八年級數學期中綜合測評卷答案
距離八年級數學期中考試越來越近了,半學期即將結束,小編整理了關於八年級數學期中綜合測評卷,希望對大家有幫助!
八年級數學期中綜合測評卷試題
一、選擇題
1.下面的圖形中,是中心對稱圖形的是
A. B. C. D.
2.“小明數學期中考試得滿分”這是一個
A.必然事件 B.不可能事件
C.隨機事件 D.以上說法都不對
3.下列各式 、 、 、 +1、 中分式有
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
4.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質是
A.對角相等 B.對邊相等
C.對角線相等 D.對角線互相平分
5.如果把分式 中的m和n都擴大3倍,那麼分式的值
A.不變 B.擴大3倍 C.縮小3倍 D.擴大9倍
6.有四條線段,長度分別是2cm,3cm,4cm,5cm,從中任取三條,能構成三角形的概率是
A. B. C. D.1
7.如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=82°,AB的垂直平分線交對角線AC於點F,垂足為E,連線DF,則∠CDF等於
A.67° B.57° C.60° D.87°
8.為了早日實現“綠色太倉,花園之城”的目標,太倉對4000米長的城北河進行了綠化改造.為了儘快完成工期,施工隊每天比原計劃多綠化10米,結果提前2天完成.若原計劃每天綠化x米,則所列方程正確的是
A. B.
C. D.
9.如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內,在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小,則這個最小值為
A. B.3 C.4 D.
10.如圖,菱形OABC的頂點O在座標系原點,頂點A在x軸上,∠B=120°,OA=2,將菱形OABC繞原點O順時針旋轉105°至OA′B′C′的位置,則點B′的座標為
A.﹣ , B. ,﹣ C.2,﹣2 D. ,﹣
二、填空題
11.當x= 時,分式 的值為0.
12.小燕拋一枚硬幣10次,有7次正面朝上,當她拋第11次時,正面向上的概率為 .
13.在▱ABCD中,若∠A=3∠B,則∠C= °.
14.某校根據去年初三學生參加中考的數學成績的等級,繪製成如圖的扇形統計圖,則圖中表示A等級的扇形的圓心角的大小為 .
15.如果分式方程 無解,則a= .
16.如圖,在菱形ABCD中,AC、BD相交於點O,E為AB的中點,若OE=3,則菱形ABCD的周長是 .
17.關於x的方程:x+ =c+ 的解是x1=c,x2= ,x﹣ =c﹣ 解是x1=c,x2=﹣ ,則x+ =c+ 的解是 .
18.如圖,在平面直角座標系中,A1,4,B3,2,點C是直線y=﹣4x+20上一動點,若OC恰好平分四邊形OACB的面積,則C點座標為 .
三、解答題:
19.計算
1a﹣1﹣
2先化簡,再求值: ,其中x=2 ﹣1.
20.解方程
1 =
2 +3= .
21.若關於x的分式方程 的解是正數,求a的取值範圍.
22.如圖,在平面直角座標系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A﹣4,2、B0,4、C0,2,
1畫出△ABC關於點C成中心對稱的△A1B1C;平移△ABC,若點A的對應點A2的座標為0,﹣4,畫出平移後對應的△A2B2C2;
2△A1B1C和△A2B2C2關於某一點成中心對稱,則對稱中心的座標為 .
23.某兒童娛樂場有一種遊戲,規則是:在一個裝有6個紅球和若干個白球2016春•無錫期中我區某校為了解八年級學生體育測試情況,以八年級1班學生的體育測試成績為樣本,按A,B,C,D四個等級進行統計,並將統計結果繪製成如下的統計圖,結合圖中所給資訊可知:
1本次調查的樣本容量是 ,樣本中D等級的學生人數佔全班學生人數的百分比是 ;
2把條形統計圖補充完整;
3若該校八年級有300名學生,請根據此樣本,估計體育測試中達到A級和B級的學生人數約為 人.
25.如圖,在平行四邊形ABCD中,E是AD邊上的中點,連線BE,並延長BE交CE的延長線於點F.證明:FD=AB.
26.華昌中學開學初在金利源商場購進A、B兩種品牌的足球,購買A品牌足球花費了2500元,購買B品牌足球花費了2000元,且購買A品牌足球數量是購買B品牌足球數量的2倍,已知購買一個B品牌足球比購買一個A品牌足球多花30元.
