高中數學平面向量的數量積練習題及答案

　　平面向量用小寫加粗的字母a，b，c表示，也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。今天，小編為大家整理了高中數學平面向量的數量積練習題。

　　高中數學平面向量的數量積練習題一、填空題

　　1.***2014·泰州質檢***在ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，則=________.

　　[解析]　由平行四邊形法則，|+|=||=||，故A，B，C構成直角三角形的三個頂點，且A為直角，從而四邊形ABDC是矩形.

　　由||=2，ABC=60°，

　　==.

　　[答案]

　　2.***2013·湖南高考改編***已知a，b是單位向量，a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的最大值為________.

　　[解析]　a，b是單位向量，|a|=|b|=1.

　　又a·b=0，a⊥b，|a+b|=.

　　|c-a-b|2=c2-2c·***a+b***+2a·b+a2+b2=1.

　　c2-2c·***a+b***+1=0.2c·***a+b***=c2+1.

　　c2+1=2|c||a+b|cos θ***θ是c與a+b的夾角***.

　　c2+1=2|c|cos θ≤2|c|.c2-2|c|+1≤0.

　　-1≤|c|≤+1.|c|的最大值為+1.

　　[答案]　+1

　　高中數學平面向量的數量積練習題二、解答題

　　3.設兩向量e1，e2滿足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夾角為60°，若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角，求實數t的取值範圍.

　　[解]　由已知得e=4，e=1，e1·e2=2×1×cos 60°=1.

　　***2te1+7e2***·***e1+te2***=2te+***2t2+7***e1·e2+7te=2t2+15t+7.

　　欲使夾角為鈍角，需2t2+15t+7<0，得-7

　　設2te1+7e2=λ***e1+te2******λ<0***，

　　∴2t2=7.t=-，此時λ=-.

　　即t=-時，向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為π.

　　當兩向量夾角為鈍角時，t的取值範圍是.

　　平面向量應用舉例專項測試題

　　一、填空題

　　1.***2013·課標全國卷***已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則·=________.

　　[解析]　如圖，以A為座標原點，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角座標系，則A***0,0***，B***2,0***，D***0,2***，E***1,2***，

　　∴=***1,2***，=***-2,2***，

　　·=1×***-2***+2×2=2.

　　[答案]　2

　　2.已知向量=***3，-4***，=***6，-3***，=***m，m+1***，若，則實數m的值為________.

　　[解析]　依題意得，=***3,1***，

　　由，

　　得3***m+1***-m=0，m=-.

　　[答案]　-

　　3.***2014·徐州調研***已知a=***1,2***，2a-b=***3,1***，則a·b=________.

　　[解析]　a=***1,2***，2a-b=***3,1***，

　　b=2a-***3,1***=2***1,2***-***3,1***=***-1,3***.

　　a·b=***1,2***·***-1,3***=-1+2×3=5.

　　[答案]　5

　　4.***2013·常州市高三教學期末調研測試***在平面直角座標系xOy中，圓C：x2+y2=4分別交x軸正半軸及y軸正半軸於M，N兩點，點P為圓C上任意一點，則·的最大值為________.

　　[解析]　根據題意得：M***2,0***，N***0,2***.設P***2cos θ，2sin θ***，

　　則=***2-2cos θ，-2sin θ***，=***-2cos θ，2-2sin θ***，

　　所以·=-4cos θ+4cos2θ-4sin θ+4sin2θ

　　=4-4***sin θ+cos θ***=4-4sin，

　　因為-1≤sin≤1，所以4-4≤·≤4+4，

　　所以·的最大值為4+4.

　　[答案]　4+4

　　5.***2014·宿遷調研***已知點A***-2,0***，B***0,0***，動點P***x，y***滿足·=x2，則點P的軌跡方程是________.

　　[解析]　=***-2-x，-y***，=***-x，-y***，則

　　·=***-2-x******-x***+***-y***2=x2，

　　y2=-2x.

　　[答案]　y2=-2x

　　6.***2014·常州質檢***已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交於A、B兩點，且|+|=|-|，其中O為原點，則正實數a的值為________.

　　[解析]　由|+|=|-|，知，

　　|AB|=2，則得點O到AB的距離d=，

　　=，

　　解得a=2***a>0***.

　　[答案]　2

　　7.***2014·南京、鹽城二模***已知||=1，||=2，AOB=，=+，則與的夾角大小為________.

　　[解析]　令=，=，因為||=1，||=2，所以||=||，由=+=+，得四邊形OA1CB1為菱形.因為菱形對角線平分所對角，因此AOC=60°.

　　[答案]　60°

　　8.如圖4­4­3，在ABC中，AB=AC，BC=2，=，=.若·=-，則·=________.

　　圖4­4­3

　　[解析]　建立如圖所示的直角座標系，則·=·***1，-a***=-=-，解得a=2，所以=，=***-1，-2***，所以·=-.

　　[答案]　-

　　二、解答題

　　9.***2014·蘇北四市質檢***已知向量a=***cos θ，sin θ***，b=***2，-1***.

　　***1***若a⊥b，求的值;

　　***2***若|a-b|=2，θ，求sin的值.

　　[解]　***1***由a⊥b可知，a·b=2cos θ-sin θ=0，所以sin θ=2cos θ，

　　所以==.

　　***2***由a-b=***cos θ-2，sin θ+1***，可得|a-b|===2，

　　即1-2cos θ+sin θ=0，

　　又cos2θ+sin2θ=1，且θ，

　　由可解得

　　所以sin=***sin θ+cos θ***

　　==.

　　10.已知向量a=***cos x，sin x***，b=***sin 2x,1-cos 2x***，c=***0,1***，x***0，π***.

　　***1***向量a，b是否共線?並說明理由;

　　***2***求函式f***x***=|b|-***a+b***·c的最大值.

　　[解]　***1***b=***sin 2x,1-cos 2x***=***2sin xcos x,2sin2 x***

　　=2sin x***cos x，sin x***=2sin x·a，且|a|=1，即a≠0.

　　a與b共線.

　　***2***f***x***=|b|-***a+b***·c

　　=2sin x-***cos x+sin 2x,1-cos 2x+sin x***·***0,1***

　　=2sin x-1+cos 2x-sin x=sin x-1+1-2sin2x

　　=-2sin2x+sin x=-22+.

　　當sin x=時，f***x***有最大值.

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