八年級數學期中綜合測評卷答案

  距離八年級數學期中考試越來越近了,半學期即將結束,小編整理了關於八年級數學期中綜合測評卷,希望對大家有幫助!

  八年級數學期中綜合測評卷試題

  一、選擇題

  1.下面的圖形中,是中心對稱圖形的是  

  A. B. C. D.

  2.“小明數學期中考試得滿分”這是一個  

  A.必然事件 B.不可能事件

  C.隨機事件 D.以上說法都不對

  3.下列各式 、 、 、 +1、 中分式有  

  A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

  4.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質是  

  A.對角相等 B.對邊相等

  C.對角線相等 D.對角線互相平分

  5.如果把分式 中的m和n都擴大3倍,那麼分式的值  

  A.不變 B.擴大3倍 C.縮小3倍 D.擴大9倍

  6.有四條線段,長度分別是2cm,3cm,4cm,5cm,從中任取三條,能構成三角形的概率是  

  A. B. C. D.1

  7.如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=82°,AB的垂直平分線交對角線AC於點F,垂足為E,連線DF,則∠CDF等於  

  A.67° B.57° C.60° D.87°

  8.為了早日實現“綠色太倉,花園之城”的目標,太倉對4000米長的城北河進行了綠化改造.為了儘快完成工期,施工隊每天比原計劃多綠化10米,結果提前2天完成.若原計劃每天綠化x米,則所列方程正確的是  

  A. B.

  C. D.

  9.如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內,在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小,則這個最小值為  

  A. B.3 C.4 D.

  10.如圖,菱形OABC的頂點O在座標系原點,頂點A在x軸上,∠B=120°,OA=2,將菱形OABC繞原點O順時針旋轉105°至OA′B′C′的位置,則點B′的座標為  

  A.﹣ , B. ,﹣ C.2,﹣2 D. ,﹣

  二、填空題

  11.當x=      時,分式 的值為0.

  12.小燕拋一枚硬幣10次,有7次正面朝上,當她拋第11次時,正面向上的概率為      .

  13.在▱ABCD中,若∠A=3∠B,則∠C=      °.

  14.某校根據去年初三學生參加中考的數學成績的等級,繪製成如圖的扇形統計圖,則圖中表示A等級的扇形的圓心角的大小為      .

  15.如果分式方程 無解,則a=      .

  16.如圖,在菱形ABCD中,AC、BD相交於點O,E為AB的中點,若OE=3,則菱形ABCD的周長是      .

  17.關於x的方程:x+ =c+ 的解是x1=c,x2= ,x﹣ =c﹣ 解是x1=c,x2=﹣ ,則x+ =c+ 的解是      .

  18.如圖,在平面直角座標系中,A1,4,B3,2,點C是直線y=﹣4x+20上一動點,若OC恰好平分四邊形OACB的面積,則C點座標為      .

  三、解答題:

  19.計算

  1a﹣1﹣

  2先化簡,再求值: ,其中x=2 ﹣1.

  20.解方程

  1 =

  2 +3= .

  21.若關於x的分式方程 的解是正數,求a的取值範圍.

  22.如圖,在平面直角座標系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A﹣4,2、B0,4、C0,2,

  1畫出△ABC關於點C成中心對稱的△A1B1C;平移△ABC,若點A的對應點A2的座標為0,﹣4,畫出平移後對應的△A2B2C2;

  2△A1B1C和△A2B2C2關於某一點成中心對稱,則對稱中心的座標為      .

  23.某兒童娛樂場有一種遊戲,規則是:在一個裝有6個紅球和若干個白球2016春•無錫期中我區某校為了解八年級學生體育測試情況,以八年級1班學生的體育測試成績為樣本,按A,B,C,D四個等級進行統計,並將統計結果繪製成如下的統計圖,結合圖中所給資訊可知:

  1本次調查的樣本容量是      ,樣本中D等級的學生人數佔全班學生人數的百分比是      ;

  2把條形統計圖補充完整;

  3若該校八年級有300名學生,請根據此樣本,估計體育測試中達到A級和B級的學生人數約為      人.

