瑞士

[拼音]：yachun hanshu

[外文]：meromorphic function

在域 G內除了極點之外為全純的函式稱為亞純函式。一般討論整個複平面C和擴充的複平面╦=C∪{∞}的情形。任一有理函式是整個擴充的複平面╦上的亞純函式，它能表為兩個多項式的商，並且只有有限多個極點；反之，任一在 ╦上亞純的函式一定是一有理函式。兩個無公共零點的整函式 g(z)和 g1(z)之商 g(z)/g1(z)是C上的亞純函式，它的極點位置和重數與 g1(z)的零點相同，例如，tanz=sinz/cosz 為一亞純函式。反之，若以亞純函式ƒ(z)的極點作外爾斯特拉斯典型乘積g1(z)，則

ƒ(z)·g1(z)=g(z)

是一整函式，於是ƒ(z)= g (z)/ g1(z)，即每一亞純函式能表為兩個無公共零點的整函式之商。

米塔-列夫勒定理

瑞典數學家G.米塔-列夫勒將有理函式部分分式表示定理推廣於一般亞純函式。每一有理函式能表為部分分式，它將函式的極點和相應的主要部分明顯地指示出來。如設

是有理函式ƒ(z)的極點，其主要部分為

則有一適當的多項式p(z)，使得

反之，總可以構造一有理函式使得它具有預先給定的極點和主要部分。對於一般的亞純函式自然地提出相應的問題，即是否有一個相應的“部分分式”表示，能否和如何構造一亞純函式使得它具有預先給定的極點和相應的主要部分，以及這樣的函式確定到何種程度。後一問題能立即得到回答，即任兩個具有相同極點和主要部分的亞純函式之差為一整函式。但一般亞純函式具有無窮多個極點，而相應的主要部分之和

不一定收斂，因而必須修改這個級數使它收斂而同時又不引進新的奇點，這可以象整函式分解為無窮乘積一樣，對上述級數的每一項加上一個適當的多項式 Pn(z)使得滿足

(2)

來實現，由此得到下面以發現者命名的定理。

米塔－列夫勒定理若給定趨於無窮的點列{zn}和相應的形如(1)的

則必存在一亞純函式

恰以{zn}為極點並以

為其主要部分，其中pn(z)選取為使(2)成立的多項式。

於是具有相同極點和主要部分的最一般的亞純函式為

ƒ(z)=ƒ0(z) +g(z) (3)

式中g(z)為任一整函式。此外，若以任一亞純函式ƒ(z)的極點和其主要部分構造一亞純函式ƒ0(z)，則加上適當的整函式g(z)即得ƒ(z)。換言之，任一亞純函式能表為部分分式。這就完全解決了上面提出的問題。例如，

柯西方法

根據上述定理得到的亞純函式表示式中pn(z)不是惟一確定的，在應用此定理於實際例子時，主要的困難是確定(3)中的整函式g(z)。由於這個原因，柯西曾給出一種分解方法，對相當廣一類亞純函式得到簡單的表示式。

令

為一圓，它不通過任何極點且包含z1，z2，…，zn為其內，又設zn≠0，首先可得

求和是對сm內之極點而作，進一步計算上式積分可得

式中k為某一正整數，pn(z)是

在零點鄰域冪級數展式的首k項之和。假設存在一列сm，其半徑Rm隨m而趨向無窮，且在其上函式滿足

這時(4)式就是柯西給出的亞純函式部分分式表示。

近代亞純函式理論是20世紀20年代由R.奈望林納所創立的（見函式值分佈論）。