八年級數學人教版上冊期末考試
辛勞的付出必有豐厚回報，紫氣東來鴻運通天，孜孜不倦今朝夢圓。祝你八年級數學期末考試成功!下面小編給大家分享一些，大家快來跟小編一起看看吧。
題
一、選擇題：本題10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個選項是正確的，請將正確的選項填在後面的答題欄內.
1.在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標誌中，是軸對稱圖形的是*** ***
A. B. C. D.
2.如果分式 的值為0，則x的值是*** ***
A.1 B.0 C.﹣1 D.±1
3.點M***﹣2，1***關於x軸的對稱點N的座標是*** ***
A.***2，1*** B.***﹣2，1*** C.***﹣2，﹣1*** D.***2，﹣1***
4.下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是*** ***
A.m***x﹣y***=mx﹣my B.x2+2x+1=x***x+2***+1
C.a2+1=a***a+ *** D.15x2﹣3x=3x***5x﹣1***
5.如圖，AD∥BC，AD=CB，要使△ADF≌△CBE，需要新增的下列選項中的一個條件是*** ***
A.AE=CF B.DF=BE C.∠A=∠C D.AE=EF
6.下列運算正確的是*** ***
A.2a2+a=3a3 B.***﹣a***2÷a=a C.***﹣a***3•a2=﹣a6 D.***2a2***3=6a6
7.長為9，6，3，4的四根木條，選其中三根組成三角形，選法*** ***
A.1種 B.2種 C.3種 D.4種
8.解分式方程 +2= ，可知方程*** ***
A.解為x=2 B.解為x=4 C.解為x=3 D.無解
9.如圖，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分線MN交BE於點C，且AB+BC=BE，則∠B的度數是*** ***
A.45° B.50° C.55° D.60°
10.如圖，△ABM與△CDM是兩個全等的等邊三角形，MA⊥MD.有下列四個結論：***1***∠MBC=25°;***2***∠ADC+∠ABC=180°;***3***直線MB垂直平分線段CD;***4***四邊形ABCD是軸對稱圖形.其中正確結論的個數為*** ***
A.1個 B.2個 C.3個 D.4
二、填空題：每題3分，共計18分。
11.計算：4x2y÷***﹣ ***=__________.
12.若x2+2***m﹣3***x+16是完全平方式，則m=__________.
13.如圖，∠2+∠3+∠4=320°，則∠1=__________.
14.如圖，座標平面上，△ABC≌△FDE，若A點的座標為***a，1***，BC∥x軸，B點的座標為***b，﹣3***，D、E兩點在y軸上，則F點到y軸的距離為__________.
15.等腰三角形的周長為16，其一邊長為6，則另兩邊的長為__________.
16.有一個計算程式，每次運算這種運算的過程如下：
則第n次運算的結果yn__________.***用含有x和n的式子表示***
三、解答題：本大題共8小題，共72分。
17.***1***計算：
***2***分解因式：2ma2﹣8mb2.
18.已知：如圖，B、C、E三點在同一條直線上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B.
求證：△ABC≌△CDE.
19.***1***解方程：
***2***化簡方程：***m﹣ *** ***m在0，1，﹣2這三個值取一個合適的值***
20.如圖，已知銳角三角形ABC.
***1***用尺規作BC的垂直平分線l和∠B的平分線BM;
***2***若l與BM交於P，∠A=60°，∠ACP=24°，則∠ABP=__________度.
21.如圖，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線AD交BC於D，過C作CN⊥AD交AD於H，交AB於N.
***1***求證：△ANC為等腰三角形;
***2***試判斷BN與CD的數量關係，並說明理由.
22.如圖，在等邊△ABC中，點D為AC上一點，CD=CE，∠ACE=60°.
***1***求證：△BCD≌△ACE;
***2***延長BD交AE於F，連線CF，若AF=CF，猜想線段BF、AF的數量關係，並證明你的猜想.
23.在我市某一城市美化工程招標時，有甲、乙兩個工程隊投標，經測算：甲隊單獨完成這項工程需要60天，若由甲隊先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成.
