鄂畢河
[拼音]：hamidun-Yakebi lilun
[外文]：Hamilton-Jacobi theory
具特定形式的一階常微分方程組（運動方程組）與一個相應的偏微分方程的關係的理論。它來源於分析力學，對經典力學、理論物理、微分方程、微分幾何都有重要的意義。
變分學與哈密頓方程
n自由度力學系(q1，q2，…，qn)的拉格朗日函式l(q，妜)＝T-U，其中T、U分別是力學系的動能和勢能。哈密頓最小作用原理指出，力學系的運動q=γ(t)使作用
L(у)＝
達到駐定值。由變分學知道，使L(у)達到駐定值的q=у(t)是尤拉－拉格朗日方程
(1)
的解。這是n個二階常微分方程，稱為拉格朗日方程組。
經典力學研究力學系有兩種途徑。一是由 (1)研究(q，妜)隨t的變化。{q}構成力學系的構形空間M，它是一個微分流形，妜是M的切向量。這種途徑稱為拉格朗日力學，可以說是力學的切叢表述。
另一途徑是引入廣義動量p=(p1，p2，…，pn)，
，同時通過勒讓德變換引入哈密頓函式
而得到(q，p)所滿足的哈密頓方程組（或稱典則方程組，見哈密頓系統）
，(2)
這個途徑稱為哈密頓力學。由於p是M的餘切向量，哈密頓力學可以說是力學的餘切叢表述。
在哈密頓力學中最小作用原理也有相應的表述形式，也可討論拉格朗日函式與哈密頓函式顯含時間 t的情況。
研究哈密頓力學的數學理論框架，也稱為哈密頓形式化。它對許多數學分支以及力學、理論物理都有重大的意義。
典則變換
典則方程組(2)有許多重要的性質。例如，在運動軌道p=p(t)，q=q(t)上h(p，q)守恆，
由於h=T+l，上式實即沿運動軌道機械能守恆。又如，任一力學量F(p，q)在運動軌道上恆適合方程
，
{h，F}是經典力學中的泊松括號（見一階偏微分方程）。
為了討論典則方程組，最有效的方法是作一個變換
φ:(p，q)
(
P
，Q
)=(P
(p，q)，Q
(p，q)) (3)使(2)化簡，但由於典則方程組有如上的重要特性，所以仍希望保持其形狀。這種變換稱為典則變換。典則變換有一些等價的定義。例如，它可定義為保持泊松括號不變的變換。然而，因為有
，
故由(3)式所表示的
P
、Q
也適合
，
。
利用(3)中的φ 的雅可比矩陣φ1，上述可以表示為
，
若矩陣
A
（或線性變換A
）適合A
_1JA
＝J，則稱 A為辛矩陣（或辛變換），所以典則變換的雅可比矩陣都是辛矩陣。其逆亦然。所以典則變換也可定義為雅可比矩陣為辛矩陣的變換(3)。典則變換的重要例子如下：設函式S(q，
P
。令
，則
是區域性的典則變換。又如，考慮典則方程組的初值問題：
，
，
，
它的解當｜t｜充分小時為微分同胚。{gt}稱為哈密頓相流：(
P
，Q
)=gt(p，q)。對於每個固定的t，gt都是典則變換。典則變換的重要性可從下例看出：著名的開普勒問題是討論質量為m 的質點在勢能為U（r）=-k／r的有心力場中的運動。採用極座標（r，θ）則拉格朗日函式是
，作勒讓德變換
，其哈密頓函式是
，由於h中不顯含θ，故有
而有pθ＝常數。這就是角動量守恆。再聯絡到能量守恆，就可容易地解決這個問題。
由直角座標變為極座標所起的關鍵作用在於使H 中不顯含θ，從而得到一個守恆律。如果作一典則變換（上述座標變換也可擴充為典則變換）使某些座標qi不出現在h中，那麼也可以得到相應的守恆律pi=常數。這種qi稱為迴圈座標。守恆律就是典則方程組的初積分。利用它可以降低方程組的階。這是求解典則方程組最常用的方法。
生成函式、哈密頓－雅可比方程
作典則變換φ:(p，q)
(
P
，Q
)最重要的方法是利用生成函式:在一定條件下存在函式S(p，Q
)使得
，於是
，
。
這是一個典則變換，S稱為其生成函式。
一般地，S 可以顯含時間t。可以證明S 適合偏微分方程
。 (4)
(4)稱為哈密頓－雅可比方程，簡稱H－J方程。
典則方程組(2)是(4)的特徵方程組。由一階偏微分方程理論知，可以通過求解(2)而得出H-J方程的解。但是還有與此對偶的一方面:即通過求解H-J方程得到S，而S是(2)之解作為典則變換的生成函式。從而可解出典則方程組(2)，其法如下：
作H-J方程的完全積分（見一階偏微分方程）
，
令
（新的引數），
，由它們解出q=q(t，α，b)，p=p(t，α，b)即得(2)的一族含2n個引數(α，b)的解。
以上指出的典則方程組與 H-J方程的關係之兩個對偶的方面，有深刻的物理意義。人們很早就發現光的傳播，服從一個與最小作用原理很相似的變分原理──費馬原理，因而也可以作出典則方程組和 H-J方程的類似物。力學中的運動軌道相應於光學中的光線，光線是幾何光學的基本概念。而生成函式S 所成的一族曲面S=常數，則相應于波前面，它是物理光學的基本概念。上述的二者的對偶關係正是反映了幾何光學與物理光學的聯絡。力學與光學之間的這種類比，是量子力學的基礎之一。