人教版初二數學上期末試卷
託星月寄到你窗前.祝八年級數學期末考順意!小編整理了關於,希望對大家有幫助!
人教版初二數學上期末試題
一、選擇題***共15題,每題4分,共60分***
1.4的平方根是*** ***
A.2 B.4 C.±2 D.±
2.﹣ 的相反數是*** ***
A.﹣ B. C. D.﹣
3.在平面直角座標系中,點P***﹣2,﹣3***所在的象限是*** ***
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中,點A、B都是格點,則線段AB的長度為*** ***
A.5 B.6 C.7 D.25
5.下列語言是命題的是*** ***
A.畫兩條相等的線段
B.等於同一個角的兩個角相等嗎?
C.延長線段AO到C,使OC=OA
D.兩直線平行,內錯角相等.
6.一次函式y=﹣2x﹣1的圖象不經過*** ***
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.如果 a3xby與﹣a2ybx+1是同類項,則*** ***
A. B. C. D.
8.如圖所示,AB∥CD,EF⊥BD,垂足為E,∠1=50°,則∠2的度數為*** ***
A.50° B.40° C.45° D.25°
9.為了瞭解某班同學一週的課外閱讀量,任選班上15名同學進行調查,統計如表,則下列說法錯誤的是*** ***
閱讀量***單位:本/周*** 0 1 2 3 4
人數***單位:人*** 1 4 6 2 2
A.中位數是2 B.平均數是2 C.眾數是2 D.極差是2
10.如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線交於點E,過點E作MN∥BC交AB於M,交AC於N,若BM+CN=9,則線段MN的長為*** ***
A.6 B.7 C.8 D.9
11.如圖1,某溫室屋頂結構外框為△ABC,立柱AD垂直平分橫樑BC,∠B=30°,斜樑AC=4m.為增大向陽面的面積,將立柱增高並改變位置,使屋頂結構外框變為△EBC***點E在BA的延長線上***,立柱EF⊥BC,如圖2所示,若EF=3m,則斜樑增加部分AE的長為*** ***
A.0.5m B.1m C.1.5m D.2m
12.如圖,四邊形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足為E,下列結論不一定成立的是*** ***
A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC
13.九年級一班和二班每班選8名同學進行投籃比賽,每名同學投籃10次,對每名同學投中的次數進行統計,甲說:“一班同學投中次數為6個的最多”乙說:“二班同學投中次數最多與最少的相差6個.”上面兩名同學的議論能反映出的統計量是*** ***
A.平均數和眾數 B.眾數和極差 C.眾數和方差 D.中位數和極差
14.在平面直角座標系中,已知A***2,﹣2***,原點O***0,0***,在y軸上確定點P,使△AOP為等腰三角形,則符合條件的點P共有*** ***
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
15.點P***x,y***在第一象限內,且x+y=6,點A的座標為***4,0***.設△OPA的面積為S,則下列圖象中,能正確反映面積S與x之間的函式關係式的圖象是*** ***
A. B. C. D.
二、填空題***共6題,每題4分,共24分***
16.人數相同的八年級甲、乙兩班學生在同一次數學單元測試中,班級平均分和方差如下: = =80,S甲2=230,S乙2=190,則成績較為穩定的班級是 班.
17.若 是方程2x﹣ay=4的一個解,則a= .
18.若y=***m﹣1***x|m|是正比例函式,則m的值為 .
19.如圖,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,將△ABC摺疊,使A點與BC的中點D重合,摺痕為MN,則線段BN的長為 .
20.如圖,已知等邊△ABC中,BD=CE,AD與BE相交於點P,則∠APE的度數是 度.
21.如圖,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA於點D,PC=4,則PD= .
三、解答題***本大題共7小題,共66分***
22.化簡計算:
***1***
***2***解方程組 .
23.***1***已知:如圖1,在銳角三角形ABC中,高BD與CE相交於點O,且BD=CE,求證:OB=OC;
***2***如圖2,在△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥AC,∠B=50°,∠EDC=30°,求∠ADC的度數.
24.某中學開展“唱紅歌”比賽活動,九年級***1***、***2***班根據初賽成績,各選出5名選手參加複賽,兩個班各選出的5名選手的複賽成績如圖所示.
