中國率先發明十進位制

　　十進位制計數法，即滿十進一，滿二十進二，以此類推……是中國人民的一項傑出創造，在世界數學史上有重要意義。

　　淵源：

　　首先，現在人們日常生活中所不可或離的十進位值制，就是中國的一大發明。至遲在商代時，中國已採用了十進位值制。從現已發現的商代陶文和甲骨文中，可以看到當時已能夠用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬等十三個數字，記十萬以內的任何自然數。這些記數文字的形狀，在後世雖有所變化而成為現在的寫法，但記數方法卻從沒有中斷，一直被沿襲，並日趨完善。十進位值制的記數法是古代世界中最先進、科學的記數法，對世界科學和文化的發展有著不可估量的作用。正如李約瑟所說的：“如果沒有這種十進位制，就不可能出現我們現在這個統一化的世界了。”

　　大地灣仰韶晚期房F901中曾出土一組陶質量具，主要有泥質槽狀條形盤、夾細砂長柄麻花耳鏟形抄、泥質單環耳箕形抄、泥質帶蓋四把深腹罐等。其中條形盤的容積約為264.3立方厘米;鏟形抄的自然盛穀物容積約為2650.7立方厘米;箕形抄的自然盛穀物容積約為5288.4立方厘米;四把深腹罐的容積約為26082.1立方厘米。由此可以看出，除箕形抄是鏟形抄的二倍外，其餘三件的關係都是以十倍的遞增之數。這些度量衡具的發現也為研究我國古代十進位制的起源等，提供了非常珍貴的實物資料。

　　古巴比侖的記數法雖有位值制的意義，但它採用的是六十進位的，計算非常繁瑣。古埃及的數字從一到十隻有兩個數字符號，從一百到一千萬有四個數字符號，而且這些符號都是象形的，如用一隻鳥表示十萬。古希臘由於幾何發達，因而輕視計算，記數方法落後，是用全部希臘字母來表示一到一萬的數字，字母不夠就用加符號“‘”等的方法來補充。古羅馬採用的是累積法，如用ccc表示300。印度古代既有用字母表示，又有用累積法，到公元七世紀時方採用十進位值制，很可能受到中國的影響。現通用的印度——阿拉伯數碼和記數法，大約在十世紀時才傳到歐洲。

　　在計算數學方面，中國大約在商周時期已經有了四則運算，到春秋戰國時期整數和分數的四則運算已相當完備。其中，出現於春秋時期的正整數乘法歌訣“九九歌”，堪稱是先進的十進位記數法與簡明的中國語言文字相結合之結晶，這是任何其它記數法和語言文字所無法產生的。從此，“九九歌”成為數學的普及和發展最基本的基礎之一，一直延續至今。其變化只是古代的“九九歌”從“九九八十一”開始，到“二二如四”止，而現在是由“一一如一”到“九九八十一”。

　　數是人類在長期實踐活動中逐漸積累經驗而形成的抽象概念。數的主要用途在於表示事物的多少和事物之間的次序。我們熟悉的自然數就具有這兩方面的功能。要發揮自然數的功能，必須創造出表達數字概念的適當方式，即記數法。

　　從世界範圍看，人類發明的記數法很多，有二進位制、五進位制、十進位制、十二進位制、二十進位制、六十進位制，等等。根據美國數學家易勒斯調查，在原始各民族307種記數系統中，使用十進位制的有146種;五進位、十進位、二十進位混合使用的有106種。這說明十進位值記數法是人類最常用的。

　　為什麼十進位制記數法最常用呢?這跟咱們人類自身的身體有密切的關係。咱們人類，不管你有何種膚色、不管你講何種語言，也不管你屬何種民族，都同樣長著兩隻手，每隻手各有五個指頭。手是人類勞動的主要器官。最初人類計數的時候，最方便的莫過於擺弄手指。伸出或彎曲幾個手指就是幾。但這最多隻能到10，再往下數就沒有手指頭了。怎麼辦呢?只得先把10個手指的數記下來，再重新開始數手指頭。如此迴圈往復，自然而然就以十來進位了。