***1***乙隊單獨完成這項工程需要多少天?
***2***甲隊施工一天，需付工程款3.5萬元，乙隊施工一天需付工程款2萬元.若該工程計劃在70天內完成，在不超過計劃天數的前提下，是由甲隊或乙隊單獨完成工程省錢?還是由甲乙兩隊全程合作完成該工程省錢?
24.如圖***1***，直線AB與x軸負半軸、y軸的正半軸分別交於A、B、OA、OB的長分別為a、b，且滿足a2﹣2ab+b2=0.
***1***判斷△AOB的形狀;
***2***如圖***2***過座標原點作直線OQ交直線AB於第二象限於點Q，過A、B兩點分別作AM⊥OQ、BN⊥OQ，若AM=7，BN=4，求MN的長;
***3***如圖***3***，E為AB上一動點，以AE為斜邊作等腰直角三角形ADE，P為BE的中點，延長DP至F，使PF=DP，連結PO，BF，試問DF、PO是否存在確定的位置關係和數量關係?寫出你的結論並證明.
參考答案
一、選擇題：本題10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個選項是正確的，請將正確的選項填在後面的答題欄內.
1.在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標誌中，是軸對稱圖形的是*** ***
A. B. C. D.
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據軸對稱圖形的概念求解.如果一個圖形沿著一條直線對摺後兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，故A符合題意;
B、不是軸對稱圖形，故B不符合題意;
C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意;
D、不是軸對稱圖形，故D不符合題意.
故選：A.
【點評】本題主要考查軸對稱圖形的知識點.確定軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分摺疊後可重合.
2.如果分式 的值為0，則x的值是*** ***
A.1 B.0 C.﹣1 D.±1
【考點】分式的值為零的條件.
【分析】根據分子為零分母不為零分式的值為零，可得答案.
【解答】解：由分式 的值為0，得
|x|﹣1=0且2x+2≠0.
解得x=1，
故選：A.
【點評】本題考查了合併同類項，分子為零分母不為零分式的值為零是解題關鍵.
3.點M***﹣2，1***關於x軸的對稱點N的座標是*** ***
A.***2，1*** B.***﹣2，1*** C.***﹣2，﹣1*** D.***2，﹣1***
【考點】關於x軸、y軸對稱的點的座標.
【分析】根據兩點關於x軸對稱，橫座標不變，縱座標互為相反數即可得出結果.
【解答】解：根據兩點關於x軸對稱，橫座標不變，縱座標互為相反數，
∴點M***﹣2，1***關於x軸的對稱點的座標是***﹣2，﹣1***，
故選：C.
【點評】本題主要考查了兩點關於x軸對稱，橫座標不變，縱座標互為相反數，比較簡單.
4.下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是*** ***
A.m***x﹣y***=mx﹣my B.x2+2x+1=x***x+2***+1
C.a2+1=a***a+ *** D.15x2﹣3x=3x***5x﹣1***
【考點】因式分解的意義.
【分析】根據因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式乘積的形式，可得答案.
【解答】解：A、是整式的乘法，故A錯誤;
B、沒把一個多項式轉化成幾個整式乘積的形式，故B錯誤;
C、沒把一個多項式轉化成幾個整式乘積的形式，故C錯誤;
D、把一個多項式轉化成幾個整式乘積的形式，故D正確;
故選：D.
【點評】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式乘積的形式.
5.如圖，AD∥BC，AD=CB，要使△ADF≌△CBE，需要新增的下列選項中的一個條件是*** ***
A.AE=CF B.DF=BE C.∠A=∠C D.AE=EF
【考點】全等三角形的判定.
【分析】求出AF=CE，根據平行線的性質得出∠A=∠C，根據全等三角形的判定推出即可.
【解答】解：只有選項A正確，
理由是：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE***SAS***，
故選A.
【點評】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，主要考查學生的推理能力和辨析能力.