班級 平均數***分*** 中位數 眾數
九***1*** 85 85
九***2*** 80
***1***根據圖示填寫上表;
***2***結合兩班複賽成績的平均數和中位數,分析哪個班級的複賽成績較好;
***3***計算兩班複賽成績的方差,並說明哪個班級的成績較穩定.
25.學生在素質教育基地進行社會實踐活動,幫助農民伯伯採摘了黃瓜和茄子共40kg,瞭解到這些蔬菜的種植成本共42元,還了解到如下資訊:
***1***請問採摘的黃瓜和茄子各多少千克?
***2***這些採摘的黃瓜和茄子可賺多少元?
26.平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關係.
***1***如圖2,若AB∥CD,點P在AB、CD內部,∠B=50°,∠D=30°,求∠BPD.
***2***如圖1,在AB∥CD的前提下,將點P移到AB、CD外部,則∠BPD、∠B、∠D之間有何數量關係?並證明你的結論.
***3***在圖2中,將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD於點Q,如圖3,寫出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間的數量關係.
27.如圖中的折線ABC表示某汽車的耗油量y***單位:L/km***與速度x***單位:km/h***之間的函式關係***30≤x≤120***,已知線段BC表示的函式關係中,該汽車的速度每增加1km/h,耗油量增加0.002L/km.
***1***當速度為50km/h、100km/h時,該汽車的耗油量分別為 L/km、 L/km.
***2***求線段AB所表示的y與x之間的函式表示式.
***3***速度是多少時,該汽車的耗油量最低?最低是多少?
28.如圖,直線l1:y1=﹣x+2與x軸,y軸分別交於A,B兩點,點P***m,3***為直線l1上一點,另一直線l2:y2= x+b過點P,與x軸交於點C.
***1***直接寫出m和b的值及點A、點C的座標;
***2***若動點Q從點C開始以每秒1個單位的速度向x軸正方向移動.設點Q的運動時間為t秒.
①當點Q在運動過程中,請直接寫出△APQ的面積S與t的函式關係式;
②求出當t為多少時,△APQ的面積等於3;
③是否存在t的值,使△APQ為等腰三角形?若存在,請直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
參考答案
一、選擇題***共15題,每題4分,共60分***
1.4的平方根是*** ***
A.2 B.4 C.±2 D.±
【考點】平方根.
【分析】根據平方根的概念即可求出答案.
【解答】解:∵***±2***2=4,
∴4的平方根是±2
故選***C***
2.﹣ 的相反數是*** ***
A.﹣ B. C. D.﹣
【考點】實數的性質.
【分析】利用相反數的定義計算即可得到結果.
【解答】解:﹣ 的相反數是 ,
故選C
3.在平面直角座標系中,點P***﹣2,﹣3***所在的象限是*** ***
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點】點的座標.
【分析】根據各象限內點的座標特徵解答即可.
【解答】解:點P***﹣2,﹣3***所在的象限是第三象限.
故選C.
4.如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中,點A、B都是格點,則線段AB的長度為*** ***
A.5 B.6 C.7 D.25
【考點】勾股定理.
【分析】建立格點三角形,利用勾股定理求解AB的長度即可.
【解答】解:如圖所示:
AB= =5.
故選:A.
5.下列語言是命題的是*** ***
A.畫兩條相等的線段
B.等於同一個角的兩個角相等嗎?
C.延長線段AO到C,使OC=OA
D.兩直線平行,內錯角相等.
【考點】命題與定理.
【分析】根據命題的定義解答,命題是對事情做出正確或不正確的判斷的句子叫做命題,分別判斷得出答案即可.
【解答】解:根據命題的定義:
只有答案D、兩直線平行,內錯角相等.對事情做出正確或不正確的判斷,故此選項正確;
故選:D.
6.一次函式y=﹣2x﹣1的圖象不經過*** ***
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點】一次函式圖象與係數的關係.
【分析】因為k=﹣2<0,b=﹣1<0,根據一次函式y=kx+b***k≠0***的性質得到圖象經過第二、四象限,圖象與y軸的交點在x軸下方,於是可判斷一次函式y=﹣2x﹣1的圖象不經過第一象限.
