孫國華 (1902～1958)

[拼音]：Xi’erbote shuxue wenti

[外文]：Hilbert's mathematical problems

1900年，德國數學家D.希爾伯特在巴黎第二屆國際數學家大會上作了題為《數學問題》的著名講演，其中對各類數學問題的意義、源泉及研究方法發表了精闢的見解，而整個講演的核心部分則是希爾伯特根據19世紀數學研究的成果與發展趨勢而提出的23個問題。

（1）連續統假設1963年，P.J.科恩證明了：連續統假設的真偽不可能在策梅洛－弗倫克爾公理系統內判明。

（2）算術公理的相容性1931年，K.哥德爾的“不完備定理”指出了用希爾伯特“元數學”證明算術公理相容性之不可能。數學相容性問題尚未解決。

（3）兩等高等底的四面體體積之相等 M.W.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。

（4）直線作為兩點間最短距離問題希爾伯特之後，在構造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題並未解決。

（5）不要定義群的函式的可微性假設的李群概念 A.M.格利森、D.蒙哥馬利和L.齊平等於1952年對此問題作出了最後的肯定解答。

（6）物理公理的數學處理 公理化物理學的一般意義仍需探討。至於希爾伯特問題中提到的概率論公理化，已由Α.Η.柯爾莫哥洛夫(1933)等人建立。

（7）某些數的無理性與超越性1934年，A.O.蓋爾豐德和T.施奈德各自獨立地解決了問題的後半部分，即對於任意代數數α≠0，1，和任意代數無理數β證明了αβ的超越性。

（8）素數問題 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數問題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想最佳結果屬於陳景潤(1966)，但離最終解決尚有距離。

（9）任意數域中最一般的互反律之證明 已由高木貞治(1921)和E.阿廷(1927)解決。

（10） 丟番圖方程可解性的判別1970年，ю.Β.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的一般演算法不存在。

 係數為任意代數數的二次型H.哈塞(1929)和C.L.西格爾(1936，1951)在這問題上獲得重要結果。

 阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意代數有理域尚未解決。

 不可能用只有兩個變數的函式解一般的七次方程連續函式情形於1957年由Β.И.阿諾爾德解決。解析函式情形則尚未解決。

 證明某類完全函式系的有限性1958年，永田雅宜給出了否定解決。

 舒伯特計數演算的嚴格基礎代數幾何基礎已由B.L.範·德·瓦爾登(1938～1940)與A.韋伊(1950)建立，但舒伯特演算的合理性仍待解決。

 代數曲線與曲面的拓撲對該問題的後半部分，И.Γ.彼得羅夫斯基曾宣告證明了 n=2時極限環個數不超過 3，但這一結論是錯誤的，已由中國數學家舉出反例(1979)。

 正定形式的平方表示式已由E.阿廷於1926年解決。

 由全等多面體構造空間部分解決。

 正則變分問題的解是否一定解析1904年，С.Η.伯恩斯坦證明了一個變元的解析非線性橢圓方程其解必定解析。該結果後又被推廣到多變元和橢圓組情形。

一般邊值問題 偏微分方程邊值問題的研究正在蓬勃發展。

具有給定單值群的線性微分方程的存在性 已由希爾伯特本人(1905)和H.羅爾(1957)的工作解決。

解析關係的單值化 一個變數的情形已由P.克貝(1907)解決。

變分法的進一步發展。

這23個問題涉及現代數學大部分重要領域，推動了20世紀數學的發展，數學史上稱之為希爾伯特數學問題。