  25.如圖,在平行四邊形ABCD中,E是AD邊上的中點,連線BE,並延長BE交CE的延長線於點F.證明:FD=AB.

  26.華昌中學開學初在金利源商場購進A、B兩種品牌的足球,購買A品牌足球花費了2500元,購買B品牌足球花費了2000元,且購買A品牌足球數量是購買B品牌足球數量的2倍,已知購買一個B品牌足球比購買一個A品牌足球多花30元.

  1求購買一個A品牌、一個B品牌的足球各需多少元?

  2華昌中學響應習“足球進校園”的號召,決定兩次購進A、B兩種品牌足球共50個,恰逢金利源商場對兩種品牌足球的售價進行調整,A品牌足球售價比第一次購買時提高了8%,B品牌足球按第一次購買時售價的9折出售,如果這所中學此次購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過3260元,那麼華昌中學此次最多可購買多少個B品牌足球?

  27.閱讀下列材料:

  我們定義:若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,則稱這條對角線叫這個四邊形的和諧線,這個四邊形叫做和諧四邊形.如正方形就是和諧四邊形.

  結合閱讀材料,完成下列問題:

  1下列哪個四邊形一定是和諧四邊形

  A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形

  2如圖,等腰Rt△ABD中,∠BAD=90°.若點C為平面上一點,AC為凸四邊形ABCD的和諧線,且AB=BC,請直接寫出∠ABC的度數.

  28.如圖1,在正方形ABCD中,點E為BC上一點,連線DE,把△DEC沿DE摺疊得到△DEF,延長EF交AB於G,連線

  DG.

  1求證:∠EDG=45°.

  2如圖2,E為BC的中點,連線BF.①求證:BF∥DE;②若正方形邊長為6,求線段AG的長.

  3當DE=DG時,求BE:CE.

  八年級數學期中綜合測評卷參考答案

  一、選擇題

  1.下面的圖形中,是中心對稱圖形的是  

  A. B. C. D.

  【考點】中心對稱圖形.

  【分析】根據中心對稱圖形的概念求解.

  【解答】解:A、不是中心對稱圖形.故錯誤;

  B、不是中心對稱圖形.故錯誤;

  C、不是中心對稱圖形.故錯誤;

  D、是中心對稱圖形.故正確.

  故選D.

  【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念:中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉180度後與原圖重合.

  2.“小明數學期中考試得滿分”這是一個  

  A.必然事件 B.不可能事件

  C.隨機事件 D.以上說法都不對

  【考點】隨機事件.

  【分析】根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念進行判斷即可.

  【解答】解:“小明數學期中考試得滿分”這是一個隨機事件,

  故選:C.

  【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下,一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下,一定不發生的事件,不確定事件即隨機事件是指在一定條件下,可能發生也可能不發生的事件.

  3.下列各式 、 、 、 +1、 中分式有  

  A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

  【考點】分式的定義.

  【分析】判斷分式的依據是看分母中是否含有字母,如果含有字母則是分式,如果不含有字母則不是分式.

  【解答】解: 、 、 的分母中均不含有字母,因此它們是整式,而不是分式.

  、 +1分母中含有字母,因此是分式.

  故選:A.

  【點評】本題主要考查分式的定義,注意π不是字母,是常數,所以 不是分式,是整式.

  4.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質是  

  A.對角相等 B.對邊相等

  C.對角線相等 D.對角線互相平分

  【考點】矩形的性質;平行四邊形的性質.

  【專題】證明題.

  【分析】矩形的對角線互相平分且相等,而平行四邊形的對角線互相平分,不一定相等.

  【解答】解:矩形的對角線相等,而平行四邊形的對角線不一定相等.

  故選:C.

  【點評】本題考查矩形的性質,矩形具有平行四邊形的性質,又具有自己的特性,要注意運用矩形具備而一般平行四邊形不具備的性質.如,矩形的對角線相等.

