馬克勞林，C.

[拼音]：shuli luoji

[外文]：mathematical logic

又稱符號邏輯、理論邏輯或邏輯斯蒂，數學的一個分支，用數學方法研究的邏輯或形式邏輯。由D.希爾伯特與W.阿克曼合著的20世紀第一本著名的數理邏輯讀本稱數理邏輯為理論邏輯。所謂數學方法就是指數學採用的一般方法，包括使用符號和公式，使用已有的數學成果和方法，特別是使用形式的公理方法（見歐幾里得幾何學）；形式的公理方法也稱為邏輯斯蒂方法。由於數理邏輯的學科性質，它自然地成為一門數學，即邏輯底數學。用數學方法研究邏輯的系統的思想一般溯源到G.W.萊布尼茨，萌芽於古希臘的亞里士多德。萊布尼茨的數理邏輯思想是研究了在其前的經典邏輯的傳統（包括亞里士多德和中世紀的傳統邏輯）而形成的。萊布尼茨認為經典的傳統邏輯必須改造和發展，使之更為精確和便於演算。數理邏輯是經一些數理邏輯的先驅者沿著萊布尼茨的思想進行了實質性的工作，而逐步完善和發展起來的。在20世紀裡，數理邏輯的內容，從狹義到較廣義、最廣義大致形成三個層次。

（1）最狹義的數理邏輯通常稱為狹謂詞邏輯或經典謂詞邏輯。這是對從亞里士多德三段論式理論演變產生的傳統邏輯的嚴格化和必要的推廣。這一部分在數理邏輯中是最基礎的部分，也是傳統演繹邏輯的基本內容的精密化、精確化和完善化。它是演繹邏輯的基礎，也是數學在證明定理時所用的最基本的邏輯推理規律。

（2）較廣義的數理邏輯20世紀，由於數學奠基問題的研究而形成了四個數理邏輯分支，即模型論、公理集合論、遞迴論和證明論，簡稱四論。這四論構成現代數理邏輯的主要內容，這樣的數理邏輯就是數學底邏輯，即數學邏輯。

（3）最廣義的數理邏輯除了上述那些內容還包括歸納邏輯、包含可能、必然等模態詞的模態邏輯、內含邏輯、多值邏輯、包含時間因素的時態邏輯等等。它仍然是用數學方法研究的邏輯。

從較狹義到最廣義的數理邏輯的劃分，主要是對“邏輯”一詞，特別是對“形式邏輯”一詞的理解的由狹到廣的衍化。當然，由狹到廣的這種分層是不嚴格的。

狹謂詞邏輯

即經典謂詞邏輯，亦即一階謂詞邏輯（簡稱一階邏輯）。它是研究演繹推理的邏輯，是數理邏輯的基礎部分。

狹謂詞邏輯是形式邏輯。這種邏輯研究的是命題間的“形式”的推理規律。比如有以下三個表示式：

任何x，如果x是S 則x是p

（x是S 蘊涵x是p）。 (1)

α不是p（或非α是p）。 (2)

α不是S（或非α是S）。 (3)

任何三個命題，只要其中兩個有(1)、(2)形式，那麼，有(3)形式的命題一定能從前兩個推出。 這種推導關係與命題的內容無關，僅決定於這種表示式之間的形式關係。由(1)、(2)可以推出(3)，把(1)、(2)、(3)寫作：

式中“S(x)”表示“x是S”；“p(x)”表示“x是p”；“凬”表示“屈a href='http://www.baiven.com/baike/224/280147.html' target='_blank' >魏巍保弧皦”表示“非”；由之“塡p(α)”表示“非p(α)”(即“非α是p”亦即“α不是p”等等)。這樣，(1┡)、(2┡)、(3┡)就表示相應的 (1)、(2)、(3)。由(1)、(2)推出(3)就表作由 (1┡)、(2┡)推出(3┡)。把(1┡)、(2┡)與(3┡)的這種關係寫作：

。 (4)

式中的“喩”表示推出。（4）可以讀作：從凬x[S(x)→p(x)]，塡p(α)可(演繹地)推出塡S(α)。(4)表示：在一定的討論範圍（論域）裡，不論“S”、“p”表示什麼屬性，“α”表示什麼個體，如果凬x[S(x)→p(x)]和塡p(α)都是真的，則塡S(α)也一定是真的。