6.下列運算正確的是*** ***
A.2a2+a=3a3 B.***﹣a***2÷a=a C.***﹣a***3•a2=﹣a6 D.***2a2***3=6a6
【考點】同底數冪的除法;合併同類項;同底數冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【專題】計算題.
【分析】A、原式不能合併;
B、原式先計算乘方運算，再計算除法運算即可得到結果;
C、原式利用冪的乘方及積的乘方運演算法則計算得到結果，即可做出判斷;
D、原式利用冪的乘方及積的乘方運演算法則計算得到結果，即可做出判斷.
【解答】解：A、原式不能合併，故A錯誤;
B、原式=a2÷a=a，故B正確;
C、原式=﹣a3•a2=﹣a5，故C錯誤;
D、原式=8a6，故D錯誤.
故選：B.
【點評】此題考查了同底數冪的乘除法，合併同類項，以及完全平方公式，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵.
7.長為9，6，3，4的四根木條，選其中三根組成三角形，選法*** ***
A.1種 B.2種 C.3種 D.4種
【考點】三角形三邊關係.
【分析】要把四條線段的所有組合列出來，再根據三角形的三邊關係判斷能組成三角形的組數.
【解答】解：四根木條的所有組合：9，6，3和9，6，4和6，3，4和9，3，4;
根據三角形的三邊關係，得能組成三角形的有9，6，4和3，6，44.
故選：B.
【點評】本題考查了三角形的三邊關係，熟記三角形的任意兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊是解題的關鍵.
8.解分式方程 +2= ，可知方程*** ***
A.解為x=2 B.解為x=4 C.解為x=3 D.無解
【考點】解分式方程.
【分析】根據解分式方程的一般步驟，可得分式方程的解.
【解答】解：去分母，得
1﹣x+2***x﹣2***=﹣1.
去括號，得
1﹣x+2x﹣4=﹣1.
移項，得
﹣x+2x=﹣1﹣1+4.
合併同類項，得
x=2.
檢驗：當x=2時，x﹣2=0，
x=2不是分式方程的解，原分式方程無解.
故選：D.
【點評】本題考查瞭解分式方程，注意檢驗是不可缺少的一步.
9.如圖，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分線MN交BE於點C，且AB+BC=BE，則∠B的度數是*** ***
A.45° B.50° C.55° D.60°
【考點】線段垂直平分線的性質.
【分析】首先連線AC，由AE的垂直平分線MN交BE於點C，可得AC=EC，又由AB+BC=BE，易證得AB=AC，然後由等腰三角形的性質與三角形內角和定理，求得∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，繼而求得答案.
【解答】解：連線AC，
∵MN是AE的垂直平分線，
∴AC=EC，
∴∠CAE=∠E，
∵AB+BC=BE，BC+EC=BE，
∴AB=EC=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，
∴∠B=2∠E，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣4∠E，
∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，
解得：∠E=25°，
∴∠B=2∠E=50°.
故選B.
【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質以及三角形內角和定理.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.
10.如圖，△ABM與△CDM是兩個全等的等邊三角形，MA⊥MD.有下列四個結論：***1***∠MBC=25°;***2***∠ADC+∠ABC=180°;***3***直線MB垂直平分線段CD;***4***四邊形ABCD是軸對稱圖形.其中正確結論的個數為*** ***
A.1個 B.2個 C.3個 D.4
【考點】軸對稱圖形;全等三角形的性質;線段垂直平分線的性質;等邊三角形的性質.