【解答】解:對於一次函式y=﹣2x﹣1,
∵k=﹣2<0,
∴圖象經過第二、四象限;
又∵b=﹣1<0,
∴一次函式的圖象與y軸的交點在x軸下方,即函式圖象還經過第三象限,
∴一次函式y=﹣2x﹣1的圖象不經過第一象限.
故選A.
7.如果 a3xby與﹣a2ybx+1是同類項,則*** ***
A. B. C. D.
【考點】解二元一次方程組;同類項.
【分析】根據同類項的定義列出方程組,然後利用代入消元法求解即可.
【解答】解:∵ a3xby與﹣a2ybx+1是同類項,
∴ ,
②代入①得,3x=2***x+1***,
解得x=2,
把x=2代入②得,y=2+1=3,
所以,方程組的解是 .
故選D.
8.如圖所示,AB∥CD,EF⊥BD,垂足為E,∠1=50°,則∠2的度數為*** ***
A.50° B.40° C.45° D.25°
【考點】平行線的性質;三角形內角和定理.
【分析】由EF⊥BD,∠1=50°,結合三角形內角和為180°即可求出∠D的度數,再由“兩直線平行,同位角相等”即可得出結論.
【解答】解:在△DEF中,∠1=∠F=50°,∠DEF=90°,
∴∠D=180°﹣∠DEF﹣∠1=40°.
∵AB∥CD,
∴∠2=∠D=40°.
故選B.
9.為了瞭解某班同學一週的課外閱讀量,任選班上15名同學進行調查,統計如表,則下列說法錯誤的是*** ***
閱讀量***單位:本/周*** 0 1 2 3 4
人數***單位:人*** 1 4 6 2 2
A.中位數是2 B.平均數是2 C.眾數是2 D.極差是2
【考點】極差;加權平均數;中位數;眾數.
【分析】根據表格中的資料,求出中位數,平均數,眾數,極差,即可做出判斷.
【解答】解:15名同學一週的課外閱讀量為0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,4,4,
中位數為2;
平均數為***0×1+1×4+2×6+3×2+4×2***÷15=2;
眾數為2;
極差為4﹣0=4;
所以A、B、C正確,D錯誤.
故選D.
10.如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線交於點E,過點E作MN∥BC交AB於M,交AC於N,若BM+CN=9,則線段MN的長為*** ***
A.6 B.7 C.8 D.9
【考點】等腰三角形的判定與性質;平行線的性質.
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交於點E,∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,利用兩直線平行,內錯角相等,利用等量代換可∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,然後即可求得結論.
【解答】解:∵∠ABC、∠ACB的平分線相交於點E,
∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,
∵MN∥BC,
∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB,
∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,
∴BM=ME,EN=CN,
∴MN=ME+EN,
即MN=BM+CN.
∵BM+CN=9
∴MN=9,
故選:D.
11.如圖1,某溫室屋頂結構外框為△ABC,立柱AD垂直平分橫樑BC,∠B=30°,斜樑AC=4m.為增大向陽面的面積,將立柱增高並改變位置,使屋頂結構外框變為△EBC***點E在BA的延長線上***,立柱EF⊥BC,如圖2所示,若EF=3m,則斜樑增加部分AE的長為*** ***
A.0.5m B.1m C.1.5m D.2m
【考點】含30度角的直角三角形;相似三角形的判定.
【分析】直接利用∠B=30°,可得2EF=BE=6m,再利用垂直平分線的性質進而得出AB的長,即可得出答案.
【解答】解:∵立柱AD垂直平分橫樑BC,
∴AB=AC=4m,
∵∠B=30°,
∴BE=2EF=6m,
∴AE=EB﹣AB=6﹣4=2***m***.
故選:D.
12.如圖,四邊形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足為E,下列結論不一定成立的是*** ***
A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC
【考點】線段垂直平分線的性質.
【分析】根據線段垂直平分線上任意一點,到線段兩端點的距離相等可得AB=AD,BC=CD,再根據等腰三角形三線合一的性質可得AC平分∠BCD,EB=DE,進而可證明△BEC≌△DEC.
【解答】解:∵AC垂直平分BD,
∴AB=AD,BC=CD,
∴AC平分∠BCD,EB=DE,
∴∠BCE=∠DCE,
在Rt△BCE和Rt△DCE中,
,
∴Rt△BCE≌Rt△DCE***HL***,
故選:C.
