數學什麼是複數

　　複數x被定義為二元有序實數對***a,b***[1] ，記為z=a+bi,這裡a和b是實數，i是虛數單位。在複數a+bi中，a=Re***z***稱為實部，b=Im***z***稱為虛部。當虛部等於零時，這個複數可以視為實數;當z的虛部不等於零時，實部等於零時，常稱z為純虛數。複數域是實數域的代數閉包，也即任何復係數多項式在複數域中總有根。複數是由義大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、尤拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受。

　　複數的四則運算規定為：加法法則：***a+bi***+***c+di***=***a+c***+***b+d***i;減法法則：***a+bi***-***c+di***=***a-c***+***b-d***i;乘法法則：***a+bi***·***c+di***=***ac-bd***+***bc+ad***i;除法法則：***a+bi***÷***c+di***=[***ac+bd***/***c²+d²***]+[***bc-ad***/***c²+d²***]i.

　　例如：[***a+bi***+***c+di***]-[***a+c***+***b+d***i]=0，最終結果還是0，也就在數字中沒有複數的存在。

　　[***a+bi***+***c+di***]-[***a+c***+***b+d***i]=Z是一個函式。

　　主要內容

　　定義

　　數集拓展到實數範圍內，仍有些運算無法進行，***比如對負數開偶數次方***，為了使方程有解，我們將數集再次擴充。

　　在實數域上定義二元有序對z=***a,b***，並規定有序對之間有運算"+","x" ***記z1=***a,b***,z2=***c,d******：

　　z1 + z2=***a+c,b+d***

　　z1 x z2=***ac-bd,bc+ad***

　　容易驗證，這樣定義的有序對全體在有序對的加法和乘法下成一個域，並且對任何複數z，我們有

　　z=***a,b***=***a.0***+***0,1*** x ***b,0***

　　令f是從實數域到複數域的對映，f***a***=***a,0***，則這個對映保持了實數域上的加法和乘法，因此實數域可以嵌入複數域中，可以視為複數域的子域。

　　記***0,1***=i,則根據我們定義的運算，***a,b***=***a.0***+***0,1*** x ***b,0***:=a+bi，i x i=***0,1*** x ***0,1***=***-1,0***=-1，這就只通過實數解決了虛數單位i的存在問題。