【分析】***1***△ABM和△CDM是全等的等邊三角形，那麼可知這兩個三角形的內角都等於60°，所有的邊都相等，即知∠AMB=∠CMD=60°，又MA⊥MD，故∠AMD=90°，利用周角概念可求∠BMC，而BM=CM，結合三角形內角和等於180°，可求∠MBC、∠MCB;
***2***由於MA⊥MB，則∠AMD=90°，而MA=MD，那麼∠MDA=45°，又∠MDC=60°，可求∠ADC=105°，由***1***中可知∠MBC=15°，則∠ABC=60°+15°=75°，所以∠ADC+∠ABC=180°;
***3***延長BM交CD於N，∠NMC是△BMC的外角，可求∠NMC=30°，即知MN是△CDM的角平分線，根據等腰三角形三線合一性質可知MB垂直平分CD;
***4***利用***2***中的方法可求∠BAD=105°，∠BCD=75°，易證∠BAD+∠ABC=180°，則AD∥BC，又∵AB=DC，可證四邊形ABCD是等腰梯形，從而可知四邊形ABCD是軸對稱圖形.
【解答】解：***1***∵△ABM≌△CDM，△ABM、△CDM都是等邊三角形，
∴∠ABM=∠AMB=∠BAM=∠CMD=∠CDM=∠DCM=60°，AB=BM=AM=CD=CM=DM，
又∵MA⊥MD，
∴∠AMD=90°，
∴∠BMC=360°﹣60°﹣60°﹣90°=150°，
又∵BM=CM，
∴∠MBC=∠MCB=15°;
***2***∵AM⊥DM，
∴∠AMD=90°，
又∵AM=DM，
∴∠MDA=∠MAD=45°，
∴∠ADC=45°+60°=105°，
∠ABC=60°+15°=75°，
∴∠ADC+∠ABC=180°;
***3***延長BM交CD於N，
∵∠NMC是△MBC的外角，
∴∠NMC=15°+15°=30°，
∴BM所在的直線是△CDM的角平分線，
又∵CM=DM，
∴BM所在的直線垂直平分CD;
***4***根據***2***同理可求∠DAB=105°，∠BCD=75°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
又∵AB=CD，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∴四邊形ABCD是軸對稱圖形.
故***2******3******4***正確.
故選C.
【點評】本題利用了等邊三角形的性質、三角形內角和定理、三角形外角性質、平行線的判定、梯形的判定、等腰三角形三線合一定理、軸對稱的判定.
二、填空題：每題3分，共計18分。
11.計算：4x2y÷***﹣ ***=﹣16xy.
【考點】整式的除法.
【分析】直接利用整式除法運演算法則求出答案.
【解答】解：4x2y÷***﹣ ***
=﹣4x2y•
=﹣16xy.
故答案為：﹣16xy.
【點評】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握運演算法則是解題關鍵.
12.若x2+2***m﹣3***x+16是完全平方式，則m=﹣1或7.
【考點】完全平方式.
【分析】本題考查的是完全平方式，這裡首末兩項是x和4的平方，那麼中間項為加上或減去x和4的乘積的2倍，故2***m﹣3***=±8，解得m的值即可.
【解答】解：由於***x±4***2=x2±8x+16=x2+2***m﹣3***x+16，
∴2***m﹣3***=±8，
解得m=﹣1或m=7.
故答案為：﹣1;7.
【點評】本題考查了完全平方式的應用，根據其結構特徵：兩數的平方和，加上或減去它們乘積的2倍，在已知首尾兩項式子的情況下，可求出中間項的代數式，列出相應等式，進而求出相應數值.
13.如圖，∠2+∠3+∠4=320°，則∠1=40°.
【考點】多邊形內角與外角.
【分析】根據多邊形的外角和等於360°即可得到結論.
【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∠2+∠3+∠4=320°，
∴∠1=40°，
故答案為：40°.
【點評】本題考查了多邊形的內角和外角，熟記多邊形的外角和等於360°是解題的關鍵.
14.如圖，座標平面上，△ABC≌△FDE，若A點的座標為***a，1***，BC∥x軸，B點的座標為***b，﹣3***，D、E兩點在y軸上，則F點到y軸的距離為4.
【考點】全等三角形的性質;座標與圖形性質.
【分析】如圖，作AH⊥BC於H，FP⊥DE於P，根據全等三角形的性質得到AC=DF，∠C=∠FDE，推出△ACH≌△DFP***AAS***，根據全等三角形的性質得到AH=FP，根據A點的座標為***a，1***，BC∥x軸，B點的座標為***b，﹣3***，得到AH=4，即可得到結論.