1求購買一個A品牌、一個B品牌的足球各需多少元?
2華昌中學響應習“足球進校園”的號召,決定兩次購進A、B兩種品牌足球共50個,恰逢金利源商場對兩種品牌足球的售價進行調整,A品牌足球售價比第一次購買時提高了8%,B品牌足球按第一次購買時售價的9折出售,如果這所中學此次購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過3260元,那麼華昌中學此次最多可購買多少個B品牌足球?
27.閱讀下列材料:
我們定義:若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,則稱這條對角線叫這個四邊形的和諧線,這個四邊形叫做和諧四邊形.如正方形就是和諧四邊形.
結合閱讀材料,完成下列問題:
1下列哪個四邊形一定是和諧四邊形
A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
2如圖,等腰Rt△ABD中,∠BAD=90°.若點C為平面上一點,AC為凸四邊形ABCD的和諧線,且AB=BC,請直接寫出∠ABC的度數.
28.如圖1,在正方形ABCD中,點E為BC上一點,連線DE,把△DEC沿DE摺疊得到△DEF,延長EF交AB於G,連線
DG.
1求證:∠EDG=45°.
2如圖2,E為BC的中點,連線BF.①求證:BF∥DE;②若正方形邊長為6,求線段AG的長.
3當DE=DG時,求BE:CE.
八年級數學期中綜合測評卷參考答案
一、選擇題
1.下面的圖形中,是中心對稱圖形的是
A. B. C. D.
【考點】中心對稱圖形.
【分析】根據中心對稱圖形的概念求解.
【解答】解:A、不是中心對稱圖形.故錯誤;
B、不是中心對稱圖形.故錯誤;
C、不是中心對稱圖形.故錯誤;
D、是中心對稱圖形.故正確.
故選D.
【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念:中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉180度後與原圖重合.
2.“小明數學期中考試得滿分”這是一個
A.必然事件 B.不可能事件
C.隨機事件 D.以上說法都不對
【考點】隨機事件.
【分析】根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念進行判斷即可.
【解答】解:“小明數學期中考試得滿分”這是一個隨機事件,
故選:C.
【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下,一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下,一定不發生的事件,不確定事件即隨機事件是指在一定條件下,可能發生也可能不發生的事件.
3.下列各式 、 、 、 +1、 中分式有
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
【考點】分式的定義.
【分析】判斷分式的依據是看分母中是否含有字母,如果含有字母則是分式,如果不含有字母則不是分式.
【解答】解: 、 、 的分母中均不含有字母,因此它們是整式,而不是分式.
、 +1分母中含有字母,因此是分式.
故選:A.
【點評】本題主要考查分式的定義,注意π不是字母,是常數,所以 不是分式,是整式.
4.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質是
A.對角相等 B.對邊相等
C.對角線相等 D.對角線互相平分
【考點】矩形的性質;平行四邊形的性質.
【專題】證明題.
【分析】矩形的對角線互相平分且相等,而平行四邊形的對角線互相平分,不一定相等.
【解答】解:矩形的對角線相等,而平行四邊形的對角線不一定相等.
故選:C.
【點評】本題考查矩形的性質,矩形具有平行四邊形的性質,又具有自己的特性,要注意運用矩形具備而一般平行四邊形不具備的性質.如,矩形的對角線相等.
5.如果把分式 中的m和n都擴大3倍,那麼分式的值
A.不變 B.擴大3倍 C.縮小3倍 D.擴大9倍
【考點】分式的基本性質.
【分析】根據分式的分子分母都乘以或除以同一個不為0的整式,結果不變,可得答案.
【解答】如果把分式 中的m和n都擴大3倍,那麼分式的值不變,
故選:A.
【點評】本題考查了分式的性質,分式的分子分母都乘以或除以同一個不為0的整式,結果不變.
6.有四條線段,長度分別是2cm,3cm,4cm,5cm,從中任取三條,能構成三角形的概率是
A. B. C. D.1
【考點】列表法與樹狀圖法;三角形三邊關係.
【分析】從四條線段中任意選取三條,找出所有的可能,以及能構成三角形的情況數,即可求出所求的概率.
【解答】解:從四條線段中任意選取三條,所有的可能有:2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5共4種,
其中構成三角形的有2,3,4;2,4,5;3,4,5共3種,
則P構成三角形= .