在(4)中使用了凬、塡、→三個符號。它們可以順序地讀作“任何”（或“凡”），“非”，“蘊涵”（或“如果…則…”），這三個符號順序地稱為“全稱量詞”，“否定詞”，“蘊涵詞”。還要使用＝、彐、∧、∨、凮五個符號，它們可順序地讀作“等於”、“有”、“並且”（或“且”、“與”）、“或”、“當且僅當”；它們順序地稱為“等詞”(或“等號”)、“存在量詞”、“合取詞”、“析取詞”、“等值詞”(或“等價詞”)。這八個符號統稱為邏輯常項。否定詞、蘊涵詞、合取詞、析取詞和等價詞都是命題（或語句）連線詞。有了等號，譬如可以表示

那樣的推理關係。還可以把"α≠b)"看作是“塡(α=b))”的簡寫，由之有

。

(4)中的S與p稱為“一元謂詞”，還可以有二元謂詞，三元謂詞，以及 n元謂詞等等。設 Q是一個二元謂詞，則Q(x，y)表示x與y之間有Q關係。比如，Q(x，y)可以表示“x

有了這些符號，可以用含有這些符號的公式（記成φ，φ1，φ2，…，φn，…）來表達命題的較為複雜的邏輯形式和命題間的邏輯關係。譬如令

則以下的推理關係是必然成立的：

。 (5)

如上面(4)，(5)那樣前提與結論之間的推理關係，在一階邏輯中可以一般地寫作

。 (6)

以大寫的希臘字母 φ（或別的大寫希臘字母）表示推理的（形式）前提。前提是若干個公式，若

則(6)就表示

即表示從φ1，φ2，…，φn可以形式地推出φ。一階邏輯也就可以說就是研究如(6)那樣的φ與φ之間的喩關係的。如果把φ固定下來，看看哪些φ對於(6)是成立的，這裡的φ中包含的非邏輯符號限於在φ中出現的。這樣，φ稱為一個（形式的）公理系統，其中的非邏輯符號表示公理系統的原始概念，φ是公理系統φ的一個（形式的）定理。這裡需要特別說明的是：(6)中對於 φ與φ之間是否存在著喩這一關係是完全由 φ與φ的語法(syntax)所決定的。這就是說，僅僅地由於φ與φ具有怎樣的符號排列的形式結構所確定，而與φ，φ的解釋無關。φ中的公式和φ稱為“語句”，對於給定的φ與φ，要確定(6)這關係成立，需要給出(6)成立的規則。比如可以有以下的規則：

(7)

(8)

等等。像(6)那樣的關係的形式系統（符號、公式和規則系統）稱為邏輯演算。數理邏輯是通過邏輯演算來研究命題間的前提與結論之間的邏輯關係的。研究的直接物件是邏輯演算。因之，謂詞邏輯往往就稱為謂詞演算。通過邏輯演算來研究邏輯就是前面所說的形式的公理方法或邏輯斯蒂方法。

通過邏輯演算來做研究是否真的研究了演繹邏輯？演繹邏輯的規律是否可以這樣完全妥當地被刻畫？K.哥德爾於1930年證明了：一階邏輯演算是完全地刻畫了演繹邏輯。這就是著名的完備性定理。

設有一個討論問題的範圍，稱為論域。譬如討論的是關於人的問題，即以人類為論域；討論自然數時即以自然數集為論域等等。給定一個語句集φ，就決定了一個（一階）語言L。這語言是僅僅由φ中的非邏輯符號(謂詞、函式詞和個體詞)和邏輯符號構成語句， φ也是這樣一個語句。定義φ與它的語言L中的語句φ之間的另外一個關係，記作

。 (9)

φ 的語言L的非邏輯符號可以在任一不空論域中作各種許可的解釋，使每一個L中的語句都被解釋為真或假的命題。(9)是說:對φ 中的所有語句在任意不空論域中作任意許可的解釋時都為真，則φ也隨之必然解釋為真。(9)中的喺與(6)中的喩不同。可以讀(6)為“由形式前提φ形式地推匯出形式結論φ”，喩 關係是與解釋和真假無關的；(9)可以讀如“前提φ 有後承φ”，喺關係是與解釋和真假有關的。哥德爾完備性定理肯定：

。

哥德爾完備性定理的現代形式是 φ 喺φ當且僅當φ 喩φ，這是由L.亨金於1949年整理重新證明的。哥德爾定理說明了用邏輯斯蒂方法來處理形式邏輯是妥當的，具有完備性。即喩確定嚴格地表達了喺。這定理是形式邏輯發展史中的里程碑；為模型論的建立準備了條件，定理本身就是模型論的一項重大成果。