　　中國數學史的源頭可以追溯到舊石器時代晚期。大約從公元前1000世紀到公元前11世紀***商代滅亡***，這期間裡最突出的數學成就是率先發明十進位制位值記數法。

　　在舊石器時代晚期，生活在現今北京西南周口店的山頂洞人已進入氏族社會。氏族內部成員間的自然分工、生產與生活成為有組織的社會性質的活動。勞動果實分配的多與少、大與小，都要與自然分工相應掛勾，以求得分配的相對合理。比如對從事狩獵生產的成年男子，就要多分些食物，而對在洞穴裡照顧小孩的老年女子，就會少分些食物，這是維護不同強度的勞動生產活動所必需的，也是維護群體團結和群體發展所必需的。在分配勞動果實的時候，一邊是勞動果實、另一邊是接受果實的氏族成員;勞動果實與氏族成員成為人類最初形成數量概念的物件和單位。人類最初形成數量的概念，不可能是抽象的自然數，必然是看的見、摸得著的實物，是現實的、具體的量。按理推測，形成數量概念大約從對應關係開始。起初可能是一對一的，比如成年男子分配打獵工具，一人給一件，進而產生“一”和“多”的認識。那時候，人類的數量觀念也許只是個基數型，而不是序數型，也就是說，只能點個數而不能排次序。先有基數型概念，再有序數型概念，人類的數量觀念前進了一大步。

　　舊石器時代人類遺留下來的東西只有石器、骨器和角器，而且數量有限，其中含有數目資訊的材料更是鳳毛麟角，十分難得。在北京西南周口店龍骨山山頂洞遺址中發掘出四個帶有磨刻符號的骨管。骨管上的記號為橫向磨製，形狀多為圓點，而有兩個長圓形。其中一個長圓圍著骨管成半圓形，如將它們展開成平面則是一個長條形狀。骨管A，相對的兩個側面，分別有一個圓點和兩個兩點。如果將骨管A展開成平面，三個圓點成鼎立狀態，連線三個圓點成三角形。骨管B，相對兩個側面，一面有兩個圓點，一面有三個圓點。如果將骨管B展開成平面，上面是一排兩個圓點，下面是一排三個圓點，連線五個圓點，成梯形。骨管C，相對兩個側面，一面兩個圓點，一面一個圓點;兩個側面中間夾一個長條形。如果將骨管C展開成平面，連線三個圓點成一個銳角三角形，三角形當中則是長條形。骨管D，則只有一個長條形。從這些磨刻符號的排列方式看，是有意識的行為，不是隨意亂磨刻。據此，我們可以推測出山頂洞人已經有了一些數目概念。

　　山頂洞人可能用一個磨刻的圓點代表數目“1”，用二個磨刻的圓點代表數目“2”，用三個磨刻的圓點代表數目“3”。骨管兩側的磨刻符號，從數目上看，有累計意義。骨管A，一側一個圓點加上另一側兩個圓點，共三個圓點，表示“3”。骨管B，一側兩個圓點加上一側三個圓點，共五個圓點，表示“五”。骨管上磨刻的長條形可能表示“10”，那麼，骨管C上三個圓點加一個長條形，表示“13”。骨管D，只有一個長條形，則表示“10”。這四個骨管反映的數目分別是“3”、“5”、“13”和“10”，這反映出山頂洞人已萌發了十進位制的思想。

　　或許有人對山頂洞人用磨刻骨管的方法記數目持懷疑態度，我們認為大可以不必。因為從世界範圍看，人類的童年最早使用記數的方法，幾乎都是結繩或刻痕。在1939年，外國考古學家在維斯托尼斯***墨拉維亞***發現一根舊石器時代***距今40萬年以前***的幼狼前肢骨，上面刻有55道深痕。這是已發現的用刻痕方法記數的最早資料。有此佐證，山頂洞遺址發現的帶磨刻符號的骨管是用來記數的，應當可信。

　　關於山頂洞人生活的年代，過去都講距今18000年。20世紀90年代初期，北京大學陳鐵梅、中國科學院古脊椎動物與古人類研究所袁振新和英國牛津大學海吉斯三位科學家，利用英國牛津大學的加速器質譜碳14測定山頂洞文化的年代，結論是距今2.7萬至3.4萬年左右。那麼在中國，十進位值記數法的起源至遲可追溯到距今三萬多年。