故選C.
【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法,以及三角形的三邊關係,用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比.
7.如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=82°,AB的垂直平分線交對角線AC於點F,垂足為E,連線DF,則∠CDF等於
A.67° B.57° C.60° D.87°
【考點】菱形的性質;線段垂直平分線的性質.
【分析】根據菱形的性質求出∠ADC=98°,再根據垂直平分線的性質得出AF=DF,從而計算出∠CDF的值.
【解答】解:連線BD,BF,
∵∠BAD=82°,
∴∠ADC=98°,
又∵EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,
∴AF=BF,BF=DF,
∴AF=DF,
∴∠FAD=∠FDA=41°,
∴∠CDF=98°﹣41°=57°.
故選:B.
【點評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質和菱形的性質,有一定的難度,解答本題時注意先先連線BD,BF,這是解答本題的突破口.
8.為了早日實現“綠色太倉,花園之城”的目標,太倉對4000米長的城北河進行了綠化改造.為了儘快完成工期,施工隊每天比原計劃多綠化10米,結果提前2天完成.若原計劃每天綠化x米,則所列方程正確的是
A. B.
C. D.
【考點】由實際問題抽象出分式方程.
【分析】關鍵描述語是:“提前2天完成綠化改造任務”.等量關係為:原計劃的工作時間﹣實際的工作時間=2.
【解答】解:若設原計劃每天綠化xm,實際每天綠化x+10m,
原計劃的工作時間為: ,實際的工作時間為:
方程應該為: ﹣ =2.
故選:A.
【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程,列方程解應用題的關鍵步驟在於找相等關係.本題主要用到的關係為:工作時間=工作總量÷工作效率.
9.如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內,在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小,則這個最小值為
A. B.3 C.4 D.
【考點】軸對稱-最短路線問題;正方形的性質.
【分析】由於點B與D關於AC對稱,所以連線BE,與AC的交點即為P點.此時PD+PE=BE最小,而BE是等邊△ABE的邊,BE=AB,由正方形ABCD的面積為16,可求出AB的長,從而得出結果.
【解答】解:設BE與AC交於點P',連線BD.
∵點B與D關於AC對稱,
∴P'D=P'B,
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.
∵正方形ABCD的面積為16,
∴AB=4,
又∵△ABE是等邊三角形,
∴BE=AB=4.
故選C.
【點評】本題考查的是正方形的性質和軸對稱﹣最短路線問題,熟知“兩點之間,線段最短”是解答此題的關鍵.
10.如圖,菱形OABC的頂點O在座標系原點,頂點A在x軸上,∠B=120°,OA=2,將菱形OABC繞原點O順時針旋轉105°至OA′B′C′的位置,則點B′的座標為
A.﹣ , B. ,﹣ C.2,﹣2 D. ,﹣
【考點】菱形的性質;座標與圖形變化-旋轉.
【分析】首先連線OB,OB′,過點B′作B′E⊥x軸於E,由旋轉的性質,易得∠BOB′=105°,由菱形的性質,易證得△AOB是等邊三角形,即可得OB′=OB=OA=2,∠AOB=60°,繼而可求得∠AOB′=45°,由等腰直角三角形的性質,即可求得答案.
【解答】解:連線OB,OB′,過點B′作B′E⊥x軸於E,
根據題意得:∠BOB′=105°,
∵四邊形OABC是菱形,
∴OA=AB,∠AOB= ∠AOC= ∠ABC= ×120°=60°,
∴△OAB是等邊三角形,
∴OB=OA=2,
∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°,OB′=OB=2,
∴OE=B′E=OB′•sin45°=2× = ,
∴點B′的座標為: ,﹣ .
故選B.
【點評】此題考查了旋轉的性質、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質以及等腰直角三角形性質.此題難度不大,注意掌握旋轉前後圖形的對應關係,注意輔助線的作法
二、填空題
11.當x= ﹣1 時,分式 的值為0.
【考點】分式的值為零的條件.
【分析】根據分式值為零的條件得x+1=0且x﹣2≠0,再解方程即可.
【解答】解:由分式的值為零的條件得x+1=0,且x﹣2≠0,
解得:x=﹣1,
故答案為:﹣1.
