空間向量的數量積及其應用說課稿

　　一、教材分析：

　　（一）教材的地位、作用：

　　向量作為一種基本工具，在數學解題中有著極其重要的地位和作用。利用向量知識，可以解決不少複雜的的代數幾何問題。《空間向量數量積及其應用》，計劃安排兩節課時，本節課是第2課時。也就是，在有了平面向量數量積公式，空間向量座標表示，以及空間向量數量積的基礎知識之後，本節課是進一步去認識、掌握空間向量數量積的變形公式，然後，圍繞著空間向量的幾何應用展開討論和研究。

　　通常，按照傳統方法解立體幾何題，需要有較強的空間想象能力、邏輯推理能力以及作圖能力，學生往往由於這些能力的不足造成解題困難。用向量處理立體幾何問題，可使學生克服空間想象力的障礙而順利解題，為研究立體幾何提供了新的思想方法和工具，具有相當大的優越性；而且，在豐富學生思維結構的同時，應用數學的能力也得到了鍛鍊和提高。

　　（二）教學目標：

　　知識目標：① 掌握空間向量的數量積公式及向量的夾角公式；

　　② 運用公式解決立體幾何中的有關問題。

　　能力目標：① 比較平面、空間向量，培養學生觀察、分析、類比轉化的能力；

　　② 探究空間幾何圖形，將幾何問題代數化，提高分析問題、解決問題的能力。

　　情感態度、價值觀目標：

　　① 透過師生的合作與交流，體現教師為主導、學生為主體的教學模式；

　　② 透過空間向量在立體幾何中的應用，提高學生的空間想象力，培養學生探索精神和創新意識，讓學生感受數學，體會數學美的魅力，激發學生學數學、用數學的熱情。

　　（三）教學重點、難點：

　　重點：空間向量數量積公式及其應用。

　　難點：如何將幾何問題等價轉化為向量問題；在此基礎上，透過向量運算解決幾何問題。

　　二、教法、學法分析：

　　教法：採取啟發引導、形數轉化、反饋評價等方式；

　　學法：體現自主探索、觀察發現、類比猜想、合作交流等形式。

　　三、教學過程分析：

　　根據二期課改的精神，本著“以學生髮展為本”的教學理念，結合學生實際，對教學內容作了如下的調整：基於教材中主要是運用向量夾角求異面直線所成的角，所以，首先讓學生掌握教材所要求的基本面；其次，鑑於向量相容了代數、幾何的特色，有著其獨特的魅力和發展前景，為進一步讓學生感受“向量法”的優勢，安排了兩個分別運用向量的“代數運算”和“幾何運算”來處理空間幾何問題的典型例題，為解決空間的度量、位置關係問題找到一種新方法，進一步拓展了學生的思維渠道。以下，是我制定的教學流程：

