馬格尼託哥爾斯克

[拼音]：guangyi nijuzhen

[英文]：generalized inverse matrix

逆矩陣概念的推廣。若

A

為非奇異矩陣，則線性方程組

A

尣=b的解為尣=

A

_1b，其中

A

的逆矩陣

A

_1滿足

A

_1=

A

=I(I為單位矩陣)。若

A

是奇異陣或長方陣，

A

尣=b可能無解或有很多解。若有解，則解為尣=Xb+(I-X

A

)у，其中у是維數與

A

的列數相同的任意向量，X是滿足AXA=

A

的任何一個矩陣，通常稱X為

A

的廣義逆矩陣，用

A

g、

A

_或

A

等符號表示，有時簡稱廣義逆。當

A

非異時，

A

_1也滿足

A

，且

。故非異陣的廣義逆矩陣就是它的逆矩陣，說明廣義逆矩陣確是通常逆矩陣概念的推廣。

1955年R.彭羅斯證明了對每個m×n階矩陣

A

，都存在惟一的n×m階矩陣 X，它滿足：

（1）AXA=

A

；

（2）XAX=X；

（3）(

A

X)*＝

A

X；

（4）(X

A

)*＝X

A

。通常稱X為

A

的穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣，簡稱M-P逆，記作

A

+。當

A

非異時，

A

_1也滿足①～④，因此M-P逆也是通常逆矩陣的推廣。在矛盾線性方程組

A

尣＝b的最小二乘解中，尣＝

A

+b是範數最小的一個解。

若

A

是n階方陣，k為滿足

的最小正整數（rank為矩陣秩的符號），記作k=Ind(

A

)，則存在惟一的n階方陣X，滿足：

(1) AkX

A

k；(2) X

A

X=X； (3) AX=XA。

通常稱X為

A

的德雷津廣義逆矩陣，簡稱D逆，記作Ad，

A

(d)或

A

D等。雖然它和線性代數方程組的解無關，但它線上性差分方程、線性微分方程、最優控制等方面都有應用。例如，設

A

、

B

是n階方陣，齊次差分方程

，如果存在一個數λ，使

存在，則它的一般解為

式中q為任意n維向量；

;

。

根據實際問題需要還定義了其他各種型別的廣義逆矩陣，如網路理論中用到的博特-達芬逆矩陣等。一般說來，它們都具有下列一些性質：當

A

非異時，廣義逆矩陣就是

A

_1；廣義逆矩陣必存在;廣義逆矩陣具有逆矩陣的某些性質(或適當修改後的性質)，如(

A

_1)_1=

A

，(

A

_1)*=(

A

*)_1等等。

廣義逆的思想可追溯到1903年（e.）i.弗雷德霍姆的工作，他討論了關於積分運算元的一種廣義逆（他稱之為偽逆）。1904年，d.希爾伯特在廣義格林函式的討論中，含蓄地提出了微分運算元的廣義逆。而任意矩陣的廣義逆定義最早是由E.H.穆爾在1920年提出的，他以抽象的形式發表在美國數學會會刊上。當時人們對此似乎很少注意。這一概念在以後30年中沒有多大發展。曾遠榮在1933年，F.J.默裡和j.馮·諾伊曼在1936年對希爾伯特空間中線性運算元的廣義逆作過討論。20世紀50年代圍繞著某些廣義逆的最小二乘性質的討論重新引起了人們對這個課題的興趣。1951年瑞典人A.布耶爾哈梅爾重新發現了穆爾所定義的廣義逆，並注意到廣義逆與線性方程組的關係。T.N.E.格雷維爾、C.R.拉奧和其他人也作出了重要的貢獻。1955年，彭羅斯證明了存在惟一的X=