什麼是向量空間向量空間的定義

　　向量空間又稱線性空間，是線性代數的中心內容和基本概念之一。那麼你對向量空間瞭解多少呢?以下是由小編整理關於什麼是向量空間的內容，希望大家喜歡!

　　向量空間的簡介

　　在解析幾何裡引入向量概念後，使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰，在此基礎上的進一步抽象化，形成了與域相聯絡的向量空間概念。譬如，實係數多項式的集合在定義適當的運算後構成向量空間，在代數上處理是方便的。單變元實函式的集合在定義適當的運算後，也構成向量空間，研究此類函式向量空間的數學分支稱為泛函分析。

　　向量空間它的理論和方法在科學技術的各個領域都有廣泛的應用。

　　向量空間的線性對映

　　若 V 和 W 都是域F上的向量空間，可以設定由V到W的線性變換或“線性對映”。這些由V到W的對映都有共同點，就是它們保持總和及標量商數。這個集合包含所有由V到W的線性對映，以 L***V, W*** 來描述，也是一個域F上的向量空間。當 V 及 W 被確定後，線性對映可以用矩陣來表達。

　　同構是一對一的一張線性對映。如果在V 和W之間存在同構，我們稱這兩個空間為同構;域F上每一n維向量空間都與向量空間F同構。

　　一個在F場的向量空間加上線性對映就可以構成一個範疇，即阿貝爾範疇。

　　向量空間的額外結構

　　研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

　　一個實數或複數向量空間加上長度概念。就是範數稱為賦範向量空間。

　　一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念，稱為內積空間。

　　一個向量空間加上拓撲學符合運算的***加法及標量乘法是連續對映***稱為拓撲向量空間。

　　一個向量空間加上雙線性運算元***定義為向量乘法***是個域代數。

　　向量空間的公理化定義

　　設F是一個域。一個F上的向量空間是一個集合V和兩個運算：

　　向量加法: V + V → V, 記作 v + w, ∃ v, w∈V

　　標量乘法: F × V → V, 記作 a·v, ∃a∈F, v∈V

　　符合下列公理 ***∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V***：

　　向量加法結合律：u + ***v + w*** = ***u + v*** + w;

　　向量加法交換律：v + w = w + v;

　　向量加法的單位元：V 裡有一個叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v;

　　向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0;

　　標量乘法分配於向量加法上：a***v + w*** = a v + a w;

　　標量乘法分配於域加法上: ***a + b***v = a v + b v;

　　標量乘法一致於標量的域乘法: a***b v*** = ***ab***v;

　　標量乘法有單位元: 1 v = v, 這裡 1 是指域 F 的乘法單位元。

　　有些教科書還強調以下兩個公理：

　　V 閉合在向量加法下：v + w ∈ V

　　V 閉合在標量乘法下：a v ∈ V

　　更抽象的說，一個F上的向量空間是一個F-模。V的成員叫作向量，而F的成員叫作標量。若F是實數域R，V稱為實向量空間;若F是複數域C，V稱為復向量空間;若F是有限域，V稱為有限域向量空間;對一般域F，V稱為F-向量空間。

　　首4個公理是說明向量V在向量加法中是個阿貝爾群，餘下的4個公理應用於標量乘法。

向量空間的定義