  5.如果把分式 中的m和n都擴大3倍,那麼分式的值  

  A.不變 B.擴大3倍 C.縮小3倍 D.擴大9倍

  【考點】分式的基本性質.

  【分析】根據分式的分子分母都乘以或除以同一個不為0的整式,結果不變,可得答案.

  【解答】如果把分式 中的m和n都擴大3倍,那麼分式的值不變,

  故選:A.

  【點評】本題考查了分式的性質,分式的分子分母都乘以或除以同一個不為0的整式,結果不變.

  6.有四條線段,長度分別是2cm,3cm,4cm,5cm,從中任取三條,能構成三角形的概率是  

  A. B. C. D.1

  【考點】列表法與樹狀圖法;三角形三邊關係.

  【分析】從四條線段中任意選取三條,找出所有的可能,以及能構成三角形的情況數,即可求出所求的概率.

  【解答】解:從四條線段中任意選取三條,所有的可能有:2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5共4種,

  其中構成三角形的有2,3,4;2,4,5;3,4,5共3種,

  則P構成三角形= .

  故選C.

  【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法,以及三角形的三邊關係,用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比.

  7.如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=82°,AB的垂直平分線交對角線AC於點F,垂足為E,連線DF,則∠CDF等於  

  A.67° B.57° C.60° D.87°

  【考點】菱形的性質;線段垂直平分線的性質.

  【分析】根據菱形的性質求出∠ADC=98°,再根據垂直平分線的性質得出AF=DF,從而計算出∠CDF的值.

  【解答】解:連線BD,BF,

  ∵∠BAD=82°,

  ∴∠ADC=98°,

  又∵EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,

  ∴AF=BF,BF=DF,

  ∴AF=DF,

  ∴∠FAD=∠FDA=41°,

  ∴∠CDF=98°﹣41°=57°.

  故選:B.

  【點評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質和菱形的性質,有一定的難度,解答本題時注意先先連線BD,BF,這是解答本題的突破口.

  8.為了早日實現“綠色太倉,花園之城”的目標,太倉對4000米長的城北河進行了綠化改造.為了儘快完成工期,施工隊每天比原計劃多綠化10米,結果提前2天完成.若原計劃每天綠化x米,則所列方程正確的是  

  A. B.

  C. D.

  【考點】由實際問題抽象出分式方程.

  【分析】關鍵描述語是:“提前2天完成綠化改造任務”.等量關係為:原計劃的工作時間﹣實際的工作時間=2.

  【解答】解:若設原計劃每天綠化xm,實際每天綠化x+10m,

  原計劃的工作時間為: ,實際的工作時間為:

  方程應該為: ﹣ =2.

  故選:A.

  【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程,列方程解應用題的關鍵步驟在於找相等關係.本題主要用到的關係為:工作時間=工作總量÷工作效率.

  9.如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內,在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小,則這個最小值為  

  A. B.3 C.4 D.

  【考點】軸對稱-最短路線問題;正方形的性質.

  【分析】由於點B與D關於AC對稱,所以連線BE,與AC的交點即為P點.此時PD+PE=BE最小,而BE是等邊△ABE的邊,BE=AB,由正方形ABCD的面積為16,可求出AB的長,從而得出結果.

  【解答】解:設BE與AC交於點P',連線BD.

  ∵點B與D關於AC對稱,

  ∴P'D=P'B,

  ∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.

  ∵正方形ABCD的面積為16,

  ∴AB=4,

  又∵△ABE是等邊三角形,

  ∴BE=AB=4.

  故選C.

  【點評】本題考查的是正方形的性質和軸對稱﹣最短路線問題,熟知“兩點之間,線段最短”是解答此題的關鍵.

  10.如圖,菱形OABC的頂點O在座標系原點,頂點A在x軸上,∠B=120°,OA=2,將菱形OABC繞原點O順時針旋轉105°至OA′B′C′的位置,則點B′的座標為  

  A.﹣ , B. ,﹣ C.2,﹣2 D. ,﹣

  【考點】菱形的性質;座標與圖形變化-旋轉.

