向量空間

[拼音]：youxianqun

[英文]：finite group

具有有限多個元素的群。群論的重要內容之一。其所含元素的個數，稱為有限群的階。有限群可分為兩大類：可解群與非可解群（特別包括非交換單群）（見群、有限單群）。

可解群

如果有限群G 之合成群列

的每個商群Gi-1/Gi（稱為G 的合成商因子）是交換群，那麼有限群G 稱為可解群。易知，若G的合成商因子Gi-1/Gi是交換群，則必為素數階的迴圈群。所謂G的合成群列，是指在G 中由有限多個子群組成的降鏈如

，使得Gi是Gi-1的極大正規子群，即

，且凡滿足Gi

與

是G的任意兩個合成群列，那麼必有s=r，且r個商群H0/H1，H1/H2，…，Hr-1/Hr（即Hr-1）分別與r個商群G0/G1，G1/G2，…，Gr-1/Gr(即Gr-1)除次序外是兩兩互相同構的。易證，由合成群列G=G0>G1>…>Gr=1所成的每個商群是單群。

在群G中由有限多個正規子群組成的降鏈

使Gi為真包含於Gi-1內的G 之極大正規子群(即Gi-1/Gi是G/Gi的極小正規子群)，稱為G的主群列。G的任意兩個主群列是等價的。其等價定義與合成群列的等價定義相同。

有限群有合成群列或主群列存在，且任意兩個合成群列或主群列是等價的。這就是若爾當-赫爾德-施賴埃爾定理。凡是階等於pα

ъ的群恆為可解群，其中p、

是互異的素數，α、b是非負整數。這就是著名的伯恩賽德定理。而W.費特、J.湯普森在20世紀60年代初期又證明了有限群中長期懸而未決的一個猜想，奇數階的群一定是可解群，因而有限非交換單群的階必為偶數。

西洛性質

有限群理論中一個經典而重要的結果是著名的拉格朗日定理:有限群G的階│G│等於G的子群H的階│H│與 H在G內的指數│G:H│的乘積，即│G│=│H│·│G:H│。但是，並非對│G│的任何因數d，G一定有階為d的子群。例如，四次交錯群A4的階為12，而A4沒有6階子群（見置換群）。當│G│的因數是pk形的數即一素數p的k次冪時，則G必有階為pk的子群。這就是有名的西洛第一定理。若除盡│G│的p的最高次冪是pm，其中p是素數，m是自然數，則G的pm階子群稱為西洛p子群。所謂西洛第二定理，其意為：

（1）G中任兩個西洛p子群在G內是共軛的；

（2）G中西洛p子群的個數N，必滿足N呏1(modp)，且為任一西洛p子群的正規化子在G內的指數；

（3）G中凡是階為pk的子群必為某西洛p子群的子群。進一步有關於有限可解群的西洛基定理:G為可解群的充分必要條件是G有一組西洛基S1，S2，…，Sr，使G=S1S2…Sr。所謂西洛基，是指當G的階

（素因數分解）時，G的一組西洛pi子群Si，i=1，2，…，r，且

，使

。可解群的西洛基往往不止一組，但是，可解群的任意兩組西洛基S1，S2，…，Sr與p1，p2，…，Sr是等價的，即在G中必有元素g使

。階為素數冪的群，習慣上稱為p群。西洛子群都是 p群。有限可解群可以表為 p群之積。西洛第一定理和第二定理統稱為西洛定理。在有限可解群中可得到西洛定理推廣的結果:有限群G為可解群的充分必要條件是，只要有分解│G│=mn，(m，n)=1，G就有階為m的子群；當G是可解群時，凡是階為m的子群必互為共軛，若m1│m，則G中凡是階為m1的子群必為G中至少一個階為m的子群的子群。這樣的m階子群，通常稱為可解群G中的霍爾π子群。

所謂群的π 性質，意即西洛性質的推廣。西洛性質是西洛定理的同義語，即如果有限群G的階|G|=g，h│g，(h，g/h)=1，h為素數冪，那麼G至少有一個h階子群，且任意兩個h階子群是共軛的，而G中凡是以h的因數為階的子群，一定是G中某個h階子群的子群。P.霍爾去掉上述條件中的“h為素數冪”而設“G是可解群”並得到了同樣的結論。於是，根據P.霍爾的這一思想方法，將“h為素數冪”改為其他條件來進行探索的工作頗多。例如，“h為素數冪”改為“G包含一個h階冪零子群”，仍得到相應的結論，即古典的西洛定理推廣到含有h的一切素因數的集合π上所得的結果。

冪零群

當可解群 G的西洛基中諸西洛子群都是正規子群時，則可解群G稱為冪零群。冪零群是可解群中的一個子類。有限群G為冪零群的充分必要條件是，G可表為p群的直積。p群自身當然是冪零群。除了這個充分必要條件外，還有幾個互為等價的充分必要條件，其中最重要的是，G有上中心列或下中心列。所謂上中心列，是指G有長為m的子群列