【解答】解：如圖，作AH⊥BC於H，FP⊥DE於P，
∵△ABC≌△FDE，
∴AC=DF，∠C=∠FDE，
在△ACH和△DFP中，
，
∴△ACH≌△DFP***AAS***，
∴AH=FP，
∵A點的座標為***a，1***，BC∥x軸，B點的座標為***b，﹣3***，
∴AH=4，
∴FP=4，
∴F點到y軸的距離為4，
故答案為：4.
【點評】本題考查了座標與圖象的性質的運用，垂直的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，等腰三角形的性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵.
15.等腰三角形的周長為16，其一邊長為6，則另兩邊的長為6，4或5，5.
【考點】等腰三角形的性質;三角形三邊關係.
【分析】分腰長為6和底邊為6，求出其另外兩邊，再利用三角形的三邊關係進行驗證即可.
【解答】解：當腰為6時，則另兩邊長為***，此時三邊滿足三角形三邊關係;
當底邊為6時，則另兩邊長為5、5，此時三邊滿足三角形三邊關係;
故答案為：6，4或5，5.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形的三邊關係，解題的關鍵是能夠分類討論，難度不大.
16.有一個計算程式，每次運算這種運算的過程如下：
則第n次運算的結果yn .***用含有x和n的式子表示***
【考點】分式的混合運算.
【專題】圖表型;規律型.
【分析】把y1代入確定出y2，依此類推得到一般性規律，即可確定出第n次運算結果.
【解答】解：把y1= 代入得：y2= = ，
把y2= 代入得：y3= = ，
依此類推，得到yn= ，
故答案為：
【點評】此題考查了分式的混合運算，弄清題中的規律是解本題的關鍵.
三、解答題：本大題共8小題，共72分。
17.***1***計算：
***2***分解因式：2ma2﹣8mb2.
【考點】實數的運算;提公因式法與公式法的綜合運用;零指數冪;負整數指數冪.
【專題】計算題;實數.
【分析】***1***原式第一項利用算術平方根定義計算，第二項利用負整數指數冪法則計算，第三項利用零指數冪法則計算即可得到結果;
***2***原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
【解答】解：***1***原式= ﹣ ﹣1=﹣1;
***2***原式=2m***a2﹣4b2***=2m***a+2b******a﹣2b***.
【點評】此題考查了實數的運算，熟練掌握運演算法則是解本題的關鍵.
18.已知：如圖，B、C、E三點在同一條直線上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B.
求證：△ABC≌△CDE.
【考點】全等三角形的判定.
【專題】證明題.
【分析】首先根據AC∥DE，利用平行線的性質可得：∠ACB=∠E，∠ACD=∠D，再根據∠ACD=∠B證出∠D=∠B，再由∠ACB=∠E，AC=CE可根據三角形全等的判定定理AAS證出△ABC≌△CDE.
【解答】證明：∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠E，∠ACD=∠D，
∵∠ACD=∠B，
∴∠D=∠B，
在△ABC和△EDC中 ，
∴△ABC≌△CDE***AAS***.
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，選用哪一種方法，取決於題目中的已知條件，
19.***1***解方程：
***2***化簡方程：***m﹣ *** ***m在0，1，﹣2這三個值取一個合適的值***
【考點】分式的化簡求值;解分式方程.
【專題】計算題;分式.
【分析】***1***分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解;
***2***原式括號中兩項通分並利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把m=﹣2代入計算即可求出值.
【解答】解：***1***分式方程兩邊乘以2***x﹣1***，去分母得：2x+2x﹣2=3，
解得：x= ，
檢驗：當x= 時，2***x﹣1***≠0，
則x= 是原公式方程的解;
***2***原式= • = ，
∵m≠0，1，
∴m=﹣2，
∴把m=﹣2代入得原式= .
【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運演算法則是解本題的關鍵.
20.如圖，已知銳角三角形ABC.
