方法

　　要判斷一個方程是否為一元一次方程，先看它是否為整式方程。若是，再對它進行整理。如果能整理為 的形式，則這個方程就為一元一次方程。裡面要有等號，且分母裡不含未知數。

　　變形公式

　　*** ， 為常數， 為未知數，且 ***

　　求根公式

　　一元一次方程的標準形式：ax+b=0 ***a≠0***

　　其求根公式為：x=-b/a

　　一元一次方程只有一個根

　　通常解法

　　去分母→去括號→移項→合併同類項→未知項係數化為1***即化為x=a的形式***

　　兩種型別

　　***1***總量等於各分量之和。將未知數放在等號左邊，常數放在右邊。如： 。

　　***2***等式兩邊都含未知數。如： ， 。

　　方程舉例

　　3y=-1

　　5z+2=5

　　2x=1

　　5a+4=13×32

　　都是一元一次方程。

　　一元一次方程起源

　　“方程”一詞來源於中國古算術書《九章算術》。在這本著作中，已經列出了一元一次方程。法國數學家笛卡爾把未知數和常數通過代數運算所組成的方程稱為代數方程。在19世紀以前，方程一直是代數的核心內容。

　　主要用途

　　一元一次方程通常可用於做應用題，如工程問題、行程問題、分配問題、盈虧問題、積分表問題、電話計費問題、數字問題等。[1]

　　補充說明

　　合併同類項

　　***1***依據：乘法分配律

　　***2***把所含字母相同且相同字母的指數也相同的項合併成一項;常數計算後合併成一項

　　***3***合併時次數不變，只是係數相加減。

　　移項

　　***1***依據：等式的性質一

　　***2***含有未知數的項變號後都移到方程左邊，把常數項移到右邊。

　　***3***把方程一邊某項移到另一邊時，一定要變號***如：移項時將+改為-***。

　　等式性質

　　等式的性質一：等式兩邊同時加一個數或減去同一個數或同一個整式，等式仍然成立。

　　等式的性質二：等式兩邊同時乘或除以一個不為零的代數式，等式仍然成立。

　　等式的性質三：等式兩邊同時乘方，等式仍然成立。

　　解方程都是依據等式的這三個性質。

　　解的定義：使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解，也可以說是滿足方程的一個數值

　　

　　一、去分母

　　做法：在方程兩邊各項都乘以各分母的最小公倍數;

　　依據：等式的性質二

　　二、去括號

　　一般先去小括號，再去中括號，最後去大括號，可根據乘法分配律***記住如括號外有減號或除號的話一定要變號***

　　依據：乘法分配律

　　三、移項

　　做法：把方程中含有未知數的項都移到方程的一邊***一般是含有未知數的項移到方程左邊，而把常數項移到右邊***

　　依據：等式的性質一

　　四、合併同類項

　　做法：把方程化成ax=b***a≠0***的形式;

　　依據：乘法分配律***逆用乘法分配律***

　　五、係數化為1

　　做法：在方程兩邊都除以未知數的係數a，得到方程的解x=b/a。

　　依據：等式的性質二.

　　解方程口訣

　　去分母，去括號，移項時，要變號，同類項，合併好，再把係數來除掉。

　　同解方程

　　如果兩個方程的解相同，那麼這兩個方程叫做同解方程。

　　同解原理

　　***1***方程的兩邊都加或減同一個數或同一個等式所得的方程與原方程是同解方程。

　　***2***方程的兩邊同乘或同除同一個不為0的數所得的方程與原方程是同解方程。

　　求根公式

　　由於一元一次方程是基本方程，故教科書上的解法只有上述的方法。

　　但對於標準形式下的一元一次方程：ax+b=0 ***a≠0***。

　　可得出求根公式 。

　　函式解法

　　由於一元一次函式都可以轉化為ax+b=0***a，b為常量，a≠0***的形式，所以解一元一次方程就可以轉化為：

　　當某一個函式值為0時，求相應的自變數的值。從影象上看，這就相當於求直線y=kx+b***k，b為常量，k≠0***與x軸交點的橫座標的值。

　　一元一次方程學習實踐

　　在小學會學習較淺的一元一次方程，到了初中開始深入的瞭解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解較難的應用題。一元一次方程牽涉到許多的實際問題，例如工程問題、植樹問題、比賽比分問題、行程問題、流水行船問題、相遇問題、追及問題、分段收費問題、盈虧問題、利潤問題。