  【分析】首先連線OB,OB′,過點B′作B′E⊥x軸於E,由旋轉的性質,易得∠BOB′=105°,由菱形的性質,易證得△AOB是等邊三角形,即可得OB′=OB=OA=2,∠AOB=60°,繼而可求得∠AOB′=45°,由等腰直角三角形的性質,即可求得答案.

  【解答】解:連線OB,OB′,過點B′作B′E⊥x軸於E,

  根據題意得:∠BOB′=105°,

  ∵四邊形OABC是菱形,

  ∴OA=AB,∠AOB= ∠AOC= ∠ABC= ×120°=60°,

  ∴△OAB是等邊三角形,

  ∴OB=OA=2,

  ∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°,OB′=OB=2,

  ∴OE=B′E=OB′•sin45°=2× = ,

  ∴點B′的座標為: ,﹣ .

  故選B.

  【點評】此題考查了旋轉的性質、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質以及等腰直角三角形性質.此題難度不大,注意掌握旋轉前後圖形的對應關係,注意輔助線的作法

  二、填空題

  11.當x= ﹣1 時,分式 的值為0.

  【考點】分式的值為零的條件.

  【分析】根據分式值為零的條件得x+1=0且x﹣2≠0,再解方程即可.

  【解答】解:由分式的值為零的條件得x+1=0,且x﹣2≠0,

  解得:x=﹣1,

  故答案為:﹣1.

  【點評】此題主要考查了分式值為零的條件,關鍵是掌握分式值為零的條件是分子等於零且分母不等於零.

  12.小燕拋一枚硬幣10次,有7次正面朝上,當她拋第11次時,正面向上的概率為   .

  【考點】概率的意義.

  【分析】求出一次拋一枚硬幣正面朝上的概率即可.

  【解答】解:∵拋硬幣正反出現的概率是相同的,不論拋多少次出現正面或反面的概率是一致的,

  ∴正面向上的概率為 .

  故答案為: .

  【點評】本題考查的是概率的意義,注意拋硬幣只有兩種情況,每次丟擲的概率都是一致的,與次數無關.

  13.在▱ABCD中,若∠A=3∠B,則∠C= 135 °.

  【考點】平行四邊形的性質.

  【分析】平行四邊形中,利用鄰角互補可求得∠A的度數,利用對角相等,即可得∠C的值.

  【解答】解:如圖所示,

  ∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠A+∠B=180°,

  ∵∠A=3∠B,∴∠A=∠C=135°.

  故答案為:135.

  【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質,利用鄰角互補的結論求四邊形內角度數是階解題關鍵.

  14.某校根據去年初三學生參加中考的數學成績的等級,繪製成如圖的扇形統計圖,則圖中表示A等級的扇形的圓心角的大小為 108° .

  【考點】扇形統計圖.

  【專題】計算題.

  【分析】根據C等級的人數與所佔的百分比計算出參加中考的人數,再求出A等級所佔的百分比,然後乘以360°計算即可得解.

  【解答】解:參加中考的人數為:60÷20%=300人,

  A等級所佔的百分比為: ×100%=30%,

  所以,表示A等級的扇形的圓心角的大小為360°×30%=108°.

  故答案為:108°.

  【點評】本題考查扇形統計圖及相關計算.在扇形統計圖中,每部分佔總部分的百分比等於該部分所對應的扇形圓心角的度數與360°的比.

  15.如果分式方程 無解,則a= 4 .

  【考點】分式方程的解.

  【分析】根據分式方程無解,可得x的值,根據分式方程的增根滿足整式方程,可得關於a的方程,根據解方程,可得答案.

  【解答】解:方程兩邊都乘以x﹣4,得

  x=2x﹣8+a.

  由分式方程 無解,得

  x=4,

  將x=4代入x=2x﹣8+a,得

  4=8﹣8+a,

  解得a=4,

  故答案為:4.

