解三角形專項練習以及答案
一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。以下是小編為大家推薦關於高三數學的，歡迎閱讀!
一、選擇題
1.在△ABC中，sinA=sinB，則△ABC是
A.直角三角形B.銳角三角形
C.鈍角三角形D.等腰三角形
答案 D
2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，則△ABC是
A.直角三角形B.等邊三角形
C.鈍角三角形D.等腰直角三角形
答案 B
解析 由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，
∴tanA=tanB=tanC，∴A=B=C.
3.在△ABC中，sinA=34，a=10，則邊長c的取值範圍是
A.152，+∞B.10，+∞
C.0,10 D.0，403
答案 D
解析 ∵csinC=asinA=403，∴c=403sinC.
∴0
4.在△ABC中，a=2bcosC，則這個三角形一定是
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
答案 A
解析 由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，
∴sinB+C=2sin Bcos C，
∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，
∴sinB-C=0，∴B=C.
5.在△ABC中，已知b+c∶c+a∶a+b=4∶5∶6，則sin A∶sin B∶sin C等於
A.6∶5∶4 B.7∶5∶3
C.3∶5∶7 D.4∶5∶6
答案 B
解析 ∵b+c∶c+a∶a+b=4∶5∶6，
∴b+c4=c+a5=a+b6.
令b+c4=c+a5=a+b6=k k>0，
則b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.
∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.
6.已知三角形面積為14，外接圓面積為π，則這個三角形的三邊之積為
A.1B.2
C.12D.4
答案 A
解析 設三角形外接圓半徑為R，則由πR2=π，
得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，∴abc=1.
二、填空題
7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，則b=________.
答案 23
解析 ∵cosC=13，∴sinC=223，
∴12absinC=43，∴b=23.
8.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A=60°，a=3，b=1，則c=________.
答案 2
解析 由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60°=1sinB，
∴sinB=12，故B=30°或150°.由a>b，
得A>B，∴B=30°，故C=90°，
由勾股定理得c=2.
9.在單位圓上有三點A，B，C，設△ABC三邊長分別為a，b，c，則asinA+b2sinB+2csinC=________.
答案 7
解析 ∵△ABC的外接圓直徑為2R=2，
∴asinA=bsinB=csinC=2R=2，
∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.
10.在△ABC中，A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，則a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.
答案 12 6
解析 a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.
∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183，
∴sinC=12，∴csinC=asinA=12，∴c=6.
三、解答題
11.在△ABC中，求證：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
證明 因為在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，
所以左邊=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA
=sinB+C-sinCcosBsinA+C-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右邊.
所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，試判斷△ABC的形狀.
解 設三角形外接圓半徑為R，則a2tanB=b2tanA
⇔a2sinBcosB=b2sinAcosA
⇔4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA
⇔sinAcosA=sinBcosB
⇔sin2A=sin2B
⇔2A=2B或2A+2B=π
⇔A=B或A+B=π2.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
能力提升
13.在△ABC中，B=60°，最大邊與最小邊之比為3+1∶2，則最大角為
A.45°B.60°C.75°D.90°
答案 C
解析 設C為最大角，則A為最小角，則A+C=120°，
∴sinCsinA=sin120°-AsinA
=sin120°cosA-cos120°sinAsinA
=32tanA+12=3+12=32+12，
∴tanA=1，A=45°，C=75°.
14.在△ABC中，a，b，c分別是三個內角A，B，C的對邊，若a=2，C=π4，
cosB2=255，求△ABC的面積S.
解 cosB=2cos2B2-1=35，
故B為銳角，sinB=45.
所以sinA=sinπ-B-C=sin3π4-B=7210.
由正弦定理得c=asinCsinA=107，
所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.
1.在△ABC中，有以下結論：
1A+B+C=π;
2sinA+B=sin C，cosA+B=-cos C;
3A+B2+C2=π2;
4sin A+B2=cos C2，cos A+B2=sin C2，tan A+B2=1tan C2.
2.藉助正弦定理可以進行三角形中邊角關係的互化，從而進行三角形形狀的判斷、三角恆等式的證明.