13.九年級一班和二班每班選8名同學進行投籃比賽,每名同學投籃10次,對每名同學投中的次數進行統計,甲說:“一班同學投中次數為6個的最多”乙說:“二班同學投中次數最多與最少的相差6個.”上面兩名同學的議論能反映出的統計量是*** ***
A.平均數和眾數 B.眾數和極差 C.眾數和方差 D.中位數和極差
【考點】統計量的選擇.
【分析】根據眾數和極差的概念進行判斷即可.
【解答】解:一班同學投中次數為6個的最多反映出的統計量是眾數,
二班同學投中次數最多與最少的相差6個能反映出的統計量極差,
故選:B.
14.在平面直角座標系中,已知A***2,﹣2***,原點O***0,0***,在y軸上確定點P,使△AOP為等腰三角形,則符合條件的點P共有*** ***
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
【考點】等腰三角形的判定;座標與圖形性質.
【分析】由點A的座標可得,OA與y軸的夾角為45°,若點P在y軸上,△AOP構成的等腰三角形,應分OA是腰和是底,以及是等腰直角三角形還是普通等腰三角形來討論.
【解答】解:∵A***2,﹣2***
∴OA=2 ,OA與y軸的夾角為45°
①當點P在y軸的正半軸上時,OP=OA=2 ,則點P的座標為***0,2 ***;
②當△AOP為等腰直角三角形時,且OA是斜邊時,OP=PA=2,則點P的座標為***0,﹣2***;
③當△AOP為等腰直角三角形時,且OA是直角邊時,OA=PA=2 ,OP=4,則點P的座標為***0,﹣4***;
④當點P在y軸的負半軸上時,且OA=OP=2 ,則點P的座標為***0,﹣2 ***.
故選C
15.點P***x,y***在第一象限內,且x+y=6,點A的座標為***4,0***.設△OPA的面積為S,則下列圖象中,能正確反映面積S與x之間的函式關係式的圖象是*** ***
A. B. C. D.
【考點】一次函式的圖象.
【分析】先用x表示出y,再利用三角形的面積公式即可得出結論.
【解答】解:∵點P***x,y***在第一象限內,且x+y=6,
∴y=6﹣x***0< p="">
∵點A的座標為***4,0***,
∴S= ×4×***6﹣x***=12﹣2x***0< p="">
∴C符合.
故選C.
二、填空題***共6題,每題4分,共24分***
16.人數相同的八年級甲、乙兩班學生在同一次數學單元測試中,班級平均分和方差如下: = =80,S甲2=230,S乙2=190,則成績較為穩定的班級是 乙 班.
【考點】方差.
【分析】根據方差的意義判斷,方差越小資料越穩定.
【解答】解:因為S2甲=230,S2乙=190,則乙的方差小於甲的方差,故成績較為整齊的是乙班.
故答案為:乙.
17.若 是方程2x﹣ay=4的一個解,則a= 1 .
【考點】二元一次方程的解.
【分析】將解代入二元一次方程,再解一個一元一次方程即可.
【解答】解:將 代入方程2x﹣ay=4,
得:6﹣2a=4,解得:a=1,
故答案為:1.
18.若y=***m﹣1***x|m|是正比例函式,則m的值為 ﹣1 .
【考點】正比例函式的定義.
【分析】根據正比例函式的定義,令m﹣1≠0,|m|=1即可.
【解答】解:由題意得:m﹣1≠0,|m|=1,
解得:m=﹣1.
故答案為:﹣1.
19.如圖,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,將△ABC摺疊,使A點與BC的中點D重合,摺痕為MN,則線段BN的長為 4 .
【考點】翻折變換***摺疊問題***.
【分析】設BN=x,則由摺疊的性質可得DN=AN=9﹣x,根據中點的定義可得BD=3,在Rt△BND中,根據勾股定理可得關於x的方程,解方程即可求解.
【解答】解:設BN=x,由摺疊的性質可得DN=AN=9﹣x,
∵D是BC的中點,
∴BD=3,
在Rt△BND中,x2+32=***9﹣x***2,
解得x=4.
故線段BN的長為4.
故答案為:4.
20.如圖,已知等邊△ABC中,BD=CE,AD與BE相交於點P,則∠APE的度數是 60 度.
【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質.
【分析】根據題目已知條件可證△ABD≌△BCE,再利用全等三角形的性質及三角形外角和定理求解.
