電化學

[拼音]：erci quxian

[英文]：curve of second degree

也稱圓錐曲線或圓錐截線，是直圓錐面的兩腔被一平面所截而得的曲線。當截面不通過錐面的頂點時，曲線可能是圓、橢圓、雙曲線、拋物線。當截面通過錐面的頂點時，曲線退縮成一點、一直線或二相交直線。在截面上的直角座標系(x，y)之下，這些曲線的方程是x，y的二元二次方程：

。若截面不通過錐面的頂點，令截面與錐面軸線所成的角為θ，錐面的半頂角為α，則當

時，所截曲線為圓；當

時，截面與錐面的所有母線都相交，所截曲線為橢圓；當θ=α時，截面與錐面的一條母線平行，所截曲線為拋物線；當0≤θ<α時，截面與錐面的兩條母線平行，所截曲線為雙曲線。

焦點與準線

如果圓錐曲線不是圓，則在圓錐曲線所在的平面上存在一定點和一定直線，使得圓錐曲線上任何一點到該定點和定直線的距離之比為常數，這個定點稱為圓錐曲線的焦點，定直線稱為圓錐曲線的準線。為了得到焦點與準線，只需作一個球面內切於圓錐面並同時與圓錐曲線所在的平面σ相切。設球面與平面σ相切於點F，球面與圓錐面相切於一個圓，這個圓所在的平面為ω，ω 與σ相交於直線l，則點F，就是焦點，直線l就是準線（圖1）。

這時，圓錐曲線上任意一點P 到焦點F的距離｜PF｜與到準線l的距離｜PD｜之比為：

。其中θ，α都與P在曲線上的位置無關，所以是常數。這個常數稱為圓錐曲線的離心率，記為e。當截線是橢圓時，e<1；當截線是雙曲線時，e>1；當截線是拋物線時，e=1。對於橢圓或雙曲線，存在兩個合於以上要求的球面，因此橢圓或雙曲線都有兩個焦點與兩條準線。每個焦點與其相應的準線都有上述性質。拋物線只有一個焦點與一條準線。若橢圓的兩個焦點為F1，F2。如圖2所示的球面與圓錐面相切的圓為C1，C2。這時對於橢圓上任意一點P，令通過P的母線OP（O為圓錐面的頂點）與C1、C2的交點分別為A、B。則P到F1的距離｜PF1｜與P到F2的距離｜PF2｜之和為｜PF1｜+｜PF2｜=｜PA｜+｜PB｜=｜AB｜。這裡｜AB｜是常數，它與點P在橢圓上的位置無關。這說明了橢圓焦點的一個重要性質，即橢圓上任何一點到兩個焦點的距離之和為常數。類似地，關於雙曲線的焦點有性質：雙曲線上任何一點到兩個焦點距離之差的絕對值為常數。

圓錐曲線的定義

可以根據圓錐曲線的上述焦點、準線性質給出圓錐曲線的定義。三種圓錐曲線的統一定義是：在平面內，設動點到一定點F（稱為焦點）與一定直線l（稱為準線）的距離之比等於常數，根據此常數小於1、大於1或等於1，此動點的軌跡分別稱為橢圓、雙曲線或拋物線。如果分別定義，則為：在平面內，設動點到二定點（稱為焦點）的距離之和等於常數，則此動點的軌跡稱為橢圓；若動點到二定點（稱為焦點）的距離之差的絕對值等於常數，則此動點的軌跡稱為雙曲線。拋物線仍定義為到一定點與一定直線距離相等的動點的軌跡。

以上圓錐曲線的兩種定義是等價的。

圓錐曲線的方程

為了得到圓錐曲線的方程，必須選取適當的座標系。通過圓錐面的軸並垂直於準線的平面與圓錐曲線所在平面相交於圓錐曲線的軸。圓錐曲線關於它的軸是對稱的。從上面的考慮可知，橢圓和雙曲線還必須關於二焦點連線F1F2的垂直平分線對稱。這條垂直平分線與圓錐曲線的軸的交點就是圓錐曲線的中心C。因此對橢圓或雙曲線而言，適當的座標系是把圓錐曲線的軸作為x軸，而過中心C的垂線作為y軸的直角座標系。還可以x軸同上面一樣，而y軸是過一個頂點（軸與曲線的交點）的切線。還可以取圓錐曲線的軸作為極軸的零方向，而一個焦點作為極點的極座標系（見座標系），則對於三種圓錐曲線都是適合的。對於雙曲線而言，還可以形成一個很自然的斜角座標系，這個座標系的軸就是相交於中心的兩條漸近線。