【點評】此題主要考查了分式值為零的條件,關鍵是掌握分式值為零的條件是分子等於零且分母不等於零.
12.小燕拋一枚硬幣10次,有7次正面朝上,當她拋第11次時,正面向上的概率為 .
【考點】概率的意義.
【分析】求出一次拋一枚硬幣正面朝上的概率即可.
【解答】解:∵拋硬幣正反出現的概率是相同的,不論拋多少次出現正面或反面的概率是一致的,
∴正面向上的概率為 .
故答案為: .
【點評】本題考查的是概率的意義,注意拋硬幣只有兩種情況,每次丟擲的概率都是一致的,與次數無關.
13.在▱ABCD中,若∠A=3∠B,則∠C= 135 °.
【考點】平行四邊形的性質.
【分析】平行四邊形中,利用鄰角互補可求得∠A的度數,利用對角相等,即可得∠C的值.
【解答】解:如圖所示,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠A+∠B=180°,
∵∠A=3∠B,∴∠A=∠C=135°.
故答案為:135.
【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質,利用鄰角互補的結論求四邊形內角度數是階解題關鍵.
14.某校根據去年初三學生參加中考的數學成績的等級,繪製成如圖的扇形統計圖,則圖中表示A等級的扇形的圓心角的大小為 108° .
【考點】扇形統計圖.
【專題】計算題.
【分析】根據C等級的人數與所佔的百分比計算出參加中考的人數,再求出A等級所佔的百分比,然後乘以360°計算即可得解.
【解答】解:參加中考的人數為:60÷20%=300人,
A等級所佔的百分比為: ×100%=30%,
所以,表示A等級的扇形的圓心角的大小為360°×30%=108°.
故答案為:108°.
【點評】本題考查扇形統計圖及相關計算.在扇形統計圖中,每部分佔總部分的百分比等於該部分所對應的扇形圓心角的度數與360°的比.
15.如果分式方程 無解,則a= 4 .
【考點】分式方程的解.
【分析】根據分式方程無解,可得x的值,根據分式方程的增根滿足整式方程,可得關於a的方程,根據解方程,可得答案.
【解答】解:方程兩邊都乘以x﹣4,得
x=2x﹣8+a.
由分式方程 無解,得
x=4,
將x=4代入x=2x﹣8+a,得
4=8﹣8+a,
解得a=4,
故答案為:4.
【點評】本題考查了分式方程的解,利用分式方程的增根滿足整式方程得出關於a的方程是解題關鍵.
16.如圖,在菱形ABCD中,AC、BD相交於點O,E為AB的中點,若OE=3,則菱形ABCD的周長是 24 .
【考點】菱形的性質;三角形中位線定理.
【分析】根據菱形的角平分線互相平分可得AO=CO,然後判斷出OE是△ABC的中位線,根據三角形的中位線平行於第三邊並且等於第三邊的一半求出BC的長,再根據菱形的周長公式列式進行計算即可得解.
【解答】解:在菱形ABCD中,AO=CO,
∵E為AB的中點,
∴OE是△ABC的中位線,
∴BC=2OE=2×3=6,
∴菱形ABCD的周長=4×6=24.
故答案為:24.
【點評】本題考查了菱形的對角線互相平分的性質,三角形的中位線平行於第三邊並且等於第三邊的一半的性質,以及菱形的周長公式,判斷出OE是△ABC的中位線是解本題的關鍵.
17.關於x的方程:x+ =c+ 的解是x1=c,x2= ,x﹣ =c﹣ 解是x1=c,x2=﹣ ,則x+ =c+ 的解是 x1=c,x2= +3 .
【考點】分式方程的解.
【專題】計算題.
【分析】根據題中方程的解歸納總結得到一般性規律,所求方程變形後確定出解即可.
【解答】解:所求方程變形得:x﹣3+ =c﹣3+ ,
根據題中的規律得:x﹣3=c﹣3,x﹣3= ,
解得:x1=c,x2= +3,
故答案為:x1=c,x2= +3
【點評】此題考查了分式方程的解,歸納總結得到題中方程解的規律是解本題的關鍵.
18.如圖,在平面直角座標系中,A1,4,B3,2,點C是直線y=﹣4x+20上一動點,若OC恰好平分四邊形OACB的面積,則C點座標為 , .
【考點】一次函式綜合題.