【解答】解:∵等邊△ABC,
∴∠ABD=∠C,AB=BC,
在△ABD與△BCE中, ,
∴△ABD≌△BCE***SAS***,
∴∠BAD=∠CBE,
∵∠ABE+∠EBC=60°,
∴∠ABE+∠BAD=60°,
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°,
∴∠APE=60°.
故答案為:60.
21.如圖,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA於點D,PC=4,則PD= 2 .
【考點】角平分線的性質;含30度角的直角三角形.
【分析】作PE⊥OA於E,根據角平分線的性質可得PE=PD,根據平行線的性質可得∠ACP=∠AOB=30°,由直角三角形中30°的角所對的直角邊等於斜邊的一半,可求得PE,即可求得PD.
【解答】解:作PE⊥OA於E,
∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OB,PE⊥OA,
∴PE=PD***角平分線上的點到角兩邊的距離相等***,
∵∠BOP=∠AOP=15°,
∴∠AOB=30°,
∵PC∥OB,
∴∠ACP=∠AOB=30°,
∴在Rt△PCE中,PE= PC= ×4=2***在直角三角形中,30°角所對的直角邊等於斜邊的一半***,
∴PD=PE=2,
故答案是:2.
三、解答題***本大題共7小題,共66分***
22.化簡計算:
***1***
***2***解方程組 .
【考點】實數的運算;解二元一次方程組.
【分析】***1***直接利用二次根式的性質以及立方根的定義化簡,進而得出答案;
***2***直接利用加減消元法解方程得出答案.
【解答】解:***1***
= × ﹣3
=3﹣3
=0;
***2*** ,
①+②得:
3x=15,
解得:x=5,
則2×5+y=7,
解得:y=﹣3,
故方程組的解為: .
23.***1***已知:如圖1,在銳角三角形ABC中,高BD與CE相交於點O,且BD=CE,求證:OB=OC;
***2***如圖2,在△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥AC,∠B=50°,∠EDC=30°,求∠ADC的度數.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】***1***欲證OB=OC,可證∠OBC=∠OCB,只要證明△BEC≌△CDB即可;由已知可得∠BEC=∠CDB=90°,BD=CE,BC是公共邊,即可證得;
***2***根據兩直線平行,內錯角相等求出∠ACD,再根據角平分線的定義求出∠ACB,根據三角形內角和定理求出∠A,再利用三角形內角和定理解答即可.
【解答】***1***證明:∵CE⊥AB,BD⊥AC,
∴△EBC和△DCB都是直角三角形,
在Rt△EBC與Rt△DCB中 ,
∴Rt△EBC≌Rt△DCB***HL***,
∴∠BCE=∠CBD,
∴OB=OC;
***2***解:∵DE∥AC,∠EDC=30°,
∴∠ACD=∠EDC=30°,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠ACD=2×30°=60°,
在△ABC中,∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°,
在△ACD中,∠ADC=180°﹣∠ACD﹣∠A=180°﹣30°﹣70°=80.
24.某中學開展“唱紅歌”比賽活動,九年級***1***、***2***班根據初賽成績,各選出5名選手參加複賽,兩個班各選出的5名選手的複賽成績如圖所示.
班級 平均數***分*** 中位數 眾數
九***1*** 85 85
九***2*** 80
***1***根據圖示填寫上表;
***2***結合兩班複賽成績的平均數和中位數,分析哪個班級的複賽成績較好;
***3***計算兩班複賽成績的方差,並說明哪個班級的成績較穩定.
【考點】方差;條形統計圖;算術平均數;中位數;眾數.