拋物線方程

取x軸為拋物線的軸，

而y軸為過頂點的切線（圖3），令拋物線的焦點與準線的距離為p（稱為拋物線的半引數），則得到拋物線的頂點型方程

。

這時拋物線的焦點是

準線是

。

方程

，

（其中p>0）也都表示拋物線。

橢圓方程

取x軸與橢圓的軸一致，而y軸與兩個頂點之間線段V1V2的垂直平分線一致(圖4

)。y軸與橢圓相交於稱為第二對頂點的兩點W1與W2。長度|V1V2|=2α叫做長軸，長度｜W1W2｜=2b叫做短軸；則得到橢圓的中心型方程

。這時橢圓的焦點是F1(X，0)，F2(-X，0)，其中

，準線是

，

，離心率

。方程

(α>b)也表示橢圓。

雙曲線方程

與橢圓類似地建立座標系，可以得到雙曲線的中心型方程

。雙曲線沒有短半軸，且只有兩個頂點V1，V2（圖5

）。長度|V1V2|=2α叫做實軸。由於兩個焦點之間的距離大於兩個頂點間的距離，所以存在由

給出的正數b。2b叫做虛軸。雙曲線的焦點是F1(X，0)，F2(-X，0)。準線是

，

，離心率

。

數b的意義可以從下面整理過的方程中看出：

。

當x→

時，這個表示式的極限值是

，以這兩極限值作為斜率的兩條直線

就是雙曲線的漸近線。只考慮第一象限的情況，從漸近線上的一點(ξ，η)，其中ξ>α，向x軸作一垂線，它與雙曲線相交於點P(x，y)。由於ξ=x，並且從

與

有y<η。由於從雙曲線方程可以得出

，在x→

時，

，所以

，或者當x→

時，

。由此得知x越大，則差 η-y越小。當x→

時，雙曲線任意地接近直線

。這條直線就是雙曲線的漸近線。從直角邊為α和b及斜邊為X的直角三角形可以求得它對x軸的傾角。如果把雙曲線的兩條漸近線作為座標軸，則雙曲線的方程是

常數。形如xy＝常數(≠0)的任何函式都表示雙曲線。與橢圓的情況類似，方程

也表示雙曲線。

方程的一般形式

通過以上圓錐曲線方程的建立，得知任何一種圓錐曲線（拋物線、橢圓、雙曲線）關於直角座標系的方程都是二元二次方程，因此圓錐曲線可以稱為二次曲線。這一結論對於仿射座標系也是成立的。反過來要說明二次曲線的各種可能情況，則需對一般二元二次方程進行討論。兩個變數x和y的一般二次方程的形式是

，

式中α，b，с，d，e，ƒ是任意實數而且α，b，с不全是零。這個方程在直角座標系裡定義了一條曲線。可以用座標變換的方法化簡方程，從而認識這個方程所表示的曲線。化簡的步驟是:首先通過座標系的旋轉消去混乘項 (xy項)，旋轉角θ的選取應滿足

，這時方程化為形式：

。這意味著圓錐曲線的軸與座標軸平行了。然後再通過座標系的平移繼續進行化簡，平移公式是x′＝x″+ξ，y┡＝y″+η（其中ξ和η 是常數）。這時方程化為形式：

，對於這個方程可以分為兩種情況討論：

（1）如果A≠0且C≠0，選取

，

，則方程變為:

。當N>0時，此方程所表示的曲線可能是橢圓，可能不存在實曲線，可能是雙曲線。當N=0時，此方程所表示的曲線可能是一個點，可能是一對相交直線。當N<0時，可得到與N>0時相同的曲線。

（2）如果AC=0，有三種可能性：當 A=0，C≠0時，若D≠0，選取ξ，η使得Cη+K=0，Cη2+2Dξ+2Kη+F=0，則方程變為

，曲線是一拋物線。若D=0，方程是關於y″的二次方程，因此表示一對平行直線。當A≠0，C=0時，得到與A=0，C≠0時相同的曲線。當A=C=0時，若D與K不全是零，方程表示一直線。若D=K=0，則F也是零。綜上所述，一般二元二次方程所表示的曲線可以是空集、一點、一條或兩條直線，可以是圓錐曲線。對於方程αx2+2bxy+Xy2+2dx+2ey+ƒ=0，設

。

I2稱為這個二次曲線的判別式。當I2≠0，I3≠0時，如果這個曲線不是空集，則為有心圓錐曲線。如果I2>0則為橢圓或空集。如果I2<0則為雙曲線。當 I2=0，I3≠0時這個曲線為拋物線。當I3=0，I2>0時，曲線是一點；當I3=0，I2<0時，是兩條相交直線;當I3=I2=0時，是空集、一條直線或兩條平行直線。

除座標變換法以外，還可以利用二次曲線方程αx2+2bxy+Xy2+2dx+2ey+ƒ =0係數的一些函式來描述二次曲線。經過座標變換後，方程的係數有所改變，但這些函式的值不變，這些函式稱為二次曲線的不變數。用到的不變數有：

其中K1只當I2=I3=0時才是不變的，稱為半不變數。利用不變數可以確定二次曲線的形狀，但不能確定曲線在平面裡的位置。而通過座標變換，根據新座標系相對於舊座標系的位置可以確定二次曲線的位置。關於二次曲線的標準方程，可以通過座標變換得到，也可以通過上述不變數而得到。

圓錐曲線的其他型別方程

對圓錐曲線還可以建立其他型別的方程，並可以從中看到幾種圓錐曲線之間的聯絡。

頂點型方程

首先定義圓錐曲線的引數。圓錐曲線的引數指的是通過焦點且垂直於主軸的弦長，根據這個定義，計算得拋物線y2=2px的引數為2p，橢圓

的引數為

。雙曲線

的引數為

橢圓或雙曲線的引數也可以記為2p，即對上述橢圓或雙曲線，

。

y2=2px就是拋物線的頂點型方程。對於橢圓或雙曲線，根據其中心型方程，進行適當的座標變換，再引用離心率e，就得圓錐曲線的一個公共頂點型方程y2＝2px-(1－e2)x2。對於橢圓

，0

；對於拋物線e=1。應該注意，圓的頂點型方程也包括在這個方程之內，令p=r與e=0，則得到y2=2rx-x2這正是圓的方程。

極座標方程

太陽系行星的運動或人造地球衛星的運動都是圍繞一個引力中心（太陽或地球）的橢圓運動，對於這類運動，最自然並且最常用的座標系是：以引力中心為極點，以執行平面上某一固定方向為極軸方向的極座標系。在各種圓錐曲線裡，取焦點為極點，取該焦點到與其相應的準線的方向為極軸方向，則可得到在極座標系中所有圓錐曲線的相同形式的方程