形式邏輯的規律是一切理性思維所必須共同遵守的客觀的思維邏輯的規律，不是語言的規律，既不是自然語言的規律，也不是形式語言的規律。不同的數理邏輯學者往往採用不同的符號系統、不同的形式語言，不同國籍的學者還使用不同的自然語言，但所表達的邏輯規律卻是共同的。用語言來表達思維的規律時，邏輯學者總是避免不要由於語言含混而表達不確切，失去科學性。數理邏輯採用形式語言，無非是為了確切性，不是要表達與傳統邏輯不同的邏輯規律。傳統邏輯的不足是需要給以補充的，一階邏輯對傳統邏輯作了補充。

在邏輯演算中，一種語句稱為恆真語句（或普遍有效語句）的，引起邏輯學者特殊重視。這樣的語句φ就是對任何語句集φ，φ喩φ是恆成立的。這一點等價於說：當φ空時，φ喩φ成立，此時記作喩φ，藉以表示，φ的成立不需要前提。邏輯學者往往稱恆真語句為(形式)邏輯規律。恆真語句的重要性在於，(6)成立的充分必要條件是，在φ中必然存在著有窮個語句φ1，φ2，…，φn使得

(10)

(11)

成立。(10)和(11)包括

喩φ這一情況，即n=0。不論(11)中的n是不是0，喩右方的語句總是恆真的。恆真語句的例子如φ→φ，

之類。(6)與(11)的上述關係既說明了喩和→之間的關係又說明了它們的區別。

數學底邏輯

主要指較為廣義的數理邏輯，也就是數學基礎研究形成的模型論、公理集合論、證明論和遞迴論四個數理邏輯分支。

模型論

研究形式語言和對它的解釋之間的關係的理論。對於一個如上述的邏輯演算中的語句集φ 決定了一個語言L，給出一個解釋

M

，就是L的模型。這就是說，模型論就是研究

M

與L間關係的理論。當建立φ時，用了一個語言L，可以有許多不同的解釋，有許多不同的模型。但是為了研究一定的數學結構而建立一個語言L和語句集φ 時是有預定的解釋

M

的，即目的是為了研究數學結構

M

。可以從兩方面考慮問題：一方面，從已有的數學結構出發，研究這種結構，研究中會需要把數學結構當作語言的預定模型進入模型論的研究。這種研究是出於對數學結構的代數性質的理解。另一方面，從形式語言L出發（不論L及其特定的語句集φ 是怎樣得到的）研究L與它的模型之間的關係；當然，研究中可以使用各種數學工具。這種研究是出於數學基礎研究的需要和目的。前一方面的考慮是泛代數性質的，後一方面的考慮是模型論性質的。模型論與泛代數的範圍（外延）是很難劃分清楚的，而傾向和目的則可以是不同的。1898年出版了第一本由A.N.懷特海所著的泛代數專著。A.塔爾斯基1931年發表《形式語言中真底概念》一文，模型論的發展才有了基礎。哥德爾1930年發表的完備性定理是模型論性質的結果。在此之前還有其他相當重要的模型論性質的結果。但是作為數學邏輯的一個方向的模型論，仍推由塔爾斯基的工作肇始，而由A.魯賓孫等學者的貢獻得於20世紀50年代形成。

公理集合論

如果在研究模型論時關心的預定模型是集合論，那就進入了公理集合論的範圍。不能把公理集合論看作模型論的一個分支。各門數學中的概念、定義、定理和證明都可以用集合論語言來表達。這就是說，各門數學都可以（在一定意義下）還原到集合論。所以，奠定數學基礎就成為奠定集合論基礎，歸結成為公理集合論的研究。公理集合論對於數學基礎有其特殊意義。哥德爾1940年發表他的講演錄《選擇公理和廣義連續統假設對集論公理的一致性》中證明了，如果集論公理是無矛盾的(即協調的或一致的、相容的)，那麼加上選擇公理和康託的廣義連續統假設(即對任何序數

)也是無矛盾的。P.J.科恩於1963～1966年發表集論公理獨立性的一些論文（參見他1966年出版的《集合論與連續統假設》一書），證明了（廣義）連續統假設和選擇公理的獨立性，即：如果集論公理無矛盾，那麼加上連續統假設（選擇公理），或加上其否定都不矛盾。這些成果已為數學界所公認。但是數學基礎學者各根據自己的數學觀可以對此見仁見智，各有不同，有所爭議。數學基礎問題有待於公理集合論的進一步研究。

