關於二面角的平面角定位分析

【摘要】空間角是立體幾何中一個重要概念，它是空間圖形的一個突出的量化指標，是空間圖形位置關係的具體體現。解決立體幾何問題的關鍵在於“三定”：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎，而定量則是定位、定性的深化。在面面關係中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，故對二面角的平面角的定位是關鍵。
【關鍵詞】平面角；定性分析；定位作圖；定量計算;點;垂線段;垂平面Positioning Analysis on the dihedral angle of 
【Abstract】Three-dimensional geometry of space angle is an important concept, which is a prominent space graphics quantitative indicators, the relationship between spatial location of a concrete embodiment of graphics. Three-dimensional geometry to solve the problem lies in "determining three things": a qualitative analysis → location mapping → quantitative calculation, which is the location of qualitative and quantitative basis and is the location of quantitative, qualitative in depth. In all things relationship, the dihedral angle is one of the important concepts in one, it comes down to flat top corner of the metric measurement, in general, their plane angle positioning is a prerequisite step in problem-solving, so pairs of dihedral angle The plane angle positioning is the key.

【Key words】Plane angle;Qualitative analysis;Locationmapping;Quantitative calculation;Point;Vertical section;Vertical plane1
        二面角的平面角的特徵
        α、β是由 出發的兩個半平面,O是l上任意一點，OC α，且OC⊥l；CD  β，且OD⊥l。這就是二面角的平面角的環境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。 
        它有如下列特徵：
        （１）過稜上任意一點，其平面角是唯一的；    
        （２） 其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；
        另外，若在OC上任取上一點A，作AB⊥OD於B,則由特徵（２）知AB⊥β.通過l、OA、OB、AB，之間的關係，便得到另一特徵； 
        （３）：體現出三垂線定理（或逆定理）的環境背景。
        2二面角的平面角的特徵剖析 
        由於二面角的平面角是由一點和兩條射線構成，所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點”或“定線（面）”的問題。
        特徵（１）表明：其平面角的定位可先在稜上取一“點”，但這點必須與問題背景相互溝通，給計算提供方便。 
        特徵（２）指出：如果二面角α-l-β的稜l垂直某一平面γ與 α、β的交線，則交線所成的角即為α-l-β的平面角，： 
        由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”。
        特徵（３）顯示：如果二面角α-l-β的兩個半平面之一，存在垂線段AB，由Ｂ作OB⊥l於Ｏ，連OA，由三垂線定理可知OA⊥l；或由Ａ作OA⊥l於Ｏ，連OB。由三垂線逆定理可知OB⊥l。此時，∠AOB即為二面角α-l-β的平面角。
        由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”．
        以上三個特徵提供的思路在解決具體問題時各具特色，其目標是分別找“點”、“垂面”、“垂線段”。事實上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而至．掌握這種關係對提高解題技能和培養空間想象力非常重要。
        3二面角的平面角的定位分析
        ［例1］：已知Ｅ是矩形ABCD邊CD的中點，且，CD=２，BC=１，現沿AE將△DAE折起至△D′AE，使得D′到B、C兩點的距離相等，求二面角D′-BC-A的大小。
         解析：取AE中點P，BC中點Q．則可得PQ⊥BC，又由D′B= D′C，得D′Q⊥BC，
        ∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。
        經計算得：∠D′QP＝ 23
        找“點”，由定義確定二面角的平面角。
        ［例２］：矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線AC把△ABC折起，使點B在平面ADC內的射影B′ 恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。
        解析：這是一道由平面圖形摺疊成立體圖形的問題，解決問題的關鍵在於搞清摺疊前後“變”與“不變”。
        在平面圖形中過Ｂ作BE⊥AC交AC於O、交AD於E，則摺疊後OB、OE與AC的垂直關係不變．但OB與OE此時變成相交兩線段並確定一平面，此平面必與稜AC垂直。由特徵（２）知，面BOE與面BAC、面DAC的交線OB與OE所成的角∠BOE，即為所求二面角的平面角。
        另外，點B在面DAC上的射影必在OE所在的直線上，又題設射影落在AD上,所以E點就是B′點，這樣的定位給下面的定量提供了便捷條件。
        經計算：OB=AB·BCAC=3×45=125 ，AO=AB2AC=95 ，OE=AO·CDAD=2720 ，
        在Rt△BEO中，設∠BOE＝θ ，則cos θ=OEOB=916，
        ∵0°＜θ＜180° ，∴θ=arccos916 ，
        即所求二面角B-AC-D為arccos916 ，
        通過對［例2］的定性分析、定位作圖和定量計算，由特徵（２）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，可以把構成二面角的兩個半平面“擺平”，依題目條件，在稜上選取一適當的垂線段，即可確定其平面角。“平面圖形”與“立體圖形”相呼映，不僅便於定性、定位，更利於定量。 