　　列方程時，要先設字母表示未知數，然後根據問題中的相等關係，寫出含有未知數的等式，即方程***equation***。

　　例如：

　　***1***4x=24

　　***2***1700+150x=2450

　　***3***0.52x-***1-0.52***x=80

　　分析實際問題中的數量關係，利用其中的相等關係列出方程，是用數學解決實際問題的一種方法。

　　一元一次方程教學設計

　　教學目標

　　***1***使學生初步掌握一元一次方程解簡單應用題的方法和步驟，並會列出一元一次方程解簡單的應用題;

　　***2***培養學生觀察能力，提高他們分析問題和解決問題的能力;

　　***3***使學生初步養成正確思考問題的良好習慣。

　　重點及難點

　　一元一次方程解簡單的應用題的方法和步驟。

　　過程設計

　　***1***從學生原有的認知結構提出問題：在小學算術中，我們學習了用算術方法解決實際問題的有關知識，那麼，一個實際問題能否應用一元一次方程來解決呢?若能解決，怎樣解?用一元一次方程解應用題與用算術方法解應用題相比較，它有什麼優越性呢?

　　為了回答上述這幾個問題，我們來看下面這個例題。

　　例1：某數的3倍減2等於某數與4的和，求某數。

　　***首先，用算術方法解，由學生回答，教師板書***

　　解法1：***4+2***÷***3-1***=3。

　　答：某數為3。

　　***其次，用代數方法來解，教師引導，學生口述完成***

　　解法2：設某數為x，則有3x-2=x+4。

　　解之，得x=3。

　　答：某數為3。

　　縱觀例1的這兩種解法，很明顯，算術方法不易思考，而應用設未知數，列出方程並通過解方程求得應用題的解的方法，有一種化難為易之感，這就是我們學習運用一元一次方程解應用題的目的之一。

　　我們知道方程是一個含有未知數的等式，而等式表示了一個相等關係。因此對於任何一個應用題中提供的條件，應首先從中找出一個相等關係，然後再將這個相等關係表示成方程。

　　本節課，我們就通過例項來說明怎樣尋找一個相等的關係和把這個相等關係轉化為方程的方法和步驟。

　　***2***師生共同分析、研究一元一次方程解簡單應用題的方法和步驟

　　例2.某面粉倉庫存放的麵粉運出15%後，還剩餘42 500千克，這個倉庫原來有多少麵粉?

　　師生共同分析：

　　1.本題中給出的已知量和未知量各是什麼?

　　2.已知量與未知量之間存在著怎樣的相等關係?***原來重量-運出重量=剩餘重量***

　　3.若設原來麵粉有x千克，則運出麵粉可表示為多少千克?利用上述相等關係，如何佈列方程?

　　上述分析過程可列表如下：

　　解：設原來有x千克麵粉，那麼運出了15%x千克，由題意，得x-15%x=42500，所以 x=50000。

　　答：原來有50000千克麵粉。

　　此時，讓學生討論：本題的相等關係除了上述表達形式以外，是否還有其他表達形式?若有，是什麼? 　***還有，原來重量=運出重量+剩餘重量;原來重量-剩餘重量=運出重量***

　　教師應指出：

　　1.這兩種相等關係的表達形式與“原來重量-運出重量=剩餘重量”，雖形式上不同，但實質是一樣的，可以任意選擇其中的一個相等關係來列方程

　　2.例2的解方程過程較為簡捷，同學應注意模仿.

　　依據例2的分析與解答過程，首先請同學們思考列一元一次方程解應用題的方法和步驟;然後，採取提問的方式，進行反饋。

　　最後，根據學生總結的情況，教師總結如下：

　　1.仔細審題，透徹理解題意.即弄清已知量、未知量及其相互關係，並用字母***如x***表示題中的一個合理未知數

　　2.根據題意找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關係.***這是關鍵一步***;

　　3.根據相等關係，正確列出方程.即所列的方程應滿足兩邊的量要相等;方程兩邊的代數式的單位要相同;題中條件應充分利用，不能漏也不能將一個條件重複利用等;

　　4.求出所列方程的解;

　　5.檢驗後明確地、完整地寫出答案.這裡要求的檢驗應是，檢驗所求出的解既能使方程成立，又能使應用題有意義。

　　6.最好能用計算器再進行一次驗算。

　　教學手段

　　引導——活動——討論[3]

　　教學方法

　　啟發式教學。

　　教學過程

　　主要概念：

　　1、方程：含有未知數的等式叫做方程。 2、一元一次方程：只含有一個未知數，未知數的指數是1的方程叫做一元一次方程。 3、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。 4、解方程：求方程的解的過程叫做解方程。

　　等式的性質：

　　等式的性質1：等式兩邊都加***或減***同一個數***或式子***，結果仍相等。

　　等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。

　　解一元一次方程的一般步驟及根據：

　　1.去分母——等式的性質二

　　2.去括號——分配律

　　3.移項——等式的性質一

　　4.合併——分配律

　　5.係數化為1——等式的性質二

　　6.驗根——把根分別代入方程的左右邊看求得的值是否相等

　　注意事項

　　***1***分母是小數時，根據分數的基本性質，把分母轉化為整數;

　　***2***去分母時，方程兩邊各項都乘各分母的最小公倍數，此時不含分母的項切勿漏乘，分數線相當於括號，去分母后分子各項應加括號;

　　***3***去括號時，不要漏乘括號內的項，不要弄錯符號;

　　***4***移項時，切記要變號，不要丟項，有時先合併再移項，以免丟項;

　　***5***係數化為1時，方程兩邊同乘以係數的倒數或同除以係數，不要弄錯符號;

　　***6***不要生搬硬套解方程的步驟，具體問題具體分析，，找到最佳解法。[4]

　　***7***分、小數運算時不能嫌麻煩。