高三數學月考試題附答案
高三學生的月考有助於檢驗複習效果，今天，小編為大家整理了。
高三數學月考試題一、選擇題
***本大題共有12道小題，每小題5分，共60分***
1.已知集合 , ,則 *** B ***
A. B. C. D.
2. 下列函式中既是奇函式，又在 上單調遞增的是 *** C ***
A. B. C. D.
3. 給出兩個命題:命題 命題“存在 ”的否定是“任意 ”;命題 ：函式 是奇函式. 則下列命題是真命題的是*** C ***
A. B. C. D.
4.若函式f***x***=x2-ax- a在區間[0,2]上的最大值為1，則實數a等於*** D ***
A.-1 B.1 C.-2 D. 2
5 已知函式 是函式 的導函式，則 的圖象大致是*** A ***
A. B. C. D.
6.已知命題p：x2+2x-3>0;命題q：x>a，且 的一個充分不必要條件是 ，則a的取值範圍是 *** B ***
A.***-∞，1] B.[1，+∞*** C.[-1，+∞*** D.***-∞，-3]
7.7. 已知函式f***x***=mx2+***m-3***x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側，則實數m的取值範圍是 *** B ***
A.***0，2*** B.***-∞，1] C.***-∞，1*** D.***0，2]
8.若f***x***=ax，x>1，4-a2x+2，x≤1是R上的單調遞增函式，則實數a的取值範圍為*** C ***
A.***1，+∞*** B.***4，8*** C.[4，8*** D.***1，8***
9. 已知函式y=f***x***是定義在R上的偶函式，且當 時，不等式 成立，若a=30.2 f***30.2***，b= ***logπ2*** f***logπ2***， c= f ，則 ， ， 間的大小關係 *** A ***
A. B. C. D.
10. 已知函式f***x***是定義在R上的偶函式，且在區間[0，+∞***上單調遞增.若實數a滿足f*** ***+f*** ***≤2f***2***，則a的取值範圍是*** D***
A.***-∞，4] B. ***0，4] C. D.
11.***文***已知 是奇函式，則 *** A ***
A..14 B. 12 C. 10 D.-8
11. ***理***若函式 的大小關係是 ***C ***
A. B.
C. D.不確定
12.已知函式y=f***x***為奇函式，且 對定義域內的任意x都有f***1+x***=-f***1-x***.當x∈***2，3***時，f***x***=log2***x-1***.給出以下4個結論：其中所有正確結論的為 *** A ***
①函式y=f***x***的圖象關於點***k，0******k∈Z***成中心對稱;
②函式y=|f***x***|是以2為週期的周期函式;
③函式y=f***|x|***在***k，k+1******k∈Z***上單調遞增;
④當x∈***-1，0***時，f***x***=-log2***1-x***.
A.①②④ B.②③ C.①④ D.①②③④
高三數學月考試題二、填空題
***本大題共有4道小題，每小題5分,共20分***
13.已知實數 滿足 則 的最大值__-4_______
14. 已知 ，則函式 在點 處的切線 與座標軸圍成的三角形面積為 .
15. 若函式 *** ***滿足 且 時， ,函式 ,則函式 在區間 內零點的個數有__12_個.
16. 存在區間 *** ***，使得 ，
則稱區間 為函式 的一個“穩定區間”.給出下列4 個函式：
① ;② ;③ ; ④
其中存在“ 穩定區間”的函式有②__③_ .***把所有正確的序號都填上***
高三數學月考試題三、解答題
***本大題共有5道小題，每小題12分,共60分***
17.***本小題滿分12分***
設向量 ， ，其中 ， ，函式
的圖象在 軸右側的第一個最高點***即函式取得最大值的點***為 ，在原點右側與 軸的第一個交點為 .
***Ⅰ***求函式 的表示式;
***Ⅱ***在 中，角A，B，C的對邊分別是 ，若 ，
且 ，求邊長 .
解：解：***I***因為 ， -----------------------------1分
由題意 ， -----------------------------3分
將點 代入 ，得 ，
所以 ，又因為 -------------------5分
即函式的表示式為 . --- ------------------6分
***II***由 ，即
又 ------------------------8分
由 ，知 ，
所以 -----------------10分
由余弦定理知
所以 ----------------------------------- -----------------12分
18.***文******本小題滿分12分***為了解某市的交通狀況，現對其6條道路進行評估，得分分別為：5,6,7,8,9,10.規定評估的平均得分與全市的總體交通狀況等級如下表：
評估的平均得分
全市的總體交通狀況等級 不合格 合格 優秀
***Ⅰ***求本次評估的平均得分，並參照上表估計該市的總體交通狀況等級;
***Ⅱ***用簡單隨機抽樣方法從這6條道路中抽取2條，它們的得分組成一個樣本，求該樣本的平均數與總體的平均數之差的絕對值不超過0.5的概率.
【解析】：
***Ⅰ***6條道路的平均得分為 .-----------------3分
∴該市的總體交通狀況等級為合格. -----------------5分
***Ⅱ***設 表示事件“樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過 ”. -----7分
從 條道路中抽取 條的得分組成的所有基本事件為： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 個基本事件. -----------------9分
事件 包括 ， ， ， ， ， ， 共 個基本事件，
∴ .
