勒讓德，A.-M.

[拼音]：Wo’ershi bijin

[外文]：Walsh approximation

藉助於沃爾什函式系的逼近稱為沃爾什逼近。1922年出現了拉德馬赫爾函式，在工程上稱為開關函式。這是一個以1為週期的標準正交系。在基本區間[0，1)上它們的定義如下：φ0(x)=1，若0≤x<1/2；φ0(x)=-1，若1/2≤x<1。對任一自然數n，

容易看出，對每個n，φn(x)在[0，1)的2

個等分割槽間上交錯地取值1與-1。沃爾什函式系是拉德馬赫爾函式系的完備化，首先由美國數學家J.L.沃爾什於1923年給出。如果把自然數n依二進表示為

其中

則沃爾什函式wn(x)的定義為

w 0(x)=1，

式中乘積是對一切滿足n-j=1的j而取。系{wn(x)}同樣以1為週期。例如，依二進位制，13可表為13=23+22+20，故

，而有

。在工程上常用列率序的沃爾什函式。為此需要數的格雷碼。設對集{0，1}引用偽加運算如下：

而對任意兩個二進位制實數

定義偽加

，這裡求和由-N +1與-L+1中較小者開始。一個自然數

的二進程式碼是(n_N+1，…，n-1，n0)，它的格雷碼G(n)便是

對應的數是

，這裡約定 n-N=0。反之，如果知道了自然數 k的格雷碼

，則原來的數k的二進程式碼是

。

於是，列率序的沃爾什函式系就是｛wαln(x)｝，其中

。利用格雷反碼G -1(k)，自然有

。在數學討論中以系{wk(x)}為便，但在工程上則以列率序為便。下面列舉依列率序的沃爾什函式系的一些性質。

（1）乘法公式對任意k， j=0，1，2，…有

。

（2）第二乘法公式對[0，1)中每個y，除有限個點不計外，關於x都有

(k=0，1，…)。

（3）在整個實軸上，除一個可列集不計外，wαl2k(x)是偶函式而wαl2k+1(x)是奇函式，k=0，1，…。此外，在週期區間[0，1)上，每個wαlk(x)的變號次數恰好是k，k=0，1，…。

（4）函式系{wαlk(x)}k=0，1，…構成[0，1)上的一個完備的標準正交系。

（5）函式系{wαlk(x)}k=0，1，…構成一個可換群。系中對每個n＝0，1，…，前2n個函式{wαl0(x)，wαl1(x)，…，wαl

(x)}構成可換子群。

可將這些性質與正弦餘弦函式相比較。正是由於性質④，每個以1為週期的可積函式，都有沃爾什－傅立葉展開式：

，

式中

它們稱為ƒ(x)的沃爾什-傅立葉係數。如果用S

(x)表示展開式的首2n項部分和，那麼，在區間[0，1)上幾乎處處有收斂關係

。

當ƒ(x)是平方可積時，像三角系情形一樣，有帕舍伐爾公式成立：

，

並且，展開式的部分和也幾乎處處收斂。一個有意義的例子是函式x依沃爾什系的展開式

。

它處處收斂並有很好的應用，例如鋸齒波。在考慮逼近問題時，這樣的逐段光滑函式用沃爾什展開比用三角級數展開，一般顯得更為有效。

對任意整數 p>2，可以討論一般的 p進沃爾什函式。還可以引進廣義沃爾什函式與沃爾什－傅立葉變式。此外，如果引進所謂邏輯導數，就容易給出簡單的沃爾什-傅立葉變式表。

設複數Aj=Aj(p)， j=0，1，…， p-1由公式

給出，式中

在定義於 [0，∞)上的復值函式。若在這區間上一點x處，和

當N→∞時收斂，則極限值稱為ƒ(x)在x的邏輯導數，並記為ƒ(x)。邏輯導數與平常導數的作用頗為類似。例如，對於指數函式eitx，它對x的平常導數是iteitx。對於廣義沃爾什函式w(t，x)，關於x的邏輯導數有

等等。可以用邏輯導數存在的程度來刻畫函式性質而得到一種分類法，這在逼近論中特別有用。在這裡存在邏輯導數意味著具有某種“光滑性”。整個理論構成了p進域的分析學。尤其有趣的是，最佳逼近論中的正、逆定理，各種逼近運算元的逼近性態與型可以同樣建立，在方法論上顯示它自身的特色。現代半導體技術與積體電路的快速發展，使沃爾什函式的產生與應用有了物質基礎。快速沃爾什變換比快速傅立葉變換省時。在資訊理論、線性系統、通訊、電視、雷達與計算機等方面，沃爾什分析都有或將有廣泛的應用。沃爾什分析形成了非正弦分析的一個極為重要的方向。在理論上它直接通向區域性緊群上調和分析。

參考書目

鄭維行、蘇維宜、任福賢著：《沃爾什函式理論與應用》，上海科學技術出版社，上海，1983。

鄭維行、蘇維宜： Walsh分析與逼近運算元，《數學進展》，第12卷，第2期，1983。