弗雷格，（F.L.）G.

[拼音]：jifen bianhuan

[外文]：integral transform

通過參變數積分將一個已知函式變為另一個函式。已知ƒ(x)，如果

存在（α、b可為無窮），則稱F(s)為ƒ(x)以K(s，x)為核的積分變換。

積分變換無論在數學理論或其應用中都是一種非常有用的工具。最重要的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換。由於不同應用的需要，還有其他一些積分變換，其中應用較為廣泛的有梅林變換和漢克爾變換，它們都可通過傅立葉變換或拉普拉斯交換轉化而來。

梅林變換

當K(s，x)=xs_1，x>0，而ƒ(x)定義於[0，+∞)，函式

(1)

稱為ƒ(x)的梅林變換，式中s=σ+iτ為複數。M(s)的梅林反變換則定義為

(x>0)， (2)

這裡積分是沿直線Res＝σ 進行的。

(1)式與(2)式在一定條件下互為反演公式。例如，設(1)絕對收斂，在任何有限區間上 ƒ(x)是有界變差的，且已規範化：

，則由(1)可推得(2)，在l2(0，∞)空間中也有類似結果。

若以M(s，ƒ′)表示ƒ′(x)的梅林變換， 則在一定條件下，有

。在一定條件下，還有下列梅林交換的卷積公式：

，

式中с>Res。

一些簡單函式的梅林變換(α ＞0)如表：

漢克爾變換

設Jγ(x)為у階貝塞爾函式（見特殊函式），ƒ(x)定義於[0，+∞)，則稱

(3)

為ƒ(x)的у階漢克爾變換；而稱

(4)

為h(t)的漢克爾反變換。有的作者代替(3)與(4)改用

與

，

效果是一樣的。在一定條件下，(3)與(4)成為一對互逆公式，此外，還有

一些簡單函式的漢克爾變換如表：

參考書目

A.Erdélyi， ed.，table of Integral Transforms，Vol. 1， McGraw-Hill， New York， 1954.

特蘭臺爾著，潘德惠譯：《數學物理中的積分變換》，高等教育出版社，北京，1959。(C.J.Tranter，Integral Transforms in MatheMatical Physics，2nd ed.，John Wiley & Sons， New York， 1956.)

D.V.Widder，An Introduction to Transform Theory，Academic Press， New York， 1972.