什麼是實數集實數集的公理

　　通俗地認為，通常包含所有有理數和無理數的集合就是實數集，通常用大寫字母R表示。那麼你對實數集了解多少呢?以下是由小編整理關於什麼是實數集的內容，希望大家喜歡!

　　實數集的簡介

　　18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。但當時的實數集並沒有精確的定義。直到1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。定義是由四組公理為基礎的：

　　實數集的加法公理

　　1.對於任意屬於集合R的元素a、b，可以定義它們的加法a+b，且a+b屬於R;

　　1.加法有恆元0，且a+0=0+a=a***從而存在相反數***;

　　1.加法有交換律，a+b=b+a;

　　1.加法有結合律，***a+b***+c=a+***b+c***。

　　實數集的乘法公理

　　2.1對於任意屬於集合R的元素a、b，可以定義它們的乘法a·b，且a·b屬於R;

　　2.2乘法有恆元1，且a·1=1·a=a***從而除0外存在倒數***;

　　2.3乘法有交換律，a·b=b·a;

　　2.4乘法有結合律，***a·b***·c=a·***b·c***;

　　2.5乘法對加法有分配率，即a·***b+c***=***b+c***·a=a·b+a·c。

　　實數集的序公理

　　3.1∀x、y∈R，x<y、x=y、x>y中有且只有一個成立;

　　3.2若x<y，∀z∈R，x+z<y+z;

　　3.3若x<y，z>0，則x·z<y·z;

　　3.4傳遞性：若x<y，y<z，則x<z。

　　實數集的完備公理

　　***1***任何一個非空有上界的集合***包含於R***必有上確界。

　　***2***設A、B是兩個包含於R的集合，且對任何x屬於A，y屬於B，都有x<y，那麼必存在c屬於R，使得對任何x屬於A，y屬於B，都有x<c<y。

　　符合以上四組公理的任何一個集合都叫做實數集，實數集的元素稱為實數。

實數集的公理