答：該樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過 的概率為 .------12分
18.***理******本小題滿分l 2分***
在2015年全國高校自主招生考試中，某高校設 計了一個面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立回答全部問題.規定：至少正確回答其中2題的便可通過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答，2題不能回答;考生乙每題正確回答的概率都為23，且每題正確回答與否互不影響.
***I***分別寫出甲、乙兩考生正確回答題數的分佈列，並計算其數學期望;
***II***試用統計知識分析比較兩考生的通過能力.
解析：***I***設考生甲、乙正確回答的題目個數分別為ξ、η，則ξ的可能取值為1，2，3，P***ξ=1***=C14C22C36=15 ，P***ξ=2***=C24C12C36=35，P***ξ=3***=C34C02C36=15，
∴考生甲正確完成題數的 分佈列為
ξ 1 2 3
P 15
35
15
Eξ=1×15+2×35+3×15=2. ………………………………………..4分
又η～B***3，23***，其分佈列為P***η=k***=Ck3•***23***k•***13***3-k，k=0，1，2，3;
∴Eη=np=3×23=2. ………………………………………6分
***II***∵Dξ=***2-1***2×15+***2-2***2×35+***2-3***2×15=25，
Dη=npq=3×23×13=23， ∴Dξ
∵P***ξ≥2***=35+15=0.8，P***η≥2***=1227+827≈0.74，∴P***ξ≥2***>P***η≥2***. ………………10分
從回答對題數的數學期望考查，兩人水平相當;從回答對題數的方差考查，甲較穩定;從至少完成2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大.因此可以判斷甲的實驗通過能力較強.………………12分
19***理***在四稜錐 中， 平面 ， 是 的中點，
, , .
***Ⅰ***求證： ;
***Ⅱ***求二面角 的餘弦值.
解：***Ⅰ***取 的中點 ,連線 , ,
則 ∥ .
因為
所以 .………………………………1分
因為 平面 ， 平面
所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………3分
因為 平面 ,所以 ⊥ ;
又 ∥ ，所以 ;
又因為 , ;
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………5分
因為 平面 ，所以 …………………… ……6分
***注：也可建系用向量證明***
***Ⅱ***以 為原點，建立如圖所示的空間直角座標系 .
則 , , ， , ,
， .
………………………………………………8分
設平面 的法向量為 ，則 所以
令 .所以 . ……………………9分
由***Ⅰ***知 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ .
同理 ⊥ .所以 平面
所以平面 的一個法向量 . …………………10分
所以 ， ……………………11分
由圖可知，二面角 為銳角，
所以二面角 的餘弦值為 . ……………………12分
19.***文***在四稜錐 中， 平面 ，
是 的中點， ,
， .
***Ⅰ***求證： ∥平面 ;
***Ⅱ***求證： .
證明：***Ⅰ***取 的中點 ,連線 , .
則有 ∥ .
因為 平面 ， 平面
所以 ∥平面 .……………………2分
由題意知 ,
所以 ∥ .
同理 ∥平面 .…………………4分
又因為 平面 , 平面 ,
所以 平面 ∥平面 .
因為 平面
所以 ∥平面 . ……………………………………………………………6分
***Ⅱ***取 的中點 ,連線 , ,則 ∥ .
因為 ,所以 .………………………………… ……7分
因為 平面 ， 平面 ，所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………9分
因為 平面 所以 ⊥
又 ∥ ，所以
又因為 ,
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………11分
因為 平面
所以 ………………………………………………………………12分
20. ***本小題滿分12分*** 已知橢圓 的離心率為 ，以原點O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線 相切..
***Ⅰ***求橢圓C的標準方程;
***Ⅱ***若直線 與橢圓C相交於A、B兩點，且 ，判斷△AOB的面積是否為定值?若為定值，求出定值;若不為定值，說明理由.
【解析】：
***1***由題意知 ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，
故橢圓的方程為 4分
***II***設 ，由 得
12分
21.***文***已知函式 ，其中a∈R.