***1***用尺規作BC的垂直平分線l和∠B的平分線BM;
***2***若l與BM交於P，∠A=60°，∠ACP=24°，則∠ABP=32度.
【考點】作圖—複雜作圖.
【分析】***1***分別利用角平分線的作法以及線段垂直平分線的作法畫出圖形;
***2***利用角平分線的性質以及線段垂直平分線的性質得出∠ABP的度數.
【解答】解：***1***如圖所示：直線l以及BM即為所求;
***2***連線PC，
設∠ABP=x，則∠CBP=∠PCB=x，
∵∠A=60°，∠ACP=24°，
∴∠ABP= ***180°﹣60°﹣24°***=32°.
故答案為：32.
【點評】此題主要考查了複雜作圖，正確掌握角平分線以及線段垂直平分線的性質是解題關鍵.
21.如圖，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線AD交BC於D，過C作CN⊥AD交AD於H，交AB於N.
***1***求證：△ANC為等腰三角形;
***2***試判斷BN與CD的數量關係，並說明理由.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰三角形的判定與性質.
【分析】***1***利用角平分線的性質結合三角形內角和定理得出∠ANH=∠ACH，進而得出答案;
***2***利用全等三角形的判定方法得出△AND≌△ACD***ASA***，進而得出DN=DC，∠AND=∠ACD，即可得出∠B=∠NDB，進而得出答案.
【解答】***1***證明：∵CN⊥AD，
∴∠AHN=∠AHC=90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠NAH=∠CAH，
又∵在△ANH和△ACH中
∠AHN+∠NAH+∠ANH=180°，∠AHC+∠CAH+∠ACH=180°
∴∠ANH=∠ACH，
∴AN=AC，
∴△ANC為等腰三角形;
***2***解：BN=CD，
原因如下：如圖：連線ND
∵△AND和△ACD中
∴△AND≌△ACD***ASA***，
∴DN=DC，∠AND=∠ACD，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠AND=2∠B
又∵△BND中，∠AND=∠B+∠NDB，
∴∠B=∠NDB，
∴NB=ND，
∴BN=CD.
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定和角平分線的性質等知識，正確掌握全等三角形的判定與性質是解題關鍵.
22.如圖，在等邊△ABC中，點D為AC上一點，CD=CE，∠ACE=60°.
***1***求證：△BCD≌△ACE;
***2***延長BD交AE於F，連線CF，若AF=CF，猜想線段BF、AF的數量關係，並證明你的猜想.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】***1***易證BC=AC，∠BCD=60°，即可證明△BCD≌△ACE，即可解題;
***2***易證BD為等邊△ABC中AC邊上的高，根據等邊三角形三線合一性質可得∠ABD=∠DBC=30°，根據△BCD≌△ACE，可得∠DBC=∠CAE，即可求得∠BAF=90°，根據30°角所對直角邊是斜邊一半的性質即可解題.
【解答】證明：***1***∵△ABC是等邊△，
∴BC=AC，∠BCD=60°，
在△BCD和△ACE中，
.
∴△BCD≌△ACE***SAS***;
***2***BF=2AF，
理由：∵AF=CF，AB=BC，
∴BF⊥AC且平分AC，
∴BD為等邊△ABC中AC邊上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠DBC=∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE=30°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAE=90°，
∴在Rt△ABF中，BF=2AF.
【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了30°角所對直角邊是斜邊一半的性質，本題中求證△BCD≌△ACE是解題的關鍵.
23.在我市某一城市美化工程招標時，有甲、乙兩個工程隊投標，經測算：甲隊單獨完成這項工程需要60天，若由甲隊先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成.
***1***乙隊單獨完成這項工程需要多少天?
***2***甲隊施工一天，需付工程款3.5萬元，乙隊施工一天需付工程款2萬元.若該工程計劃在70天內完成，在不超過計劃天數的前提下，是由甲隊或乙隊單獨完成工程省錢?還是由甲乙兩隊全程合作完成該工程省錢?
【考點】分式方程的應用.
