基

[拼音]：danye hanshu

[外文]：univalent function

複變函式中一類重要的解析函式。在複平面區域D上單值的解析函式ƒ(z)，若對D中任意的不同的兩點z1、z2有ƒ(z1)≠ƒ(z2)，就稱作是單葉的。由著名的黎曼對映定理知道，任意兩個至少有兩個邊界點的單連通區域D1及D2，一定可以相互共形對映，即存在解析的單葉函式ƒ，將D1一一地對映為D2，所以對單葉函式的研究在複變函式論中顯得很重要。由於單葉對映也是最簡單的對映，所以對它的討論也是複變函式論中最基本的內容之一。

若解析函式ƒ(z)在D中單葉，則ƒ┡(z)≠0在D中成立；反之，ƒ┡(z)≠0在D中成立，不一定能保證ƒ(z)在D中單葉，只能說在一點的一個鄰域內單葉。

最早對單葉函式有重要貢獻的是P.克貝(1909)、L.比伯巴赫(1916)、G.費伯(1916)等。例如，比伯巴赫證明了重要的偏差定理：若 ƒ(z)在｜z｜<1中正則單葉，且ƒ(0)＝0，ƒ┡(0)＝1，則

；等號限於克貝函式

時成立。在證明這些不等式時，比伯巴赫討論了單葉的半純函式

，給出了面積原理：g(

)將│

│>1對映的區域的餘集的面積是非負的，這可寫成

。由此他證明：若ƒ(z)＝z＋

在｜z｜<1中解析單葉，則|α2|≤2。由此可匯出克貝掩蓋定理:｜z｜<1經w =ƒ(z)對映後的像一定掩蓋｜w｜< 1/4的圓；當且僅當ƒ(z)為克貝函式時，正好掩蓋｜w｜< 1/4的圓。再進一步的結果就是偏差定理。對於單葉函式，有很多有趣的幾何性質，如 Γ.М.戈盧津證明了如下回轉定理：若

在｜z｜< 1中正則單葉，則對｜z｜＝r時，有|argƒ┡(z)|≤4sin-1r，當

;

，當

。又如戈盧津證明了n-截線定理:若ƒ(z)=z+

在z<1中正則單葉，w =ƒ(z)將｜z｜<1映為R，則一定存在從w =0出發在R 內的n 條射線，兩條相鄰射線的夾角為2π/n，使得這n條射線的總長至少為n。1916年，比伯巴赫提出了一個猜想:若

在|z|<1中正則單葉，則|αn|≤n對所有n都成立，等號成立限於克貝函式。這個猜想稱為比伯巴赫猜想，它曾經是單葉函式的研究的中心問題。1925年，J.E.李特爾伍德證明了|αn|

。1923年K.勒夫納創造了引數表示法，證明了|α3|≤3。1955年，P.R.加拉貝迪安與M.M.席費爾應用變分法證明了|α4|≤4。1960年Z.恰爾任斯基和席費爾應用格倫斯基不等式簡化了證明。沿用這個方法，1968年，R.N.佩德森和小沢滿各自證明了|α6|≤6。1972年，佩德森和席費爾證明了|α5|≤5。另外可以證明，對於一些特殊函式類，比伯巴赫猜想成立，如星象函式、近似凸函式、實係數函式等。1955年W.K.海曼證明了