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[拼音]：feixianxing xitong lilun

[英文]：nonlinear systems theory

自動控制理論中研究非線性系統（見非線性控制系統）的運動規律和分析方法的一個分支。嚴格說，現實中的一切系統都是非線性系統，線性系統只是為了數學處理上的簡化而匯出的一種理想化的模型。非線性系統的一個最重要的特性是不能採用疊加原理來進行分析，這就決定了在研究上的複雜性。非線性系統理論遠不如線性系統理論成熟和完整。由於數學處理上的困難，所以至今還沒有一種通用的方法可用來處理所有型別的非線性系統。

非線性現象

非線性系統理論的研究物件是非線性現象,它是反映非線性系統運動本質的一類現象,不能採用線性系統的理論來解釋。主要的非線性現象有頻率對振幅的依賴性、多值響應和跳躍諧振、分諧波振盪、自激振盪、頻率捕捉、非同步抑制、分岔和混沌等。

頻率對振幅的依賴性

這種非線性現象只出現在一類非線性系統的自由振盪中。一個著名例子是由杜芬方程

m尦 + f凧 + kx + k'x3＝0

所描述的一類機械系統（圖1）的自由振盪。式中m是重物的質量，x是重物的位移，凧和尦分別是x的一階和二階導數，f是阻尼器的粘性摩擦係數，kx+k'x3表示非線性彈簧力。引數 m、f 和k均為正的常數。引數k'為正時稱為硬彈簧，k' 為負時稱為軟彈簧。使重物有一個初始位移後，系統即產生自由振盪。從實驗中可觀察到：在k'為正時，隨著自由振盪振幅的減小，頻率值增大；在k'為負時，隨自由振盪的振幅減小，頻率值減小。圖2中：k'＝0時的波形有7個峰，且間距相等，表明頻率不隨振幅的減小而變，k'＞0時達到第7個峰的時間較k'＝0時的短；表明頻率隨振幅的減小而增加;k'＜0時在相同的時間內只有6個波表明頻率隨振幅的減小而減小。

多值響應和跳躍諧振

這種非線性現象出現在一類非線性系統的強迫振盪中。一個典型例子是在如圖1的系統的重物上加形式為 Pcosωt 的外力時所激發的強迫振盪。實驗時，讓外力作用函式的振幅P保持常值，緩慢地改變頻率ω，觀察重物作強迫振盪時的振幅X。反映多值響應和跳躍諧振的特性曲線如圖3。當頻率增大到某個極限值（如點2）或減小到某個極限值（如點5）時，強迫振盪的振幅X都會產生跳躍現象;而在這兩個極限值所限定的頻率範圍內，對於同一頻率的外作用函式，可能出現兩個在幅值和相位上都不相同的強迫振盪。

分諧波振盪

這種非線性現象只出現在某些非線性系統的穩態振盪中。分諧波振盪被激發後，在一定的頻率範圍內，不管外作用函式的頻率ω如何改變，穩態振盪的頻率始終為ω/n,其中n為某個正整數稱為分諧波振盪的階數。分諧波振盪的產生取決於系統的引數，並且必須在某種衝擊，如突然改變外作用函式的振幅或頻率。

自激振盪

又稱極限環，是非線性系統中一類很重要的和得到廣泛研究的非線性現象（見相平面法）。

頻率捕捉

這種非線性現象可能在出現極限環的一些非線性系統中觀察到。對一個能出現頻率為ω0的極限環的系統,加上一個頻率為ω的週期性外作用,改變（增大或減小）ω的數值使兩者的差值減小。從實驗中發現，在差值達到某個極限值後，極限環的頻率ω0和外作用頻率ω取得同步，亦即ω0為ω所捕捉。發生捕捉現象的頻帶區稱為捕捉區。表示頻率捕捉現象的特性曲線如圖4,橫座標上的區間Δω為捕捉區。

非同步抑制

又稱訊號穩定。其機制是，採用使系統處於頻率為ω1的強迫振盪狀態，來抑制和避免系統中可能出現的頻率為 ω0的極限環振盪。這裡兩個頻率ω1和ω0是互不相關的。

分岔

在很多實際系統中都能見到的，運動穩態點會隨著系統引數變動到臨界值而不斷髮生分岔的一種非線性現象（見分岔理論）。

混沌

1963年氣象學家E.N.洛倫茨在研究天氣預報問題的大氣對流模型的數值實驗中首先發現的一種非線性現象。其特點是某些非線性系統在一定引數範圍內變得對初始條件非常敏感，會導致非週期的、看起來很混亂的輸出。後來，在生態系統等研究中也發現混沌現象。80年代以來，關於混沌的研究已成為一個非常活躍的領域，得到了一些嚴格的數學結果，但更多的是計算機實驗，真正的物理實驗也在日益增多。

主要分析方法

對於非線性系統尚未建立起象線性系統的分析那樣成熟和系統的一套方法，在應用上比較有效的主要方法有四種。

等效線性化方法

主要用於分析非線性程度較低的非線性系統。其實質是把非線性問題近似地加以線性化，然後去解決已線性化的問題。描述函式法、分段線性化法、小引數法等都屬於這種方法。

直接分析方法

建立在直接處理系統的實際的或簡化後的非線性微分方程基礎上的分析方法，不管非線性程度的高低都可適用。相平面法、李雅普諾夫第二方法（見李雅普諾夫穩定性理論）等都屬於這種方法。

雙線性系統理論

對於雙線性系統這一特殊型別非線性系統建立的分析和綜合方法。

流形上的控制理論

這一理論的發展始於70年代初期，它是以微分幾何為主要數學工具的一種分析方法。流形上的控制理論為非線性系統的研究提供了一條新的途徑，可用以研究非線性系統的某些全域性和區域性性質。

發展趨勢

60年代以來，非線性系統理論的發展進入了一個新階段。對分岔現象和混沌現象的研究已成為非線性系統理論中很受重視的一個方向。突變理論、耗散結構理論和協同學這些也以非線性系統為研究物件的新興學科相繼出現，它們的方法和結果將對非線性系統理論乃至整個系統科學產生重要影響。此外，隨著微分幾何方法（特別是微分流形理論）引入於非線性系統的研究並得到了某些有意義的結果，非線性泛函分析、奇異攝動方法和大範圍分析等現代數學分支也已開始用於非線性系統理論的研究。

參考書目

W.J.Cunningham， Introduction to Nonlinear Analysis,McGraw-Hill,New York,1958.

M.Vidyosagar， Nonlinear Systems Analysis，Prentice-Hall Inc.,Englewood Cliffs,N.J.,1978.