什麼是實數集實數集的公理
通俗地認為,通常包含所有有理數和無理數的集合就是實數集,通常用大寫字母R表示。那麼你對實數集了解多少呢?以下是由小編整理關於什麼是實數集的內容,希望大家喜歡!
實數集的簡介
18世紀,微積分學在實數的基礎上發展起來。但當時的實數集並沒有精確的定義。直到1871年,德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。定義是由四組公理為基礎的:
實數集的加法公理
1.對於任意屬於集合R的元素a、b,可以定義它們的加法a+b,且a+b屬於R;
1.加法有恆元0,且a+0=0+a=a***從而存在相反數***;
1.加法有交換律,a+b=b+a;
1.加法有結合律,***a+b***+c=a+***b+c***。
實數集的乘法公理
2.1對於任意屬於集合R的元素a、b,可以定義它們的乘法a·b,且a·b屬於R;
2.2乘法有恆元1,且a·1=1·a=a***從而除0外存在倒數***;
2.3乘法有交換律,a·b=b·a;
2.4乘法有結合律,***a·b***·c=a·***b·c***;
2.5乘法對加法有分配率,即a·***b+c***=***b+c***·a=a·b+a·c。
實數集的序公理
3.1∀x、y∈R,x<y、x=y、x>y中有且只有一個成立;
3.2若x<y,∀z∈R,x+z<y+z;
3.3若x<y,z>0,則x·z<y·z;
3.4傳遞性:若x<y,y<z,則x<z。
實數集的完備公理
***1***任何一個非空有上界的集合***包含於R***必有上確界。
***2***設A、B是兩個包含於R的集合,且對任何x屬於A,y屬於B,都有x<y,那麼必存在c屬於R,使得對任何x屬於A,y屬於B,都有x<c<y。
符合以上四組公理的任何一個集合都叫做實數集,實數集的元素稱為實數。
實數集的公理
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