證明論

如果一個形式系統φ 對於L中的任何語句φ，不能同時

(12)

(13)

都成立，就說φ 是無矛盾的。證明論原來就是研究數學無矛盾性問題的。它是按希爾伯特計劃的思想進行的數學基礎研究，形成了數理邏輯的一個分支。現在則應當說，證明論是以數學證明為研究物件的數學。由於哥德爾1931年發表了不完備性定理，證明論的研究和原來不同了。哥德爾定理說，一個數學理論，只要包含著自然數的理論（如集合論），那麼這理論的形式的公理系統φ 一定是不完備的，即一定找得出一個φ，使(12)、(13)都不成立。哥德爾的（第二）不完備性定理還說，如果φ 是一致的，那麼，這一致性不可能在φ 中證出，必須在一個比φ 更強的系統裡才能證明。這就使證明論的內容發生了變化，整個數理邏輯都受到相當大的影響。哥德爾能夠證明他的定理，是由於他在J.埃爾布朗工作的基礎上看清楚了證明與計算的關係，運用了遞迴論的技巧。

遞迴論

也稱演算法論，是研究演算法、可計算性、不可計算性的數學。演算法與數學有著同樣長的歷史。遞迴論研究的是演算法的一般規律，研究數學的問題類是否存在著演算法解。一類問題存在著演算法解就是這類問題都是可解決的；一類問題不存在著演算法解，就是這類問題不都是可解決的。研究問題類的可解決性和不可解決性就是數理邏輯中的判定問題，這是關係到全部數理邏輯的問題。遞迴論的研究開始於對自然數的遞迴(可計算)函式的研究，自然就推廣到公式、序數（全部序數或某一序數α≥ω）和集合等各種數學結構的遞迴函式的研究。集合論中“可構成集”和“力迫法”概念是廣義的遞迴論的概念。遞迴論與構造性數學不可分，是構造性數學的理論基礎。

如上所述四論的內容都可以看作是一階邏輯的延伸，因為它們都可以在一階邏輯的範圍裡討論。一階邏輯是最基本的邏輯，在一階邏輯的基礎上討論的四論也是四論中最基本的部分。高於一階的高階邏輯也有它的重要性。

一階邏輯演算中的謂詞、函式詞稱為一階謂詞、一階函式詞，變元符號都是個體變元符號。如果有一階謂詞的變元符號，而且許可用量詞（即凬，彐）來約束，這樣就由一階邏輯演算擴充為二階邏輯演算了。比如 x是一個一元的謂詞變元符號，在二階邏輯演算裡有這樣的語句

(14)

這是一個二階邏輯演算中的語句，可以用（14）來定義“α=b)”。即

是二階邏輯演算中的恆真語句。在二階邏輯中還許可有二階的謂詞。比如D是一個二元的二階謂詞，寫出一個包含D的公式如

(15)

這是一個二階邏輯的語句。(15)中的Y，Z 都是(二元的)一階的謂詞變元符號，表示D 是兩個二元謂詞之間的一種包含關係。如Y表示<，Z表示≤，則D表示＜包含於≤之中。在二階邏輯中可以有像D這樣的謂詞，但不許可有對應於D 的二階的謂詞變元符號；如果許可用二階的謂詞變元符號，並許可用量詞來約束，就進入三階邏輯範圍了。對於任何正整數n，可以有n階邏輯。一般講的高階邏輯，就是講包括所有n階邏輯的高階邏輯。

由於集合論公理的使用和哥德爾完備性定理的證明，高階邏輯的數學基礎意義也隨之而變。哥德爾在1936年發表了一篇短文《論證明長度》中說:由n階邏輯過渡到n+1階邏輯，不但可以證明原來在n階邏輯中不能證出的定理，而且存在著無窮多的在 n階邏輯中本來可證的定理證明的長度極大地縮短。這就說明了，高階邏輯對於證明論、遞迴論(特別是計算複雜性)、公理集合論和一階邏輯中的證明的研究都是很有意義的。哥德爾在1936年指出的方向的研究，開展得很不夠。

最廣義的數理邏輯

最廣義的數理邏輯應當包括哪些內容是難於作系統概括的。下面是20世紀內出現的、難於歸入前述的一些研究方向。

多值邏輯可以看作超出古典邏輯侷限的一個研究方向。在古典邏輯中，命題只可能有真或假兩“值”，經典邏輯是二值邏輯。現代多值邏輯研究多於二值的邏輯演算，即三值以至更多值的邏輯演算。作為一種數學研究，有邏輯的意義，也有非邏輯的意義。對於n(≥2)元集上的可能的函式集的研究就是n值邏輯的問題，有各種應用。

