自然數是什麼意思有哪些數字

　　自然數用以計量事物的件數或表示事物次序的數。那麼你對自然數了解多少呢?以下是由小編整理關於什麼是自然數的內容，希望大家喜歡!

　　自然數的定義

　　自然數從0開始還是從1開始飽受爭議。從數論上來講，自然數從1開始，在集合論中，自然數從0開始。我國中小學教材中自然數是從0開始，《新華字典》中自然數是從1開始。可以指正整數或非負整數，在數論通常用前者，而集合論和電腦科學則多數使用後者。

　　自然數的性質

　　1、對自然數可以定義加法和乘法。其中，加法運算“+”定義為：

　　a + 0 = a;

　　a + S***x*** = S***a +x***，其中，S***x***表示x的後繼者。

　　如果我們將S***0***定義為符號“1”，那麼b + 1 = b + S***0*** = S*** b + 0 *** = S***b***，即，“+1”運算可求得任意自然數的後繼者。

　　同理，乘法運算“×”定義為：

　　a × 0 = 0;

　　a × S***b*** = a × b + a

　　自然數的減法和除法可以由類似加法和乘法的逆的方式定義。

　　2、有序性。自然數的有序性是指，自然數可以從0開始，不重複也不遺漏地排成一個數列：0，1，2，3，…這個數列叫自然數列。一個集合的元素如果能與自然數列或者自然數列的一部分建立一一對應，我們就說這個集合是可數的，否則就說它是不可數的。

　　3、無限性。自然數集是一個無窮集合，自然數列可以無止境地寫下去。

　　對於無限集合來說“，元素個數”的概念已經不適用，用數個數的方法比較集合元素的多少隻適用於有限集合。為了比較兩個無限集合的元素的多少，集合論的創立者德國數學家康托爾引入了一一對應的方法。這一方法對於有限集合顯然是適用的，21世紀把它推廣到無限集合，即如果兩個無限集合的元素之間能建立一個一一對應，我們就認為這兩個集合的元素是同樣多的。對於無限集合，我們不再說它們的元素個數相同，而說這兩個集合的基數相同，或者說，這兩個集合等勢。與有限集對比，無限集有一些特殊的性質，其一是它可以與自己的真子集建立一一對應，例如:

　　0 1 2 3 4 …

　　1 3 5 7 9 …

　　這就是說，這兩個集合有同樣多的元素，或者說，它們是等勢的。大數學家希爾伯特曾用一個有趣的例子來說明自然數的無限性：如果一個旅館只有有限個房間，當它的房間都住滿了時，再來一個旅客，經理就無法讓他入住了。但如果這個旅館有無數個房間，也都住滿了，經理卻仍可以安排這位旅客：他把1號房間的旅客換到2號房間，把2號房間的旅客換到3號房間，……如此繼續下去，就把1號房間騰出來了。

　　4、傳遞性：設 n1，n2，n3 都是自然數，若 n1>n2，n2>n3，那麼 n1>n3。

　　5、三岐性：對於任意兩個自然數n1，n2，有且只有下列三種關係之一：n1>n2，n1=n2或n1<n2。

　　6、最小數原理：自然數集合的任一非空子集中必有最小的數。具備性質3、4的數集稱為線性序集。容易看出，有理數集、實數集都是線性序集。但是這兩個數集都不具備性質5，例如所有形如nm***m>n，m，n 都是自然數***的陣列成的集合是有理數集的非空子集，這個集合就沒有最小數;開區間***0，1***是實數集合的非空子集，它也沒有最小數。

　　具備性質5的集合稱為良序集，自然數集合就是一種良序集。容易看出，加入0之後的自然數集仍然具備上述性質3、4、5，就是說，仍然是線性序集和良序集。