  【點評】本題考查了分式方程的解,利用分式方程的增根滿足整式方程得出關於a的方程是解題關鍵.

  16.如圖,在菱形ABCD中,AC、BD相交於點O,E為AB的中點,若OE=3,則菱形ABCD的周長是 24 .

  【考點】菱形的性質;三角形中位線定理.

  【分析】根據菱形的角平分線互相平分可得AO=CO,然後判斷出OE是△ABC的中位線,根據三角形的中位線平行於第三邊並且等於第三邊的一半求出BC的長,再根據菱形的周長公式列式進行計算即可得解.

  【解答】解:在菱形ABCD中,AO=CO,

  ∵E為AB的中點,

  ∴OE是△ABC的中位線,

  ∴BC=2OE=2×3=6,

  ∴菱形ABCD的周長=4×6=24.

  故答案為:24.

  【點評】本題考查了菱形的對角線互相平分的性質,三角形的中位線平行於第三邊並且等於第三邊的一半的性質,以及菱形的周長公式,判斷出OE是△ABC的中位線是解本題的關鍵.

  17.關於x的方程:x+ =c+ 的解是x1=c,x2= ,x﹣ =c﹣ 解是x1=c,x2=﹣ ,則x+ =c+ 的解是 x1=c,x2= +3 .

  【考點】分式方程的解.

  【專題】計算題.

  【分析】根據題中方程的解歸納總結得到一般性規律,所求方程變形後確定出解即可.

  【解答】解:所求方程變形得:x﹣3+ =c﹣3+ ,

  根據題中的規律得:x﹣3=c﹣3,x﹣3= ,

  解得:x1=c,x2= +3,

  故答案為:x1=c,x2= +3

  【點評】此題考查了分式方程的解,歸納總結得到題中方程解的規律是解本題的關鍵.

  18.如圖,在平面直角座標系中,A1,4,B3,2,點C是直線y=﹣4x+20上一動點,若OC恰好平分四邊形OACB的面積,則C點座標為  ,  .

  【考點】一次函式綜合題.

  【分析】OC恰好平分四邊形OACB的面積,則OC和AB的交點就是AB的中點,求得AB的中點D,然後利用待定係數法即可求得OD的解析式,然後求OD的解析式與直線y=4x+20的交點即可.

  【解答】解:AB的中點D的座標是: , ,即2,3,

  設直線OD的解析式是y=kx,則2k=3,

  解得:k= ,

  則直線的解析式是:y= x,

  根據題意得: ,

  解得: ,

  則C的座標是: , .

  故答案是: , .

  【點評】本題考查了待定係數法求函式的解析式,以及直線交點的求法,理解AC一定經過AB的中點是關鍵.

  三、解答題:

  19.計算

  1a﹣1﹣

  2先化簡,再求值: ,其中x=2 ﹣1.

  【考點】分式的化簡求值.

  【分析】1先通分,再把分子相加減即可;

  2先通分,再把分子相加減,最後把x的值代入進行計算即可.

  【解答】解:1原式=

  =﹣ ;

  2原式=

  =

  = ,

  當x=2 ﹣1時,原式= = .

  【點評】本題考查的是分式的化簡求值,分式中的一些特殊求值題並非是一味的化簡,代入,求值.許多問題還需運用到常見的數學思想,如化歸思想即轉化、整體思想等,瞭解這些數學解題思想對於解題技巧的豐富與提高有一定幫助.

  20.解方程

  1 =

  2 +3= .

  【考點】解分式方程.

  【專題】計算題.

  【分析】兩分式方程去分母轉化為整式方程,求出整式方程的解得到未知數的值,經檢驗即可得到分式方程的解.

  【解答】解:1去分母得:2x+1=5x﹣5,

  解得:x=2,

  經檢驗x=2是分式方程的解;

  2去分母得:1+3y﹣6=y﹣1,

  解得:y=2,

  經檢驗y=2是增根,分式無解.

  【點評】此題考查瞭解分式方程,解分式方程的基本思想是“轉化思想”,把分式方程轉化為整式方程求解.解分式方程一定注意要驗根.