，使

，且其中 Z1(G)為 G 的中心Z(G)，而遞迴地給出Zk+1(G)使 Zk+1(G)/Zk(G)是商群G/Zk(G)的中心。由G的限性可知，必有某自然數k使

，因此當m≥k時，恆有Zm(G)=Zk(G)。特別地，有某m使Zm(G)=G。所謂下中心列，是指G有長為n的子群列

。設H、K是G的任意兩個子集，[H，K]表示由形如

的元素所生成的G的子群，即[H，K]=<[h，k]│h∈H，k∈K>，於是[H，K]=[K，H]。當[x1，…，xn]定義後，再遞迴地定義

。同樣，對G的子集H1，…，Hn也作類似的定義

，且當任意xi∈G(i=1，2，…，n)時，則定義

，因此

，且

。易知

。從G的有限性可知，有某自然數k使

。因此當m≥k時恆有Km(G)=Kk(G)。特別地，有自然數 n使Kn+1(G)=1。有限群的上中心列和下中心列兩者同時存在，且其長相等，此時G必為冪零群，稱為n類冪零群。因而，1類冪零群就是交換群。由此可知，冪零群是介於交換群與可解群之間的一類群。冪零群有下中心列，可解群則有換位群列。G為可解群的充分必要條件是，G有換位群列。所謂換位群列，是指G的子群列

，式中

為

的換位子群，即

，而n是某一正整數。此時G也稱為n步可解群。1步可解群就是交換群。

p群

在有限群的研究中，p群具有重要的意義。互不同構的pn階群究竟有多少個，是一個古老而艱難的問題。迄今只解決了當p為奇素數且n≤6時以及當p=2且n≤7時pn階群的個數問題。關於p群方面的工作頗多，其中由P.霍爾發表的計數原理與正則 p群是奠基性的工作。所謂計數定理，例如，設｜G｜=pn，Sk(G)表示G中pk階子群的個數，其中0≤k≤n。當Sk(G)=1(12則對於1≤k≤n-1有

（庫拉科夫定理）。又令Ck(G)表pn階群G中pk階迴圈子群的個數。設G是非迴圈群，p>2，則對於12，｜G｜=pn，pn-α為G中元素之階的最大數，且n≥2α+1，華羅庚於1945年證明了對於α+1≤m≤n-α有Cm(G)=p

。段學復於1948年證明了對於 2α+1≤m≤n，Sm(G)與1，1+p，1+p+p2、1+p+2p2四者之一同餘mod p3。所謂正則 p群，是指具有如下性質的p群G:對於G的任意元素α、b恆可找到r個元素с1，с2，…，сr，使每個сi∈<α，b>┡＝[<α，b>，<α，b>]即每個сi在由α、b生成的群之換位子群內，且有

，其中自然數r隨元素α、b決定。交換p群、階不超過pp的p群以及冪零類小於p的p群，都是正則p群;換位子群為迴圈群而p為奇素數的p群、凡非單位元的階等於p的p群，也都是正則p群。正則p群在p群中有眾多例子。但非正則p群也是存在的，例如，p2次對稱群

中西洛p子群就是pp+1階非正則p群。

擴張

研究有限群的一個重要方法。設A、

B

是已知的兩個群，如果作一群G，使得A

G，且商群G/A≌

B

，那麼群G稱為

B

基於A的擴張。一般，

B

基於A的擴張不是惟一的，例如，A與

B

的直積A×

B

是

B

基於A的一個擴張，而A與

B

的半直積也是

B

基於A的擴張。所謂A與B的半直積為G，是指G=A

B

，A

G，且A∩

B

=1（即

B

為A的補子群）。A與

B

的半直積又稱為A的分離擴張。

B

基於A的擴張為 A與

B

的半直積的一個充分條件是：A的階與

B

的階互素。這就是著名的舒爾-扎森豪斯定理。當

B

為迴圈群時，很容易決定擴張的構造。例如，m階迴圈群基於n階迴圈群的擴張，必為G＝<α，b>，有定義關係αn=1，bm=αt，b-1αb=αr使滿足rm呏1(mod n)及t(r-1)呏0(modn)。因為有限群有合成群列

，這裡，Gi/Gi+1是單群。因此，Gr-1是單群，且Gr-2是Gr-2/Gr-1基於Gr-1的擴張。若得知Gr-1的構造，則可藉助於擴張理論得知Gr-2的構造，從Gr-2的構造以及Gr-3是Gr-3/Gr-2基於Gr-2的擴張可知Gr-3的構造，如此繼續進行下去，則終究可得知G的構造。由此可見，研究單群與擴張理論是有限群研究的根本課題。