油脂、類脂和蠟

[拼音]：Zhu Shijie

中國元代數學家，字漢卿，號鬆庭，北京附近人。著有《算學啟蒙》(1299)、《四元玉鑑》(1303)傳世。他和秦九韶、李冶、楊輝一起被稱為是中國宋元時期著名的數學家。

關於朱世傑的生平，遺留下來的資料甚少。在別人為他的著作所寫的序言中有：“燕山鬆庭朱先生以數學名家周遊湖海二十餘年矣，四方之來學者日眾”；“漢卿名世傑，鬆庭其自號也，周流四方，復遊廣陵，踵門而學者雲集”，由此可知，朱世傑曾以數學教學和數學研究為業遊學四方。他從事這些活動的時代，大約是在13世紀後期的20～30年和14世紀開頭的10～20年之間。

《算學啟蒙》全書共三卷20門259個問題，從簡單的四則運算入手，逐步深入，直至高次開方、天元術等較高深的內容，形成了比較完整的體系，是一部當時較好的啟蒙數學書。全書之首，朱世傑列出了各種常用資料、基本運演算法則、歌訣等共18條。其中的歸除歌訣與後世珠算所用歌訣完全相同；所給出的正負數乘除法法則，在中國數學史上也是首次出現。

《算學啟蒙》繼承了《九章算術》以來中國古代數學的傳統，書中問題大都與當時的社會實際生活有關，對元代社會史、經濟史的研究，有一定參考價值。此書曾流傳至朝鮮和日本。中國現存的《算學啟蒙》，就是根據1660年朝鮮刻本於1839年翻刻的。

《四元玉鑑》全書三卷 24門288問。從所包含的數學內容來看，高次方程組(最多可包括四個未知數)解法、高階等差級數求和、高次內插法等等都是書中的重要內容。

在宋代天元術和增乘開方法的基礎上，13世紀中葉以後，在河北、山西等地，天元術迅速發展成為四元術。祖頤在為《四元玉鑑》所寫的後序中說：“平陽（山西臨汾）蔣周（13世紀）撰《益古》，博陸(河北蠡縣)李文一撰《照膽》，鹿泉（河北獲鹿）石道信撰《鈐經》，平水（山西絳縣）劉汝諧撰《如積釋鎖》，絳（山西新絳）人元裕細草之，後人始知有天元也。平陽李德載因撰《兩儀群英集臻》，兼有地元。霍山（山西臨汾）邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰《乾坤括囊》，末僅有人元二問。吾友燕山朱漢卿先生演數有年，探三才之頤，索《九章》之穩，按天地人物立成四元，……”，其中講的正是這一段由天元術發展到四元術的歷史。

眾所周知，求解多元方程組問題的關鍵是消去法。莫若、祖頤為《四元玉鑑》所寫的序中有：“其法以元氣居中，立天元一於下，地元一於左，人元一於右，物一於上……”，“……考圖明之，上升下降，左右進退，互通變化，乘除往來，用假象真，以虛問實，錯綜正負，分成四式。必以寄之、剔之、餘籌易位，橫衝直撞，精而不雜，自然而然，消而和會，以成開方之式也。”其中講的正是四元式的表示方法和消元方法。設以x、y、z、u表示四個未知數（當時為天、地、人、物），把常數項放在中央（記為“太”，此即所謂“元氣居中”），各未知數的各次冪依次放在上下左右，而各未知數各次冪的兩兩乘積則置於平面的相應位置上(圖1)。

例如x+y+z+u可表示如圖2；而

可表示如圖3。這既是四元方程，也是四元多項式的表示方法。顯然，這是中國古代位值制記數法的又一次新的發展。

四元式的加減法，以常數項為準，將其餘相應各項相加減即可。以未知數的整次冪乘除，將整個四元式上升下降，左右進退即可。以四元式中某行乘另一四元式，等於將該行各項分別乘以四元式之後諸四元式之和。四元式乘四元式等於以一式各行乘另式所得諸四元式之和。

這是中國，也是世界數學史上最早出現的關於多項式的運算。

以二元方程組為例，朱世傑的消去法相當於把方程組看成是（假如最高次數為2次）

式中A0、A1、A2、

B

B

B

B

(3)

同樣(1)、(3)或(2)、(3)相消得：

(4)

(3)、(4)相消即可得出只含一個未知數的方程。方程組次數高於2次，三元或四元方程組，都可用此消去法來求解。這也是世界上最早的多元高次方程組的解法。

此外，高階等差級數求和、招差法等則是朱世傑的又一項重大成就。他實際上已經掌握了公式

。 (5)

在該書中還有其他的高階等差級數求和公式。

在招差法方面，朱世傑實際上給出了招差公式：

雖然《四元玉鑑》還只是給出了包含有四次差（Δ4）的公式，但由於朱世傑已經知道公式各項係數正是前述一系列高階等差級數(5)式的“積”，可以認為朱世傑已經通曉了任意高次的招差法公式。這比西方要早四百餘年。

綜上所述，朱世傑不愧是宋元時代傑出的數學家。清代《疇人傳·續編》評論他說“漢卿在宋元間，與秦道古（九韶）、李仁卿（李冶）可稱鼎足而三。道古正負開方、仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類儘量，神而明之，尤超越乎秦李兩家之上”。美國著名的科學史家G.薩頓評論說：朱世傑“是他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最傑出的數學家”而他所著的《四元玉鑑》則是“中國數學著作中最重要的一部，同時也是整個中世紀最傑出的數學著作之一”。