【分析】OC恰好平分四邊形OACB的面積,則OC和AB的交點就是AB的中點,求得AB的中點D,然後利用待定係數法即可求得OD的解析式,然後求OD的解析式與直線y=4x+20的交點即可.
【解答】解:AB的中點D的座標是: , ,即2,3,
設直線OD的解析式是y=kx,則2k=3,
解得:k= ,
則直線的解析式是:y= x,
根據題意得: ,
解得: ,
則C的座標是: , .
故答案是: , .
【點評】本題考查了待定係數法求函式的解析式,以及直線交點的求法,理解AC一定經過AB的中點是關鍵.
三、解答題:
19.計算
1a﹣1﹣
2先化簡,再求值: ,其中x=2 ﹣1.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】1先通分,再把分子相加減即可;
2先通分,再把分子相加減,最後把x的值代入進行計算即可.
【解答】解:1原式=
=﹣ ;
2原式=
=
= ,
當x=2 ﹣1時,原式= = .
【點評】本題考查的是分式的化簡求值,分式中的一些特殊求值題並非是一味的化簡,代入,求值.許多問題還需運用到常見的數學思想,如化歸思想即轉化、整體思想等,瞭解這些數學解題思想對於解題技巧的豐富與提高有一定幫助.
20.解方程
1 =
2 +3= .
【考點】解分式方程.
【專題】計算題.
【分析】兩分式方程去分母轉化為整式方程,求出整式方程的解得到未知數的值,經檢驗即可得到分式方程的解.
【解答】解:1去分母得:2x+1=5x﹣5,
解得:x=2,
經檢驗x=2是分式方程的解;
2去分母得:1+3y﹣6=y﹣1,
解得:y=2,
經檢驗y=2是增根,分式無解.
【點評】此題考查瞭解分式方程,解分式方程的基本思想是“轉化思想”,把分式方程轉化為整式方程求解.解分式方程一定注意要驗根.
21.若關於x的分式方程 的解是正數,求a的取值範圍.
【考點】分式方程的解.
【專題】計算題.
【分析】先解關於x的分式方程,求得x的值,然後再依據“解是正數”建立不等式求a的取值範圍.
【解答】解:去分母,得2x+a=2﹣x
解得:x= ,∴ >0
∴2﹣a>0,
∴a<2,且x≠2,
∴a≠﹣4
∴a<2且a≠﹣4.
【點評】由於我們的目的是求a的取值範圍,因此也沒有必要求得x的值,求得3x=2﹣a即可列出關於a的不等式了,另外,解答本題時,易漏掉a≠﹣4,這是因為忽略了x﹣2≠0這個隱含的條件而造成的,這應引起同學們的足夠重視.
22.如圖,在平面直角座標系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A﹣4,2、B0,4、C0,2,
1畫出△ABC關於點C成中心對稱的△A1B1C;平移△ABC,若點A的對應點A2的座標為0,﹣4,畫出平移後對應的△A2B2C2;
2△A1B1C和△A2B2C2關於某一點成中心對稱,則對稱中心的座標為 2,﹣1 .
【考點】作圖-旋轉變換;作圖-平移變換.
【專題】作圖題.
【分析】1根據網格結構找出點A、B關於點C成中心對稱的點A1、B1的位置,再與點A順次連線即可;根據網格結構找出點A、B、C平移後的對應點A2、B2、C2的位置,然後順次連線即可;
2根據中心對稱的性質,連線兩組對應點的交點即為對稱中心.
【解答】解:1△A1B1C如圖所示,
△A2B2C2如圖所示;
2如圖,對稱中心為2,﹣1.
【點評】本題考查了利用旋轉變換作圖,利用平移變換作圖,熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵.
23.某兒童娛樂場有一種遊戲,規則是:在一個裝有6個紅球和若干個白球2016春•無錫期中我區某校為了解八年級學生體育測試情況,以八年級1班學生的體育測試成績為樣本,按A,B,C,D四個等級進行統計,並將統計結果繪製成如下的統計圖,結合圖中所給資訊可知:
1本次調查的樣本容量是 50 ,樣本中D等級的學生人數佔全班學生人數的百分比是 10% ;
2把條形統計圖補充完整;
3若該校八年級有300名學生,請根據此樣本,估計體育測試中達到A級和B級的學生人數約為 198 人.