  21.若關於x的分式方程 的解是正數,求a的取值範圍.

  【考點】分式方程的解.

  【專題】計算題.

  【分析】先解關於x的分式方程,求得x的值,然後再依據“解是正數”建立不等式求a的取值範圍.

  【解答】解:去分母,得2x+a=2﹣x

  解得:x= ,∴ >0

  ∴2﹣a>0,

  ∴a<2,且x≠2,

  ∴a≠﹣4

  ∴a<2且a≠﹣4.

  【點評】由於我們的目的是求a的取值範圍,因此也沒有必要求得x的值,求得3x=2﹣a即可列出關於a的不等式了,另外,解答本題時,易漏掉a≠﹣4,這是因為忽略了x﹣2≠0這個隱含的條件而造成的,這應引起同學們的足夠重視.

  22.如圖,在平面直角座標系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A﹣4,2、B0,4、C0,2,

  1畫出△ABC關於點C成中心對稱的△A1B1C;平移△ABC,若點A的對應點A2的座標為0,﹣4,畫出平移後對應的△A2B2C2;

  2△A1B1C和△A2B2C2關於某一點成中心對稱,則對稱中心的座標為 2,﹣1 .

  【考點】作圖-旋轉變換;作圖-平移變換.

  【專題】作圖題.

  【分析】1根據網格結構找出點A、B關於點C成中心對稱的點A1、B1的位置,再與點A順次連線即可;根據網格結構找出點A、B、C平移後的對應點A2、B2、C2的位置,然後順次連線即可;

  2根據中心對稱的性質,連線兩組對應點的交點即為對稱中心.

  【解答】解:1△A1B1C如圖所示,

  △A2B2C2如圖所示;

  2如圖,對稱中心為2,﹣1.

  【點評】本題考查了利用旋轉變換作圖,利用平移變換作圖,熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵.

  23.某兒童娛樂場有一種遊戲,規則是:在一個裝有6個紅球和若干個白球2016春•無錫期中我區某校為了解八年級學生體育測試情況,以八年級1班學生的體育測試成績為樣本,按A,B,C,D四個等級進行統計,並將統計結果繪製成如下的統計圖,結合圖中所給資訊可知:

  1本次調查的樣本容量是 50 ,樣本中D等級的學生人數佔全班學生人數的百分比是 10% ;

  2把條形統計圖補充完整;

  3若該校八年級有300名學生,請根據此樣本,估計體育測試中達到A級和B級的學生人數約為 198 人.

  【考點】條形統計圖;總體、個體、樣本、樣本容量;用樣本估計總體;扇形統計圖.

  【分析】1利用A類有10人,佔總體的20%,求出樣本容量,再求出D等級的學生人數的百分比;

  2先求出D等級的學生人數,再據此可補全條形圖即可;

  3利用總人數乘A、B級所佔的百分比即可.

  【解答】解:1讀圖可得:A類有10人,佔總體的20%,所以樣本容量為10÷20%=50人,

  D等級的學生人數為50﹣10﹣23﹣12=5人.

  樣本中D等級的學生人數佔全班學生人數的百分比是 ×100%=10%.

  故答案為:50,10%.

  2D級的學生人數為50﹣10﹣23﹣12=5人,

  據此可補全條形圖;

  3A級和B級的學生人數為300×46%+20%=198人.

  故答案為:198.

  【點評】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用,讀懂統計圖,從不同的統計圖中得到必要的資訊是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個專案的資料;扇形統計圖直接反映部分佔總體的百分比大小.

  25.如圖,在平行四邊形ABCD中,E是AD邊上的中點,連線BE,並延長BE交CE的延長線於點F.證明:FD=AB.

  【考點】平行四邊形的性質;全等三角形的判定與性質.

  【專題】證明題.

  【分析】由在平行四邊形ABCD中,E是AD邊上的中點,易證得△ABE≌△DFEAAS,繼而證得FD=AB.