由“垂線段”定位二面角的平面角。
        ［例3］：已知 二面角α-a-β為  ，PA⊥α於A，PB⊥β於B，且PA＝８cm，PB＝10cm．求Ｐ點到a的距離。
        解析：過PA 、PB作平面γ，分別與α、β交於AO、BO，
        由PA⊥α，a?α，知PA⊥a，又由PB⊥β，a? β，知PB⊥a，因此，a⊥平面γ ，
        ∵AO? ，BO? ，∴a⊥AO， a⊥BO， 
        ∴∠AOB為二面角α-a-β的平面角，即∠AOB＝120°，
        連PO，由PO?，得a⊥PO．∴PO的長為P點到a的距離。
        經計算：AO ＝43 （cm），PO＝PA2+AO2=82+（43）2=47 （cm）．
        由稜的“垂面”定位二面角的平面角。
        ［例４］：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，稜長為2，E為BC的中點．求面B′D′E與面BB′C′C所成的二面角的大小。
        解析：面B′D′E與面BB′C′C構成兩個二面角，由特徵（２）知，這兩個二面角的大小必定互補．通過特徵（３）,我們只須由C′ ***或D′***作B′E的垂線交B′E於H，然後連結HD′ ***或HC′***,即得面B′D′E與面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′***三垂線定理***。
        經計算可得：Ｈ′C′＝455 ，在Rt△D′C′Ｈ中， ∠Ｄ′ＨＣ′=D′C′H′C′ =52，
        故所求的二面角角為arctan52 或π-arctan52 ．
        二面角的三個特徵，雖然客觀存在，互相聯絡，但在許多問題中卻很難通過直觀圖反映出來，這就需要我們培養良好的空間思維想象能力，正確定位。
        ［例５］：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，Ｅ是CC1的中點，求截面AD1E與底面ABCD所成角的正切值。
        解析：圖中截面AD1E與底面ABCD只給出一個公共點，沒有直接反映出二面角的稜，因此還需找出它與底面的另一個公共點．通過補形作出稜，進而再求二面角的大小。
        延長DC、D1E交於F，連AF，得截面AD1E與底面ABCD相交所得稜AF，AF交BC於G，過C作CH⊥AF於H，連EH，
        ∵EC⊥面ABCD，CH⊥AF，∴EH⊥AF（三垂線定理）
        ∴∠ EHC即為所求截面AD1E與底面ABCD所成二面角的平面角．
        可設正方體稜長為a，經計算得：EC＝CG＝a2 ，CF＝a，GF＝52a ，CH＝ ，55a
        ∴tan∠ EHC＝ECCH=52，
        即所求二面角的正切值為52．
        ［另］：△D1FＡ在底面ABCD的射影是△DＦA，
        S△DFA=12DF×DA=a2 ，又D1A＝2，S△D1FA =12D1A×322a=32a2，
        由射影面積法，所求角（記為 θ）的餘弦值為cosθ=S△DFAS△D1FA=23，
        則所求二面角的正切值為52 。
        ［另］：還可用向量法求二面角的平面角。
        定位是為了定量，二面角的計算是通過其平面角所在的三角形計算而得．而作平面角也是由其基本定義出發，在稜上找一點，在半平面內找一點，或在二面角內找一點，從這點出發作稜的垂線或垂面而得。如果二面角的稜在圖中沒有出現，可採取補形等辦法作出二面角的稜。
        綜上所述，二面角其平面角的正確而合理的定位，要在其正確其定義的基礎上，掌握其三個基本特徵，並靈活運用它們考察問題的環境背景，建立良好的空間思維，以不變應萬變。