【分析】***1***觀察圖分別寫出九***1***班和九***2***班5名選手的複賽成績,然後根據中位數的定義和平均數的求法以及眾數的定義求解即可;
***2***在平均數相同的情況下,中位數高的成績較好;
***3***根據方差公式計算即可:s2= [***x1﹣ ***2+***x2﹣ ***2+…+***xn﹣ ***2]***可簡單記憶為“等於差方的平均數”***
【解答】解:***1***由圖可知九***1***班5名選手的複賽成績為:75、80、85、85、100,
九***2***班5名選手的複賽成績為:70、100、100、75、80,
九***1***的平均數為***75+80+85+85+100***÷5=85,
九***1***的中位數為85,
九***1***的眾數為85,
把九***2***的成績按從小到大的順序排列為:70、75、80、100、100,
九***2***班的中位數是80;
九***2***班的眾數是100;
九***2***的平均數為***70+75+80+100+100***÷5=85,
班級 平均數***分*** 中位數***分*** 眾數***分***
九***1*** 85 85 85
九***2*** 85 80 100
***2***九***1***班成績好些.因為九***1***班的中位數高,所以九***1***班成績好些.***回答合理即可給分***
***3*** = [***75﹣85***2+***80﹣85***2+***85﹣85***2+***85﹣85***2+2]=70,
= [***70﹣85***2+2+2+***75﹣85***2+***80﹣85***2]=160.
25.學生在素質教育基地進行社會實踐活動,幫助農民伯伯採摘了黃瓜和茄子共40kg,瞭解到這些蔬菜的種植成本共42元,還了解到如下資訊:
***1***請問採摘的黃瓜和茄子各多少千克?
***2***這些採摘的黃瓜和茄子可賺多少元?
【考點】二元一次方程組的應用.
【分析】***1***設他當天採摘黃瓜x千克,茄子y千克,根據採摘了黃瓜和茄子共40kg,瞭解到這些蔬菜的種植成本共42元,列出方程,求出x的值,即可求出答案;
***2***根據黃瓜和茄子的斤數,再求出每斤黃瓜和茄子賺的錢數,即可求出總的賺的錢數.
【解答】解:***1***設採摘黃瓜x千克,茄子y千克.根據題意,得
,
解得 .
答:採摘的黃瓜和茄子各30千克、10千克;
***2***30×***1.5﹣1***+10×***2﹣1.2***=23***元***.
答:這些採摘的黃瓜和茄子可賺23元.
26.平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關係.
***1***如圖2,若AB∥CD,點P在AB、CD內部,∠B=50°,∠D=30°,求∠BPD.
***2***如圖1,在AB∥CD的前提下,將點P移到AB、CD外部,則∠BPD、∠B、∠D之間有何數量關係?並證明你的結論.
***3***在圖2中,將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD於點Q,如圖3,寫出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間的數量關係.
【考點】平行線的性質.
【分析】***1***過點P作直線EF∥AB,由平行線的性質即可得出結論;
***2***根據平行線的性質及三角形外角的性質即可得出結論;
***3***連線QP並延長,由三角形外角的性質即可得出結論.
【解答】***1***解:如圖2,過點P作直線EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠BPF=∠B=50°,∠DPF=∠D=30°,
∴∠BPD=50°+30°=80°;
***2***∠B=∠BPD+∠D.
證明:∵AB∥CD,
∴∠B=∠BOD.
∵∠BOD=∠BPD+∠D,
∴∠B=∠BPD+∠D.
***3***∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.
證明:如圖3,連線QP並延長,
∵∠BPE=∠B+∠CQE,∠DPE=∠D+∠DQE,
∴∠BPE+DPE=∠B+∠CQE+∠D+∠DQE,即∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.
27.如圖中的折線ABC表示某汽車的耗油量y***單位:L/km***與速度x***單位:km/h***之間的函式關係***30≤x≤120***,已知線段BC表示的函式關係中,該汽車的速度每增加1km/h,耗油量增加0.002L/km.
***1***當速度為50km/h、100km/h時,該汽車的耗油量分別為 0.13 L/km、 0.14 L/km.
***2***求線段AB所表示的y與x之間的函式表示式.
***3***速度是多少時,該汽車的耗油量最低?最低是多少?
【考點】一次函式的應用.
【分析】***1***和***2***:先求線段AB的解析式,因為速度為50km/h的點在AB上,所以將x=50代入計算即可,速度是100km/h的點線上段BC上,可由已知中的“該汽車的速度每增加1km/h,耗油量增加0.002L/km”列式求得,也可以利用解析式求解;
***3***觀察圖形發現,兩線段的交點即為最低點,因此求兩函式解析式組成的方程組的解即可.
【解答】解:***1***設AB的解析式為:y=kx+b,
把***30,0.15***和***60,0.12***代入y=kx+b中得:
解得
∴AB:y=﹣0.001x+0.18,
當x=50時,y=﹣0.001×50+0.18=0.13,
由線段BC上一點座標***90,0.12***得:0.12+×0.002=0.14,
故答案為:0.13,0.14;
***2***由***1***得:線段AB的解析式為:y=﹣0.001x+0.18;
***3***設BC的解析式為:y=kx+b,
把***90,0.12***和代入y=kx+b中得:
解得 ,
∴BC:y=0.002x﹣0.06,
根據題意得 解得 ,
答:速度是80km/h時,該汽車的耗油量最低,最低是0.1L/km.