【考點】條形統計圖;總體、個體、樣本、樣本容量;用樣本估計總體;扇形統計圖.
【分析】1利用A類有10人,佔總體的20%,求出樣本容量,再求出D等級的學生人數的百分比;
2先求出D等級的學生人數,再據此可補全條形圖即可;
3利用總人數乘A、B級所佔的百分比即可.
【解答】解:1讀圖可得:A類有10人,佔總體的20%,所以樣本容量為10÷20%=50人,
D等級的學生人數為50﹣10﹣23﹣12=5人.
樣本中D等級的學生人數佔全班學生人數的百分比是 ×100%=10%.
故答案為:50,10%.
2D級的學生人數為50﹣10﹣23﹣12=5人,
據此可補全條形圖;
3A級和B級的學生人數為300×46%+20%=198人.
故答案為:198.
【點評】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用,讀懂統計圖,從不同的統計圖中得到必要的資訊是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個專案的資料;扇形統計圖直接反映部分佔總體的百分比大小.
25.如圖,在平行四邊形ABCD中,E是AD邊上的中點,連線BE,並延長BE交CE的延長線於點F.證明:FD=AB.
【考點】平行四邊形的性質;全等三角形的判定與性質.
【專題】證明題.
【分析】由在平行四邊形ABCD中,E是AD邊上的中點,易證得△ABE≌△DFEAAS,繼而證得FD=AB.
【解答】證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,
∴∠ABE=∠F,
∵E是AD邊上的中點,
∴AE=DE,
在△ABE和△DFE中,
,
∴△ABE≌△DFEAAS,
∴FD=AB.
【點評】此題考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質.注意平行四邊形的對邊平行.
26.華昌中學開學初在金利源商場購進A、B兩種品牌的足球,購買A品牌足球花費了2500元,購買B品牌足球花費了2000元,且購買A品牌足球數量是購買B品牌足球數量的2倍,已知購買一個B品牌足球比購買一個A品牌足球多花30元.
1求購買一個A品牌、一個B品牌的足球各需多少元?
2華昌中學響應習“足球進校園”的號召,決定兩次購進A、B兩種品牌足球共50個,恰逢金利源商場對兩種品牌足球的售價進行調整,A品牌足球售價比第一次購買時提高了8%,B品牌足球按第一次購買時售價的9折出售,如果這所中學此次購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過3260元,那麼華昌中學此次最多可購買多少個B品牌足球?
【考點】分式方程的應用;一元一次不等式的應用.
【分析】1設一個A品牌的足球需x元,則一個B品牌的足球需x+30元,根據購買A品牌足球數量是購買B品牌足球數量的2倍列出方程解答即可;
2設此次可購買a個B品牌足球,則購進A牌足球50﹣a個,根據購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過3260元,列出不等式解決問題.
【解答】解:1設一個A品牌的足球需x元,則一個B品牌的足球需x+30元,由題意得
= ×2
解得:x=50
經檢驗x=50是原方程的解,
x+30=80
答:一個A品牌的足球需50元,則一個B品牌的足球需80元.
2設此次可購買a個B品牌足球,則購進A牌足球50﹣a個,由題意得
50×1+8%50﹣a+80×0.9a≤3260
解得a≤31
∵a是整數,
∴a最大等於31,
答:華昌中學此次最多可購買31個B品牌足球.
【點評】此題考查二元一次方程組與分式方程的應用,找出題目蘊含的等量關係與不等關係是解決問題的關鍵.
27.閱讀下列材料:
我們定義:若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,則稱這條對角線叫這個四邊形的和諧線,這個四邊形叫做和諧四邊形.如正方形就是和諧四邊形.
結合閱讀材料,完成下列問題:
1下列哪個四邊形一定是和諧四邊形 C
A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
2如圖,等腰Rt△ABD中,∠BAD=90°.若點C為平面上一點,AC為凸四邊形ABCD的和諧線,且AB=BC,請直接寫出∠ABC的度數.
【考點】等腰梯形的性質;等腰直角三角形;平行四邊形的性質;菱形的性質;矩形的性質.
【專題】新定義.
【分析】1有和諧四邊形的定義即可得到菱形是和諧四邊形;
2首先根據題意畫出圖形,然後由AC是四邊形ABCD的和諧線,可以得出△ACD是等腰三角形,從圖1,圖2,圖3三種情況運用等邊三角形的性質,正方形的性質和30°的直角三角形性質就可以求出∠ABC的度數.