　　另外，在山西朔縣峙峪出土的骨片上刻有劃的條條痕跡。這些骨片上的刻劃痕跡明顯帶有“分組”的特點，很可能具有數目含義。從刻劃痕跡數目的多少，可以推測出其所代表的數目有“1”、“2”、“3”……。經碳14測定，這些骨片屬於舊石器時代晚期，距有28000年左右。這無疑又為山頂洞人用磨刻骨管來記數目的推測，提供了有力的佐證。

　　進入新石器時代，伴隨著生產規模的擴大，工藝品生產的增加，對數字的要求日益提高，表現數目概念的機會同樣增多。

　　陝西西安半坡出土的陶器上出現排列整齊的點子：第一排一個點，第二排兩個點，第三排三個點，如此類推，一直到第八排或第九排，而且這些點間隔倒立，整齊有序;如果將頂端的點用直線連線，則成為一個等腰或等邊的三角形。這些點子，清楚地反映了半坡人的數目概念。

　　隨著人們數目概念的增加，簡化式數字符號在新石器時代文化遺址中有所發現，例如：12寫作“1=”;20寫作“||”;30寫作“|||”。20和30是10的整倍數，他們的寫法就表示10的符號前面新增筆畫而形成獨立存在的數字。特別值得注意的是12的寫法，它是首次出現的由個位和十位組合而成的數字，而且組合手法極其高明，高位在左，低位在右，跟現在的寫法完全一致。令人遺憾的是，目前考古發現的字數太少，數字符號不連續。即便如此，這點有限的數字材料傳達給我們一個很重要的資訊，新石器時代晚期的中國人，記20或30的數目，已經不是刻畫20或30條痕跡，而是採用10的倍數法，只刻兩三條痕跡，這是簡化式數字符號。這種簡化式數字符號同時說明當時的中國人使用的記數方法是十進位制。

　　在青海樂都柳灣新石器時代晚期文化遺址中出現一批帶刻口的骨片，長度都是2.3釐米，很小，可是都有刻口。其中，8件骨片一側有1個刻口，另一側沒有刻口;12 件骨片一側有1個刻口，另一側有2個刻口;28件骨片一側有2個刻口，另一側有3個刻口。

　　顯然，這些骨片是用來記數的。每一個刻口表示“1”。帶三個刻口的表示“3”，帶五個刻口的表示“5”。記數時用骨片刻口累計，如“15”這個數，可用三個帶5個刻口的骨片表示，也可用5個帶三個刻口的骨片表示。更大的數目當然可以用較多的帶刻口的骨片表示。如果將這批骨片上的刻口累計：1×8+12×3+28×5=184。這說明在原始社會末期，中國人記數目的本領已經突破十進位制的100大關。

　　公元前21世紀，中國邁進了文明社會的門檻，建立夏朝。公元前16世紀，商朝取代夏朝。目前，夏朝的文物發掘出來的不多。商朝的文物發現很多，最重要的是甲骨文和青銅器。商朝人把文字刻在龜甲獸骨上，這就是後人所說的甲骨文。商朝人還把文字刻鑄在青銅器物上，這就是後人所說的金文或鐘鼎文。甲骨文和鐘鼎文證明，至遲在殷商時期中國人已經使用完善的十進位值記數法。

　　甲骨文最初是清朝末年在河南安陽殷墟出土的，後來在其他地方也有發現。甲骨文出土數量巨大，光是殷墟出土的甲骨文就有16萬片左右。古文字學家在甲骨文中找出十三個數碼，它們是：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬。

　　中國人率先發明的十進位值記數法的關鍵，一是逢十進一，再是每個數碼既有其自身的絕對值，又有其所在位數的十進位制的值。例如6，在個位就是它自身的絕對值6，而在十位則是它自身絕對值的十倍──60，在百位則是它自身絕對值的百倍──600。這種數字思想充滿著辯證法。它的奧妙在於用有限的符號就可以表示無窮無盡的數，而且簡捷、明快，方便運算。著名數學家吳文俊院士在《吳文俊論數學機械化》一書中說：十進位記數法“對世界文化貢獻之大，如果不能與用火的發明相比，也是可以與火藥、指南針、印刷術等發明相媲美的。”難怪馬克思稱它為人類“最美妙的發明之一”。