模態邏輯是另一方向。在模態邏輯中除了一階邏輯中已講到的命題連線詞，還有“可能”，“必然”，“嚴格蘊涵”幾個連線詞。以“

”表示可能，“塡

”可以讀作“不可能”。這三個連線詞可以如下表示：

模態邏輯中引進嚴格蘊涵詞

，是由於一些邏輯學者對於古典邏輯中的蘊涵詞→（對應於嚴格蘊涵詞，稱→為“真值蘊涵詞”）的一些規律的存疑。但是模態邏輯研究的成果是有意義的，而且在許多方面是有應用的。模態邏輯是數理邏輯中一個很重要的分支。一般邏輯學家往往把模態邏輯歸入內涵邏輯，以區別於經典邏輯為外延邏輯。內涵邏輯是關於意義的邏輯，而外延邏輯只涉及命題的真假值和概念所指的範圍（即外延）。模態邏輯在進入20世紀60年代已發展得很成熟，發展出模態模型論。但是，對於一般的“內涵邏輯”很難作數理邏輯學者公認的刻畫。A.丘奇在1941年時曾討論到對函式概念的“外延”和“內涵”的兩種不同的理解。他說：ƒ、g兩個函式，若它們的定義域相同，當它們的主變元取值相同時函式值也都相同，則認為ƒ與g是同一個函式，這是對“函式”外延地理解；如果取值的規則不同（儘管外延地理解ƒ、g是相同的）就把ƒ與g看作是兩個不同的函式，那麼這就是對函式的內涵地理解了。內涵邏輯是重要的，但如何確切地定義“內涵邏輯”還存在著問題。

以上講到過的邏輯都是演繹邏輯。邏輯學家往往把歸納邏輯與演繹邏輯並列。演繹邏輯是研究演繹推理的邏輯，歸納邏輯是研究歸納推理的邏輯。現代數理邏輯中的歸納邏輯也是通過對形式的邏輯演算中語句間的形式關係來研究的。在現代歸納邏輯中，"確定度"或“確定程度”的概念很基本。確定度可以比作演繹邏輯中的蘊涵詞（經典邏輯中的真值蘊涵詞→，或模態邏輯中的嚴格蘊涵詞

）。在演繹邏輯中有了

、φ兩個語句，可以用蘊涵詞造出新的語句

→φ或

φ。在歸納邏輯中則可以造出

(16)

它可以讀為“對於

而言φ的確定度為r”或“

蘊涵φ的確定度為r”或“如果

則φ的確定度為r”等。 (16)中的 r是0與1之間（0與1也在內）的一個實數。這是對於“確定”的一種度量概念。可以把(16)看作表示這樣一個二元的函式（可稱之為“確定度的函式”）關係：

。

如何定義這個函式，有各種途徑。邏輯學家、科學哲學家R.卡納普於1950年出版的《概率的邏輯基礎》一書中提出了建立歸納邏輯的途徑。他用數理邏輯的方法分析了邏輯過程，認為“歸納”和“概率”是相同的。他的論題導向對“歸納”的語義分析和建立嚴格的歸納的數理邏輯。為了研究歸納邏輯，類似於研究演繹邏輯，可以建立各種歸納邏輯演算。歸納邏輯，是在20世紀裡由於數理邏輯和數學基礎理論的建立和發展才開始形成一門科學的邏輯。

可以歸入不是由於數學基礎研究目的的邏輯，或者被認為是邏輯的很多，如時態邏輯、道義邏輯、認識邏輯等等。由於別的學科中涉及“邏輯”問題而形成的“邏輯”也很多，如量子邏輯、計算機邏輯、程式邏輯等等，不能一一列舉。如果承認它們都是邏輯，那也就都是數理邏輯，因為都是用數學工具和方法來研究的。在進入70年代之後，由於科學、技術的發展，在各研究領域中都涉及思維的邏輯規律問題，從各方面要求密集各種知識、澄清各種邏輯問題。數理邏輯及其應用正在很迅速地發展。在這種情況下，最廣義的數理邏輯的體系結構實在難於作出明確的刻畫。但是，從總的發展趨勢看，對於最廣義的數理邏輯來說，數學邏輯的內容是基礎，是數理邏輯發展的重點。