***1***當 時，求曲線 在點 處的切線的斜率;
***2***當 時，求函式 的單調區間與極值.
解：***1***當a=0時，f***x***=x2ex，f′***x***=***x2+2x***ex，故f′***1***=3e.
所以曲線y=f***x***在點***1，f***1******處的切線的斜率為3e. …4分
***2***f′***x***=[x2+***a+2***x-2a2+4a] ex
令f′***x***=0，解得x=-2a，或x=a-2， …6分
由a≠23知，-2a≠a-2.
以下分兩種情況討論：
①若a>23，則-2a
x ***-∞，-2a*** -2a ***-2a，a-2*** a-2 ***a-2，+∞***
f′***x*** + 0 - 0 +
f***x*** 極大值 極小值
所以f***x***在***-∞，-2a***，***a-2，+∞***上是增函式，在***-2a，a-2***上是減函式.
函式f***x***在x=-2a處取得極大值為f***-2a***，且f***-2a***=3ae-2a.
函式f***x***在x=a-2處取得極小值為f***a-2***，且f***a-2***=***4-3a***ea-2. …9分
②若a<23，則-2a>a-2，當x變化時，f′***x***，f***x***的變化情況如下表：
x ***-∞，a-2*** a-2 ***a-2，-2a*** -2a ***-2a，+∞***
f′***x*** + 0 - 0 +
f***x*** 極大值 極小值
所以f***x***在***-∞，a-2***，***-2a，+∞***上是增函式，在***a-2，-2a***上是減函式.
函式f***x***在x=a-2處取得極大值f***a-2***，且f***a-2***=***4-3a***ea-2.
函式f***x***在x=-2a處取得極小值f***-2a***，且f***-2a***=3ae-2a. …12分
21. ***理***已知函式 *** ***.
***1*** 當 時，證明：在 上， ;
***2***求證： .
解：***1*** 根據題意知，f′***x***=a1-xx ***x>0***，
當a>0時，f***x***的單調遞增區間為***0,1]，單調遞減區間為***1，+∞***;
當a<0時，f***x***的單調遞增區間為***1，+∞***，單調遞減區間為***0,1];
當a=0時，f***x***不是 單調函式.
所以a=-1時，f*** x***=-ln x+x-3， 在***1，+∞***上單調遞增，
所以f***x***>f***1 ***，
即f***x***>-2，所以f***x***+2>0. …………6分
***2*** 由***1***得-ln x+x-3+2>0，即-ln x+x-1> 0，
所以ln x
則有0
∴ln 22•ln 33•ln 44•…•ln nn < 12•23•34•…•n-1n=1n***n≥2，n∈N****. …12分
高三數學月考試題四、選考題
請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號塗黑.
22.***本小題滿分10分***選修4-1：幾何證明選講
直線AB經過⊙O上的點C，並且OA=OB，CA=CB.⊙O交直線OB於E，D，連線EC，CD.
***Ⅰ ***求證：直線AB是⊙O的切線;
***Ⅱ***若tan∠CED=12，⊙O的半徑為3，求OA的長.
解：***1***證明：連線OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥OB，又∵OC是圓的半徑，∴AB是圓的切線. ……4分
***2***∵ED是直徑，∴∠ECD=90°，∴∠E+∠EDC=90°，
又∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E，又∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，∴BCBE=BDBC⇒BC2=BD•BE，
又tan∠CED=CDEC=12，△BCD∽△BEC，BDBC=CDEC=12，
設BD=x，則BC=2x，∵BC2=BD•BE，∴***2x***2=x***x+6***，∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5. ……10分
23.***本題滿分10分***選修4-4:座標系與引數方程
已知曲線 ***t為引數***， *** 為參 數***.
***Ⅰ***化 ， 的方程為普通方程，並說明它們分別表示什麼曲線;
***Ⅱ***過曲線 的左頂點且傾斜角為 的直線 交曲線 於 兩點，求 .
解：⑴
曲線 為圓心是 ，半徑是1的圓.
曲線 為中心是座標原點，焦點在x軸上，長軸長是8，短軸長是6的橢圓.……4分
⑵曲線 的左頂點為 ，則直線 的引數方程為 *** 為引數***
將其代入曲線 整理可得： ，設 對應引數分別為 ，則
所以 ……………10分
24.***本小題滿分10分***選 修4—5：不等式選講
已知函式 ，且 的解集為 .
***Ⅰ***求 的值;
***Ⅱ***若 ，且 ，求證： .
解：***Ⅰ***因為 ，所以 等價於 ，…2分
由 有解，得 ，且其解集為 . …4分
又 的解集為 ，故 .…***5分***
***Ⅱ***由***Ⅰ***知
，又 ， …7分∴ ≥ =9.9分
***或展開運用基本不等式***
∴ ….10分