線上同位素分離器
[拼音]:jishu
[外文]:cardinal number
又稱勢,集合論基本概念之一,是日常用以表示多少的數的概念的推廣和發展。按照G.(F.P.)康托爾的原意,集合
A
的基數是一切與A
具有等勢關係的集(即存在一個雙射把集合A
的全部元素映成另一集合的全部元素)的共同特徵,是對A
的元素進行屬性及次序雙重抽象之後的結果,所以用戞表示(較多用|A
|)。(F.L.)G.弗雷格與B.A.W.羅素分別在1884年與1902年把戞 定義為所有與集A
等勢的集所成之集,即戞={B
|B
~A
}。這一定義雖然形式簡單明瞭,但在ZFC系統中卻不能證明它構成一個集合。事實上,{B
|B~A}對於任何非空集A
,是一個真類。因為由{B
A
等勢的集,即所有與A
等勢的序數中最小的一個作為A
的基數,這樣的序數稱為初始序數,根據計數定理與序數的良序性,對於任何集A
,它所對應的初始序數是必定存在且惟一的。兩個集A
、B
具有相同基數的充要條件是A
~B
,這完全符合G.康托爾的原意。當集的基數為有限序數時,稱該基數為有限基數,否則稱為超限基數。它們所對應的集分別稱為有限集與無限集。可以證明集 A為無限的充要條件是存在A
的一個真子集A
1,使得A
1~A
。與自然數集N等勢的集稱為可數集,它的基數是ω,但習慣上常用堗0表示。整數集Z、有理數集Q
C
[0,1]、n維空間En的點集、定義在[α,b]上的函式集等等都是不可數集的例子。設α、β為兩個基數,
A
、B
為兩個集,|A
|=α,|B
|=β,可以定義基數的大小關係及和、積、冪等運算如下:α ≤β當且僅當存在一個從
A
B
的單射;α<β當且僅當α≤β且α≠β;
α+β=|{0}×
A
∪{1}×B
|;α·β=|
A
×B
|;αβ=|
A
B|其中
A
B ={ƒ:B
→A
}。在上述定義中,雖然形式上需要通過集A
、B
來表述,但事實上它們都只與α、β有關,而不依賴於A
、B
的選取。即對於任何集C
、D,只要|C
|=α,|D|=β,所得的結果就保持不變。這就保證了定義的合理性。此外和與積還能推廣到任意基數列αβ(β<γ)。設β<γ時|A
β|=αβ則可定義,
。
對於任何基數α、β、у,下列性質成立。
(1)傳遞性:若α ≤β且β≤у則α ≤у。
(2)自反性:α ≤α。
(3)反對稱性:若α ≤β且β≤α 則α =β。
(4)強連結性:α ≤β與β≤α 二者必居其一。
(5)結合律:α +(β+у)=(α +β)+у;
α (β·у)=(α ·β)·у。
(6)交換律:α+β=β+α;α·β=β·α。
(7)存在恆等元:0+α=α;1·α=α。
(8)分配律:α (β+у)=α·β+α·у。
(9)同底冪的積:
。
(10) 冪的冪:
。
積的冪:
。
性質①~④說明基數的≤是一個全序關係,其中性質③稱為康托爾-伯恩斯坦定理,它是集合論中的一個重要定理,可用以確定若干集合的基數。1895年G.康托爾給出了這一命題的等價形式:設
A
、B
為兩個集合,若A
與B
的子集B
1等勢,B
與A
的子集A
1等勢,則A
與B
等勢;並在基數可比較的前提下給予證明。1896年F.W.K.E.施羅德在一篇論文的摘要中提到這條定理。他於1898年發表的證明雖不借助於基數的可比較性,但仍不完善。第一個滿意的證明是伯恩斯坦在1898年給出的,所以有些數學家稱它為施羅德-伯恩斯坦定理。性質④稱為基數比較定理是選擇公理的等價命題之一,最初由G.康托爾提出:設A
、B
為兩個集合,則A
與B
的某一子集B
1等勢或B
與A
的某一子集A
1等勢,兩者必有一個成立;並用以證明性質③。1915年由F.M.哈託格斯給予證明。關於基數的序與運算的其他重要性質還有:對於任何基數k,總存在一個比k大的基數λ,即不存在最大的基數。此性質是1873年首先由G.康托爾以下述形式提出的:任何集A
的冪集P
(A
)具有比A
大的勢, 即|A
|<|P
(A
)|,故稱康托爾定理。由於在集P
(A
)與集2A間存在自然的雙射,所以這性質也可表為2x>k, 其中k=|A
|。於是, G.康托爾把無限分成無限多個嚴格遞增的等級,奠定實無限在數學研究中的地位,啟迪人們提出連續統假設與廣義連續統假設。他在證明中所使用的對角線方法,也具有重要的方法論意義。已經知道最小的無限基數是堗0,並用堗1表示大於堗0的最小基數,用 堗2表示大於堗1的最小基數。一般地,設α是任一序數,並且對於任何小於α的序數β,堗β均已定義,則當α 為某一β的後繼序數時,規定堗α是大於堗β的最小基數,稱為無限後繼基數;當α為極限序數時,規定,稱為極限基數。這樣就建立起序數與無限基數之間的一一對應關係。基數的加、乘運算具有許多通常熟悉的性質,如結合律、交換律、分配律等,但有些重要性質,例如對消律,卻僅對有限基數,即自然數成立。設λ,k為任意基數,λ≥k≥1,λ≥堗0,則λ·k=λ+k=λ 。這一結果與下述命題等價:對於任何無限基數 k,k·k=k+k=k,即任意k個基數為k的集合的和集,其基數為k;或者,任意不超過k個基數不超過 k的集合的和集, 其基數不超過 k。特別地,當k=堗0時, 就有任意可數個可數集的和集是可數集;或至多可數個至多可數集的和集是至多可數的。上述命題是選擇公理的一個等價形式,將它深化一步, 可得:對於任何序數α,
與
成立。 把基數的運算與序相結合而得到的結果。最重要的是下述柯尼希定理:設kβ與λβ(β<α)是兩個基數列,如果對於任何β<α,總有kβ< λβ,則
。這是康托爾定理2x>k的一個推廣, 並且可以證明它是選擇公理的一個等價形式。