  【解答】證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

  ∴AB∥CD,

  ∴∠ABE=∠F,

  ∵E是AD邊上的中點,

  ∴AE=DE,

  在△ABE和△DFE中,

  ,

  ∴△ABE≌△DFEAAS,

  ∴FD=AB.

  【點評】此題考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質.注意平行四邊形的對邊平行.

  26.華昌中學開學初在金利源商場購進A、B兩種品牌的足球,購買A品牌足球花費了2500元,購買B品牌足球花費了2000元,且購買A品牌足球數量是購買B品牌足球數量的2倍,已知購買一個B品牌足球比購買一個A品牌足球多花30元.

  1求購買一個A品牌、一個B品牌的足球各需多少元?

  2華昌中學響應習“足球進校園”的號召,決定兩次購進A、B兩種品牌足球共50個,恰逢金利源商場對兩種品牌足球的售價進行調整,A品牌足球售價比第一次購買時提高了8%,B品牌足球按第一次購買時售價的9折出售,如果這所中學此次購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過3260元,那麼華昌中學此次最多可購買多少個B品牌足球?

  【考點】分式方程的應用;一元一次不等式的應用.

  【分析】1設一個A品牌的足球需x元,則一個B品牌的足球需x+30元,根據購買A品牌足球數量是購買B品牌足球數量的2倍列出方程解答即可;

  2設此次可購買a個B品牌足球,則購進A牌足球50﹣a個,根據購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過3260元,列出不等式解決問題.

  【解答】解:1設一個A品牌的足球需x元,則一個B品牌的足球需x+30元,由題意得

  = ×2

  解得:x=50

  經檢驗x=50是原方程的解,

  x+30=80

  答:一個A品牌的足球需50元,則一個B品牌的足球需80元.

  2設此次可購買a個B品牌足球,則購進A牌足球50﹣a個,由題意得

  50×1+8%50﹣a+80×0.9a≤3260

  解得a≤31

  ∵a是整數,

  ∴a最大等於31,

  答:華昌中學此次最多可購買31個B品牌足球.

  【點評】此題考查二元一次方程組與分式方程的應用,找出題目蘊含的等量關係與不等關係是解決問題的關鍵.

  27.閱讀下列材料:

  我們定義:若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,則稱這條對角線叫這個四邊形的和諧線,這個四邊形叫做和諧四邊形.如正方形就是和諧四邊形.

  結合閱讀材料,完成下列問題:

  1下列哪個四邊形一定是和諧四邊形 C

  A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形

  2如圖,等腰Rt△ABD中,∠BAD=90°.若點C為平面上一點,AC為凸四邊形ABCD的和諧線,且AB=BC,請直接寫出∠ABC的度數.

  【考點】等腰梯形的性質;等腰直角三角形;平行四邊形的性質;菱形的性質;矩形的性質.

  【專題】新定義.

  【分析】1有和諧四邊形的定義即可得到菱形是和諧四邊形;

  2首先根據題意畫出圖形,然後由AC是四邊形ABCD的和諧線,可以得出△ACD是等腰三角形,從圖1,圖2,圖3三種情況運用等邊三角形的性質,正方形的性質和30°的直角三角形性質就可以求出∠ABC的度數.

  【解答】解:1∵菱形的四條邊相等,

  ∴連線對角線能得到兩個等腰三角形,

  ∴菱形是和諧四邊形;

  2解:∵AC是四邊形ABCD的和諧線,

  ∴△ACD是等腰三角形,

  在等腰Rt△ABD中,

  ∵AB=AD,

  ∴AB=AD=BC,

  如圖1,當AD=AC時,

  ∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC

  ∴△ABC是正三角形,

  ∴∠ABC=60°.

  如圖2,當AD=CD時,

  ∴AB=AD=BC=CD.

  ∵∠BAD=90°,

  ∴四邊形ABCD是正方形,

  ∴∠ABC=90°;

  如圖3,當AC=CD時,過點C作CE⊥AD於E,過點B作BF⊥CE於F,

  ∵AC=CD.CE⊥AD,

  ∴AE= AD,∠ACE=∠DCE.

  ∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,

  ∴四邊形ABFE是矩形.

  ∴BF=AE.

  ∵AB=AD=BC,

  ∴BF= BC,

  ∴∠BCF=30°.

  ∵AB=BC,

  ∴∠ACB=∠BAC.

  ∵AB∥CE,

  ∴∠BAC=∠ACE,

  ∴∠ACB=∠BAC= ∠BCF=15°,

  ∴∠ABC=150°,

  綜上:∠ABC的度數可能是:60°90°150°.

  【點評】此題考查了等腰直角三角形的性質,等腰三角形的性質、矩形的性質、正方形的性質,菱形的性質,此題難度較大,注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用.

  28.如圖1,在正方形ABCD中,點E為BC上一點,連線DE,把△DEC沿DE摺疊得到△DEF,延長EF交AB於G,連線

  DG.

  1求證:∠EDG=45°.

  2如圖2,E為BC的中點,連線BF.①求證:BF∥DE;②若正方形邊長為6,求線段AG的長.

  3當DE=DG時,求BE:CE.

  【考點】四邊形綜合題.

  【分析】1根據正方形的性質可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,根據翻折前後兩個圖形能夠完全重合可得∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然後利用“HL”證明Rt△DGA和Rt△DGF全等,根據全等三角形對應角相等可得∠3=∠4,然後求出∠2+∠3=45°,從而得解;

  2①根據摺疊的性質和線段中點的定義可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再根據三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和求出∠5=∠DEC,然後利用同位角相等,兩直線平行證明即可;

  ②設AG=x,表示出GF、BG,根據點E是BC的中點求出BE、EF,從而得到GE的長度,再利用勾股定理列出方程求解即可;

  3根據等腰三角形三線合一的性質可得F是EG的中點,再利用“HL”證明Rt△ADG和Rt△CDE全等,根據全等三角形對應邊相等可得AG=CE,再求出BG=BE,然後根據等腰直角三角形的性質可得BF⊥GE,從而得到BE:EF的值,即為BE:EC.

  【解答】1證明:如圖1,

  ∵四邊形ABCD是正方形,

  ∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,

  ∵△DEC沿DE摺疊得到△DEF,

  ∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,

  ∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,

  在Rt△DGA和Rt△DGF中, ,

  ∴Rt△DGA≌Rt△DGFHL,

  ∴∠3=∠4,

  ∴∠EDG=∠3+∠2= ∠ADF+ ∠FDC,

  = ∠ADF+∠FDC,

  = ×90°,

  =45°;

  2①證明:如圖2,

  ∵△DEC沿DE摺疊得到△DEF,E為BC的中點,

  ∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,

  ∴∠5=∠6,

  ∵∠FEC=∠5+∠6

  ∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,

  ∴2∠5=2∠DEC,

  即∠5=∠DEC,

  ∴BF∥DE;

  ②解:設AG=x,則GF=x,BG=6﹣x,

  ∵正方形邊長為6,E為BC的中點,

  ∴CE=EF=BE= ×6=3,

  ∴GE=EF+GF=3+x,

  在Rt△GBE中,根據勾股定理得:6﹣x2+32=3+x2,

  解得x=2,

  即,線段AG的長為2;

  3∵DE=DG,∠DFE=∠C=90°,

  ∴點F是EG的中點,

  在Rt△ADG和Rt△CDE中,

  ,

  ∴Rt△ADG≌Rt△CDEHL,

  ∴AG=CE,

  ∴AB﹣AG=BC﹣CE,

  即BG=BE,

  ∴△BEG是等腰直角三角形,

  ∴BF⊥GE,

  ∴BE:EF= ,

  即BE:EC= ,

  故答案為: .

  【點評】本題是四邊形綜合題,主要考查了正方形的性質,全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形的判定與性質,勾股定理的應用,翻折變換的性質,熟記各性質是解題的關鍵.