【解答】解:1∵菱形的四條邊相等,
∴連線對角線能得到兩個等腰三角形,
∴菱形是和諧四邊形;
2解:∵AC是四邊形ABCD的和諧線,
∴△ACD是等腰三角形,
在等腰Rt△ABD中,
∵AB=AD,
∴AB=AD=BC,
如圖1,當AD=AC時,
∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形,
∴∠ABC=60°.
如圖2,當AD=CD時,
∴AB=AD=BC=CD.
∵∠BAD=90°,
∴四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°;
如圖3,當AC=CD時,過點C作CE⊥AD於E,過點B作BF⊥CE於F,
∵AC=CD.CE⊥AD,
∴AE= AD,∠ACE=∠DCE.
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,
∴四邊形ABFE是矩形.
∴BF=AE.
∵AB=AD=BC,
∴BF= BC,
∴∠BCF=30°.
∵AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC.
∵AB∥CE,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠ACB=∠BAC= ∠BCF=15°,
∴∠ABC=150°,
綜上:∠ABC的度數可能是:60°90°150°.
【點評】此題考查了等腰直角三角形的性質,等腰三角形的性質、矩形的性質、正方形的性質,菱形的性質,此題難度較大,注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用.
28.如圖1,在正方形ABCD中,點E為BC上一點,連線DE,把△DEC沿DE摺疊得到△DEF,延長EF交AB於G,連線
DG.
1求證:∠EDG=45°.
2如圖2,E為BC的中點,連線BF.①求證:BF∥DE;②若正方形邊長為6,求線段AG的長.
3當DE=DG時,求BE:CE.
【考點】四邊形綜合題.
【分析】1根據正方形的性質可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,根據翻折前後兩個圖形能夠完全重合可得∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然後利用“HL”證明Rt△DGA和Rt△DGF全等,根據全等三角形對應角相等可得∠3=∠4,然後求出∠2+∠3=45°,從而得解;
2①根據摺疊的性質和線段中點的定義可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再根據三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和求出∠5=∠DEC,然後利用同位角相等,兩直線平行證明即可;
②設AG=x,表示出GF、BG,根據點E是BC的中點求出BE、EF,從而得到GE的長度,再利用勾股定理列出方程求解即可;
3根據等腰三角形三線合一的性質可得F是EG的中點,再利用“HL”證明Rt△ADG和Rt△CDE全等,根據全等三角形對應邊相等可得AG=CE,再求出BG=BE,然後根據等腰直角三角形的性質可得BF⊥GE,從而得到BE:EF的值,即為BE:EC.
【解答】1證明:如圖1,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,
∵△DEC沿DE摺疊得到△DEF,
∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,
∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,
在Rt△DGA和Rt△DGF中, ,
∴Rt△DGA≌Rt△DGFHL,
∴∠3=∠4,
∴∠EDG=∠3+∠2= ∠ADF+ ∠FDC,
= ∠ADF+∠FDC,
= ×90°,
=45°;
2①證明:如圖2,
∵△DEC沿DE摺疊得到△DEF,E為BC的中點,
∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,
∴∠5=∠6,
∵∠FEC=∠5+∠6
∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,
∴2∠5=2∠DEC,
即∠5=∠DEC,
∴BF∥DE;
②解:設AG=x,則GF=x,BG=6﹣x,
∵正方形邊長為6,E為BC的中點,
∴CE=EF=BE= ×6=3,
∴GE=EF+GF=3+x,
在Rt△GBE中,根據勾股定理得:6﹣x2+32=3+x2,
解得x=2,
即,線段AG的長為2;
3∵DE=DG,∠DFE=∠C=90°,
∴點F是EG的中點,
在Rt△ADG和Rt△CDE中,
,
∴Rt△ADG≌Rt△CDEHL,
∴AG=CE,
∴AB﹣AG=BC﹣CE,
即BG=BE,
∴△BEG是等腰直角三角形,
∴BF⊥GE,
∴BE:EF= ,
即BE:EC= ,
故答案為: .
【點評】本題是四邊形綜合題,主要考查了正方形的性質,全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形的判定與性質,勾股定理的應用,翻折變換的性質,熟記各性質是解題的關鍵.
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