蕨藻屬

[拼音]：youxiancha yansuan

[英文]：calculus of finite difference

運用符號運算元及其運算規則處理插值、級數求和以及差分方程求解等問題的形式演算方法，也可稱為離散微積分學或有限差分學。

運用差分運算的思想出現很早，6世紀，中國隋朝的天文學家劉焯(544～610)就已能運用二階差分，並在解決日、月不均勻運動問題中，提出了等距二次內插公式。有限差的演算方法在B.泰勒的《增量方法》（1717）中已經出現。但其真正奠基人是J.斯特林，他在《微分方法》(1730)中解決了大量有限差演算的問題，包括級數求和等問題。有限差演算的第一部論著是L.尤拉的《微分演算教程》(1755)，他第一個引進差分運算元Δ 。

有限差演算在數值分析、概率統計、運籌學以及電網路、編碼、計算機軟體等應用科學中廣泛地被應用。

函式的差分

設h為一正的常數，則實變數函式ƒ(x)的增量ƒ(x+h)-ƒ(x)定義為ƒ(x)在x處的一階差分，h為步長，記為 Δƒ(x)=ƒ(x+h)-ƒ(x)。一階差分Δƒ(x)也是x的函式，故它的增量Δƒ(x+h)-Δƒ(x)可定義為ƒ(x)在x處的二階差分，記為Δ2ƒ(x)=Δ(Δƒ(x))=Δƒ(x+h)-Δƒ(x)，類似地，可以定義ƒ(x)在x處的n階差分為

，

式中n為自然數， Δ0ƒ(x)=ƒ(x)。上述定義中運算元Δ稱為向前差分運算元，簡稱差分運算元，在實際應用中，對函式ƒ(x)只要求定義在等距離散點列{xk}(k=0，±1，±2，…)上即可。

差分運算元 Δ 具有以下的性質：

（1）常數的差分為零，即ΔC＝0，其中C為常數；

（2）差分運算元是線性運算元，即

其中C1，C2為常數；

（3）若r，s是非負整數，則

＝

或記為

④若ƒ(x)是n次多項式，則Δkƒ(x)(0≤k≤n)是n－k次多項式，並且當k>n時，Δkƒ(x)＝0；

（5）乘積的差分滿足關係式Δ(ƒ(x)·g(x))=ƒ(x)Δg(x)+g(x+h)Δƒ(x)。

幾種常用運算元及其相互關係

不變運算元I 作用於函式ƒ(x)時有Iƒ(x)=ƒ(x)。

移位運算元E 表示把函式的自變數加上一個步長 h，即Eƒ(x)=ƒ(x+h)，一般的情形，如果t為任一實數， 則Etƒ(x)＝ƒ(x+th)，當t=0時，E 0ƒ(x)=ƒ(x)，亦即E 0＝I。由E的定義可得

因此，移位運算元墻與差分運算元Δ有關係式

，

微分運算元D作用於函式ƒ(x)時有Dƒ(x)=ƒ┡(x)，按照形式演算的觀點，由泰勒展開式及上述符號運算元的定義，有等式

因此，移位運算元E與微分運算元D有關係式

向後差分運算元墷

中心差分運算元δ

平均運算元μ

由符號運算元的定義及形式冪級數展開，還可以得到如下的關係式：

符號運算元的演算例項

利用前述的符號運算元間的關係以及這些運算元的形式冪級數展開進行形式上的演算，可以推演出許多基本公式，特別在推導插值公式、數值微分公式、數值積分公式中很有用，下面列舉幾個重要的例項。

（1）由於

故

將這個等式兩邊的運算元分別作用於ƒ(0)，得到

這就是高階差分公式。

（2）已知E=I+Δ，設t為實數，則有

將此作用於ƒ(x)，得到

這就是牛頓插值公式。

（3）由於

故有

同理可得

它們分別稱為格雷果裡－馬爾可夫第一微分公式與第二微分公式。

（4）為使收斂緩慢的交錯級數加速收斂，通常使用尤拉變換。這個十分有用的級數變換可以利用符號運算元的形式演算匯出：

利用符號運算元的形式演算還可以推得其他一些公式，例如分部求和公式等。

儘管符號運算元演算規則能夠幫助人們得到許多重要的公式，但它並不指出這些公式成立的條件及有效適用的範圍，運用這些公式作近似計算時，也並不給出餘項（誤差）估計。因此，這種演算的主要意義在於幫助人們去推導和記憶一些有用的結果，但是並不能用它來進行論證。

參考書目

L. M. Milne-Thomson，The calculus of Finite Differences， Macmillan， London， 1951.