【專題】工程問題.
【分析】***1***求的是乙的工效，工作時間明顯.一定是根據工作總量來列等量關係.等量關係為：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作總量=1.
***2***把在工期內的情況進行比較.
【解答】解：***1***設乙隊單獨完成需x天.
根據題意，得： ×20+*** + ***×24=1.
解這個方程得：x=90.
經檢驗，x=90是原方程的解.
∴乙隊單獨完成需90天.
答：乙隊單獨完成需90天.
***2***設甲、乙合作完成需y天，則有*** + ***×y=1.
解得，y=36，
①甲單獨完成需付工程款為60×3.5=210***萬元***.
②乙單獨完成超過計劃天數不符題意，
③甲、乙合作完成需付工程款為36×***3.5+2***=198***萬元***.
答：在不超過計劃天數的前提下，由甲、乙合作完成最省錢.
【點評】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關係是解決問題的關鍵.
24.如圖***1***，直線AB與x軸負半軸、y軸的正半軸分別交於A、B、OA、OB的長分別為a、b，且滿足a2﹣2ab+b2=0.
***1***判斷△AOB的形狀;
***2***如圖***2***過座標原點作直線OQ交直線AB於第二象限於點Q，過A、B兩點分別作AM⊥OQ、BN⊥OQ，若AM=7，BN=4，求MN的長;
***3***如圖***3***，E為AB上一動點，以AE為斜邊作等腰直角三角形ADE，P為BE的中點，延長DP至F，使PF=DP，連結PO，BF，試問DF、PO是否存在確定的位置關係和數量關係?寫出你的結論並證明.
【考點】全等三角形的判定與性質;座標與圖形性質;等腰直角三角形.
【分析】***1***求出a=b，即可得出答案;
***2***求出∠AMO=∠ONB=90°，∠MAO=∠BON，根據AAS推出△AMO≌△ONB，根據全等得出ON=AM=7，OM=BN=4，即可求出答案;
***3***連線OD，OF，求出△BPF≌△EPD，根據全等得出BF=ED，∠FBP=∠DEP，求出BF=AD，∠FBO=∠DAO=90°，根據SAS推出△FBO≌△DAO，求出∠FOB=∠DOA，OD=OF，求出△DOF是等腰直角三角形，即可得出答案.
【解答】***1***解：△AOB是等腰直角三角形，
理由是：∵a2﹣2ab+b2=0
***a﹣b***2=0，
∴a=b，
∴OA=OB
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形;
***2***解：∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠ONB=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
又∵∠MAO+∠MOA=90°，
∴∠MAO=∠BON，
在△AMO和△ONB中
∴△AMO≌△ONB***AAS***，
∴ON=AM=7，OM=BN=4，
∴MN=ON﹣OM=7﹣4=3;
***3***OP= DF且OP⊥DF，
證明：連線OD，OF，
∵P為BE的中點，
∴BP=EP，
在△BPF和△EPD中
∴△BPF≌△EPD***SAS***
∴BF=ED，∠FBP=∠DEP，
又∵△AED是等腰直角三角形，
∴AD=ED，∠DEA=∠DAE=45°，
∴BF=AD，
∴∠FBP=∠DEP=180°﹣45°=135°，
又∵△AOB和△ADE是等腰直角三角形，
∴OB=OA，∠DEA=∠DAE=45°，
∴BF=AD，
∴∠FBO=∠FBP﹣∠ABO=135°﹣45°=90°，
∠DAO=∠DAE+∠BAO=45°+45°=90°，
∴∠FBO=∠DAO=90°，
在△FBO和△DAO中
∴△FBO≌△DAO***SAS***
∴∠FOB=∠DOA，OD=OF，
∴∠DOF=∠DOB+∠BOF=∠DOB+∠DOA=∠AOB=90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
又∵PF=DP，
∴OP= DF，OP⊥DF.
【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，座標與圖形性質，二元二次方程，等腰直角三角形的性質和判定的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等.