海原縣

[拼音]：Kexi jifen dingli

[英文]：Cauchy integral theorem

A.-L. 柯西研究複變函式的積分所得到的基本定理。應用這一定理可匯出解析函式的一系列重要性質。例如，可證明如果一複變函式在一區域內是解析的(即有導數)，則其導數必連續且任意階導數必存在；還可計算一些定積分或反常積分，等等。

復積分定義

設函式ƒ(z)=u+iv在可求長曲線Г上是連續的，其中u和v分別是ƒ(z)的實部和虛部。在Г上依次取分點

。Г上從zk-1到 zk的小段記為Гk，在Гk上任取一點

，作和數

。

如果當

（sk是Гk的弧長）趨於零時，s趨於一極限值，則稱這個極限值為ƒ(z)沿曲線Г的積分，記為

，

即

。

因為

，

所以

當λ→0時，上式右邊的兩個和數分別趨於

與

，

於是有

。

柯西積分定理

設ƒ(z)在有限單連通區域（即“無洞”且不含無窮遠點的區域）D內解析，Г是D內任一條可求長、簡單（即本身不相交）、閉(即兩端點重合)曲線，則

。

柯西定理有一逆定理，即莫雷拉定理，這一定理與柯西積分定理相結合，可敘述為：設ƒ(z)在有限單連通區域D內連續，則ƒ(z)在D內解析的充分必要條件是：對D內任一條可求長簡單閉曲線（或任一三角形）Г，

。

柯西積分公式

由柯西積分定理可匯出柯西積分公式，這一公式把解析函式用曲線積分表示出來。特別，它用解析函式在一閉曲線上的值，表示出它在曲線內側的值。柯西積分公式可表述如下：設ƒ(z)在有限單連通區域D內解析，Г是D內任一條可求長簡單閉曲線，則對Г所圍區域內任一點z，

式中積分是在Г上沿反時針方向取的。

柯西積分公式啟發人們研究柯西型積分。 設函式φ(ξ)在某一可求長簡單閉曲線Г上可積(ξ∈Г)，則由柯西型積分

確定的函式， 當z媂Г時是解析的。對於Г上幾乎所有的點z0，當z從Г的內側及外側沿不與Г相切的曲線分別趨近於z0時，有極限

，

式中

當Г不是閉曲線時，也有類似結果。柯西型積分可應用於研究解析函式的邊界性質、邊值問題及奇異積分方程。

引進同倫及同調概念，可以把柯西積分定理敘述成一般形式。設Г0:z=Г0(s)及Г1:z=Г1(s)(0≤s≤1)是區域D內兩條可求長閉曲線，設存在著在D內取值的連續函式z=G(s，t)(0≤s≤1，0≤t≤1)，使得

G(s，0)= Г0(s)，G(s，1)=Г1(s) (0≤s≤1)；

G(0，t)=G(1，t) (0≤t≤1)，

則稱Г0與Г1在D內同倫。

對於z媂Г0，定義z關於Г0的指標為

。

如果D的餘集中任何點關於Г0及Г1的指標相同，則稱Г0及Г1在D內同調。可以證明，如果Г0及Г1在D內同倫，則它們也在D內同調。柯西積分定理的一般形式是:設ƒ(z)在區域D內解析，Г0和Г1是D內兩條同倫或同調的可求長閉曲線，則

。