高中數學常用導數公式彙總
導數***Derivative***是微積分中的重要基礎概念。當函式y=f***x***的自變數X在一點x0上產生一個增量Δx時，函式輸出值的增量Δy與自變數增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'***x0***或df/dx***x0***。
導數是函式的區域性性質。一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話，函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函式進行區域性的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。
不是所有的函式都有導數，一個函式也不一定在所有的點上都有導數。若某函式在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函式一定連續;不連續的函式一定不可導。
1.y=c***c為常數*** y'=0
2.y=x^n y'=nx^***n-1***
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到：
1.y=f[g***x***],y'=f'[g***x***]•g'***x***『f'[g***x***]中g***x***看作整個變數，而g'***x***中把x看作變數』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f***x***的反函式是x=g***y***，則有y'=1/x'
證：1.顯而易見，y=c是一條平行於x軸的直線，所以處處的切線都是平行於x的，故斜率為0。用導數的定義做也是一樣的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.這個的推導暫且不證，因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果後能用複合函式的求導給予證明。
3.y=a^x,
⊿y=a^***x+⊿x***-a^x=a^x***a^⊿x-1***
⊿y/⊿x=a^x***a^⊿x-1***/⊿x
如果直接令⊿x→0，是不能匯出導函式的，必須設一個輔助的函式β=a^⊿x-1通過換元進行計算。由設的輔助函式可以知道：⊿x=loga***1+β***。
所以***a^⊿x-1***/⊿x=β/loga***1+β***=1/loga***1+β***^1/β
顯然，當⊿x→0時，β也是趨向於0的。而limβ→0***1+β***^1/β=e,所以limβ→01/loga***1+β***^1/β=1/logae=lna。
把這個結果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x***a^⊿x-1***/⊿x後得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道，當a=e時有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga***x+⊿x***-logax=loga***x+⊿x***/x=loga[***1+⊿x/x***^x]/x
⊿y/⊿x=loga[***1+⊿x/x***^***x/⊿x***]/x
因為當⊿x→0時，⊿x/x趨向於0而x/⊿x趨向於∞，所以lim⊿x→0loga***1+⊿x/x***^***x/⊿x***=logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。
可以知道，當a=e時有y=lnx y'=1/x。
這時可以進行y=x^n y'=nx^***n-1***的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln***x^n***=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx•***nlnx***'=x^n•n/x=nx^***n-1***。
5.y=sinx
⊿y=sin***x+⊿x***-sinx=2cos***x+⊿x/2***sin***⊿x/2***
⊿y/⊿x=2cos***x+⊿x/2***sin***⊿x/2***/⊿x=cos***x+⊿x/2***sin***⊿x/2***/***⊿x/2***
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos***x+⊿x/2***•lim⊿x→0sin***⊿x/2***/***⊿x/2***=cosx
6.類似地，可以匯出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[***sinx***'cosx-sinx***cos***']/cos^2x=***cos^2x+sin^2x***/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[***cosx***'sinx-cosx***sinx***']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在對雙曲函式shx,chx,thx等以及反雙曲函式arshx,archx,arthx等和其他較複雜的複合函式求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能較快捷地求得結果。