現代數理邏輯的基本特點

關於現代數理邏輯的基本特點，可從數理邏輯與邏輯、數學和電腦科學三個學科領域的關係來簡單地說明。

數理邏輯與邏輯的關係

簡而言之，數理邏輯就是精確化、數學化的形式邏輯。但有人會懷疑數理邏輯裡是否會包括一些不屬於形式邏輯的內容，或者形式邏輯的內容是否全都能包括在數理邏輯裡。譬如，關於亞里士多德的三段論式理論，會有人認為不能如現代數理邏輯學者那樣理解（象希爾伯特與阿克曼在《理論邏輯基礎》一書中就講了亞里士多德的三段論）。對亞里士多德三段論應當怎樣理解，本來在邏輯學者中就有分歧。波蘭著名數理邏輯學家J.武卡謝維奇深入研究了亞里士多德希臘文的邏輯原著、對其原著的註釋和傳統邏輯學者的著作，於1951年出版了一本《亞里士多德的三段論》專著，系統地陳述和討論了亞里士多德邏輯和傳統邏輯問題。亞里士多德的邏輯是經受了許多誤解的，誤解主要產生於邏輯學者把亞里士多德邏輯等同於在亞里士多德之後傳統邏輯著作中所講的三段論式。武卡謝維奇的著作用數理邏輯的方法，澄清了這些問題。至於超出經典邏輯範圍的較廣義的數理邏輯，自不能侷限於亞里士多德邏輯和傳統邏輯的範圍，但是並沒有超出形式邏輯範圍的內容。因為，按對“形式邏輯”的“形式”的嚴格含義，數理邏輯的內容只能都是形式邏輯。形式邏輯發展為數理邏輯，使得形式邏輯有了遠大的發展前景。

數理邏輯與數學的關係

從科學性質看，全部數理邏輯都是邏輯底數學，都是數學。從數學方面看，每一門數學是一個數學結構。對數學結構作系統的考慮時會與數理邏輯發生關係，譬如會涉及構造性與非構造性的關係問題（見數學基礎）。就拿一門數學中的一個尚未解決的數學問題來說，會有難於下手的情況。這時可以研究這問題是否是可解決的，這就成為另一性質的數學問題了，有可能會有了下手之處。有了這種下手之處，結果不外兩種。一種是證明了問題是可解決的，即證明φ與塡φ之一是可證的，雖然還不知道究竟φ還是塡φ可證。這時據數理邏輯已有結果，可以給出φ和塡φ二者之一的證明的機械方法。另一種可能是，證明了在某一公理系統

中，φ與塡φ都不可證。那就導致超出這一問題本身更為深刻的數學問題的研究。譬如希爾伯特第10問題就是一例。數理邏輯提供了數學研究有意義的工具和方法。

數理邏輯與計算機的關係

在萊布尼茨的思想中，數理邏輯、數學與計算機三者出於一個統一的目的，即思維過程的演算化、計算化，以至在計算機上實現。他在計算機發展史上有崇高的地位。他研究了B.帕斯卡的數學與計算機思想，創制了第一臺具有四則運算的計算機，建立了計算機發展中的第二個里程碑。他研製計算機是為了實現他的理想，儘管還遠未實現。在20世紀裡經過數理邏輯學家J.馮·諾伊曼與A.M.圖靈的工作，造出了第一臺程式記憶體的計算機。由於哥德爾等數理邏輯學者的偉大貢獻，在進入70年代之後，計算機科學技術、邏輯、數學都有了較大的發展，萊布尼茨的理想才逐步得到具體的實現。現在，原則上早已清楚，哪些思維過程可以借計算機來實現，哪些不可能；換言之，萊布尼茨理想實現的可能性已經得到相當的澄清：可以由計算機實現哪些思維過程；如何組織好計算機（自動機邏輯問題）；如何提高計算機的效率（軟體問題、計算複雜性問題、計算系統體系結構等問題）；也知道了如何進一步開展有關的研究。這些問題的研究直接關係到計算機工業和軟體產業的發展。這些計算機問題的研究中包含著大量的與數理邏輯有關的研究課題，許多問題本身就屬於數理邏輯。

人類社會正進入資訊化的時代。這個時代的科學技術特點之一是一切科學、技術領域都需要用計算機對資訊進行加工處理，促使科學、技術的數學化。新的時代必將是數學大發展的時代，而數理邏輯在其中將起著很關鍵的作用。

參考書目

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