　　創設情境，提出問題類比猜想，探求新知公式運用，鞏固提高回顧小結，整體感知課外探究，激發熱情

　　教學過程如下：

　　（一）創設情境：

　　給出問題一：已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AE=EA1，

　　D1F= ，如何確定的夾角？

　　[設計意圖]：問題的給出，一時之間可能會使學生感到突然，但預計應該會讓他們聯想到平面向量的夾角公式，由此作一番類比猜想，起到溫故知新的作用。

　　[處理過程]：

　　設問：平面向量的夾角問題如何求得的？

　　是否可將平面內求得兩向量的夾角公式推廣到空間？公式的形式是否會有所變化？

　　學生活動：回顧平面向量數量積、向量夾角公式及其座標表示；類比猜想，認識空間向量的夾角問題。

　　（二）建構數學：（板書）

　　對於空間兩個非零向量

　　（三）公式運用：

　　1、問題一的解決：

　　①學生活動：解決上述問題。

　　②.變式運用：已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，

　　AE=EA1，D1F= ，求BE、FD所成的角？

　　[設計意圖]：初步體會立幾法、向量法來解決幾何問題，並注意區分兩個向量夾角與兩條異面直線間的夾角。

　　[處理過程]：（由以往教學實踐，部分學生可能想到用傳統的幾何方法）

　　設問：如何用向量方法求BE、FD所成的角？

　　（引導學生建立空間直角座標系，求得B、D、E、F的座標，進一步得到的座標，最後代入空間向量夾角公式…計算得出的向量夾角是鈍角，而異面直線成銳角。）

　　[評價]：

　　① 異面直線所成的角可由向量的夾角來解決，可見，解決立體幾何的有關問題時，方法並不唯一。在此，可以比較向量法和幾何法，選擇適當方法，解決問題。

　　② 兩個向量夾角與兩條異面直線間的夾角是有區別的。

　　2.問題二的探究：

　　如圖，直三稜柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，

　　AC=1，CB= ，側稜AA1=1，側面AA1B1B的

　　兩條對角線交點為D，B1C1中點為M。

　　（1）求證：CD⊥平面BDM；

　　（2）求面B1BD與面CBD所成二面角的大小。

　　[設計意圖]：透過立幾法、向量法的嘗試，讓學生明顯感受到運用向量法的優越性。

　　[處理過程]：

　　① 學生活動：讓學生先試行用傳統方法解決問題，估計不少學生會感到有一定困難。

　　[設問]：類似於上題做法，能否用向量法解決這一問題？

　　② 學生活動：進入思考討論

　　③ 相互分析交流——達成共識：

　　（i）證明線面垂直可轉化為證線線垂直，進一步轉化為證向量間的垂直，即向量的數量積等於零;

　　（ii）求二面角的平面角，轉化為求那兩條與二面角的稜垂直的射線所成的角，在此，可構造兩向量（提醒其方向，及向量始點的自由、不唯一性），然後求其夾角，從而解決問題。

　　④ 解題過程：

　　[評價]：“傳統解法”需作輔助線，有時不易作出；而使用“向量解法”，程式化強，便於操作，求解的關鍵在於建立適當的空間直角座標系（基本原則：使圖中儘可能多的點落在座標軸上，這樣便於用座標表示相關的點及向量），然後利用座標系確定各相關的點及向量座標，再借助向量座標運演算法則及公式，無需新增輔助線，即可達到解題的目的'。

　　3.小結，利用空間向量解決立體幾何中有關問題的一般步驟：(學生回答，教師補充，板書)

　　（1）適當地構建空間直角座標系；

　　（2）用座標表示相關的點、空間向量；

　　（3）進行空間向量的運算；

　　（4）體煉共性，轉化為幾何結論。

　　（四）歸納總結：

　　引導學生總結本節課的收穫，相互交流。

　　（五）課外探究：

　　（這是2000年高考題）如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的

　　底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，

　　當的值是多少時，能使A1C⊥平面C1BD，請給出證明。

　　[設計意圖]：這是2000年高考第18題第3小題，是個探索型問題。把它放在這裡，一方面：在高二階段，接觸到高考題，學生的興趣頗高，可調動學生的學習熱情，增強學生的主體意識；另一方面，解題中，再次讓學生感受到：單純用立體幾何知識解答較繁，而利用向量法去思考，思路清晰，目標明確，從而大大降低了求解的難度，同時亦可激發他們不斷求知、不斷探索的慾望。

　　（六）佈置作業

　　[板書設計]

　　課題引入：問題一的解決：課外探究：

　　空間向量數量積、夾角公式：

　　問題二的解決：佈置作業：

　　用向量解幾何題的步驟：

　　四、教學反思：

　　本節課的設計，力求體現“以學生髮展為本”的教學理念。教學過程中，以問題為載體，學生活動為主線，為學生提供了探究問題、分析問題、解決問題的活動空間。例題內容的安排上，注意逐步推進，力求使教師的啟發引導與學生的思維同步，順應學生學習數學的過程，促進學生認知結構的發展；另外，課外探究題給學生留下廣闊的思維空間和拓展探索的餘地，讓學生體驗到數學活動充滿了探索和創造。在教學過程中，注意到培養學生合作交流的意識和能力。