28.如圖,直線l1:y1=﹣x+2與x軸,y軸分別交於A,B兩點,點P***m,3***為直線l1上一點,另一直線l2:y2= x+b過點P,與x軸交於點C.
***1***直接寫出m和b的值及點A、點C的座標;
***2***若動點Q從點C開始以每秒1個單位的速度向x軸正方向移動.設點Q的運動時間為t秒.
①當點Q在運動過程中,請直接寫出△APQ的面積S與t的函式關係式;
②求出當t為多少時,△APQ的面積等於3;
③是否存在t的值,使△APQ為等腰三角形?若存在,請直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
【考點】一次函式綜合題.
【分析】***1***把點P座標代入直線l1解析式可求得m,可求得P點座標,代入直線l2可求得b,可求得直線l2的解析式,在y1=0可求得A點座標,令y2=0可求得相應x的值,可求得C點座標;
***2***①分點Q在A、C之間和點Q在A的右邊兩種情況,分別用t可表示出AQ,則可表示出S;
②令S=3可求得t的值;
③可設出Q座標為***x,0***,用x可分別表示出PQ、AQ和AP的長,分PQ=AQ、PQ=AP和AQ=AP三種情況可得到關於的方程,可求得相應的x的值,則可求得Q點的座標,則可求得CQ的長,可求得t的值.
【解答】解:
***1***∵點P在直線l1上,
∴3=﹣m+2,解得m=﹣1,
∴P***﹣1,3***,
∵y2= x+b過點P,
∴3= ×***﹣1***+b,解得b= ,
∴直線y2= x+ ,令y2=0可得0= x+ ,解得x=﹣7,
∴點C座標為***﹣7,0***,
在y1=﹣x+2中,令y1=0可得﹣x+2=0,解得x=2,
∴A點座標為***2,0***;
***2***①由題意可知CQ=t,P到x軸的距離為3,
∵A***2,0***,C***﹣7,0***,
∴AC=2﹣***﹣7***=9,
當Q在A、C之間時,則AQ=AC﹣CQ=9﹣t,
∴S= ×3×***9﹣t***=﹣ t+ ;
當Q在A的右邊時,則AQ=CQ﹣AC=t﹣9,
∴S= ×3×***t﹣9***= t﹣ ;
②令S=3可得﹣ t+ =3或 t﹣ =3,解得t=6或t=11,
即當t的值為6秒或11秒時△APQ的面積等於3;
③設Q***x,0******x≥﹣7***,
∵A***2,0***,P***﹣1,3***,
∴PQ2=***x+1***2+32=x2+2x+10,AQ2=***x﹣2***2=x2﹣4x+4,AP2=***2+1***2+32=18,
∵△APQ為等腰三角形,
∴有PQ=AQ、PQ=AP和AQ=AP三種情況,
當PQ=AQ時,則PQ2=AQ2,即x2+2x+10=x2﹣4x+4,解得x=﹣1,則Q點座標為***﹣1,0***,
∴CQ=﹣1﹣***﹣7***=6,即t=6;
當PQ=AP時,則PQ2=AP2,即x2+2x+10=18,解得x=﹣4或x=2,則Q點座標為***﹣4,0***或***2,0******與A點重合,捨去***,
∴CQ=﹣4﹣***﹣7***=3,即t=3;
當AQ=AP時,則AQ2=AP2,即x2﹣4x+4=18,解得x=2±3 ,則Q點座標為***2+3 ,0***或***2﹣3 ,0***,
∴CQ=2+3 ﹣***﹣7***=9+3 或CQ=2﹣3 ﹣***﹣7***=9﹣3 ,即t=9+3 或t=9﹣3 ;
綜上可知存在滿足條件的t,其值為6或3或t=9+3 或t=9﹣3 .