高中數學數列通項公式的求法
數列通項公式是高中數學的重點與難點，那麼數列通項公式的有什麼求解方法呢?下面由小編告訴你答案。
總結
一、一階線性遞推數列求通項問題
一階線性遞推數列主要有如下幾種形式：
1.
這類遞推數列可通過累加法而求得其通項公式***數列{f***n***}可求前n項和***.
當
為常數時，通過累加法可求得等差數列的通項公式.而當
為等差數列時，則
為二階等差數列，其通項公式應當為
形式，注意與等差數列求和公式一般形式的區別，後者是
，其常數項一定為0. 2.
這類遞推數列可通過累乘法而求得其通項公式***數列{g***n***}可求前n項積***.
當
為常數時，用累乘法可求得等比數列的通項公式. 3.
; 這類數列通常可轉化為
，或消去常數轉化為二階遞推式
. 例1已知數列
中，
,求
的通項公式. 解析：解法一：轉化為
型遞推數列. ∵
∴
又
，故數列{
｝是首項為2，公比為2的等比數列.∴
，即
. 解法二：轉化為
型遞推數列. ∵
=2xn-1+1***n≥2*** ① ∴
=2xn+1 ② ②-①，得
***n≥2***，故{
｝是首項為x2-x1=2，公比為2的等比數列，即
，再用累加法得
.
解法三：用迭代法.
當然,此題也可用歸納猜想法求之，但要用數學歸納法證明. 例2 已知函式
的反函式為
求數列
的通項公式. 解析：由已知得
，則
. 令
=,則
.比較係數，得
. 即有
.∴數列{
｝是以
為首項，
為公比的等比數列，∴
，故
.
評析：此題亦可採用歸納猜想得出通項公式，而後用數學歸納法證明之.
***4***
若取倒數,得
，令
，從而轉化為***1***型而求之. ***5***
; 這類數列可變換成
，令
，則轉化為***1***型一階線性遞推公式. 例3 設數列
求數列
的通項公式. 解析：∵
，兩邊同除以
，得
.令
，則有
.於是，得
，∴數列
是以首項為
，公比為
的等比數列，故
，即
，從而
. 例4 設
求數列
的通項公式. 解析：設
用
代入，可解出
. ∴
是以公比為-2，首項為
的等比數列. ∴
，即
. ***6***
這類數列可取對數得
，從而轉化為等差數列型遞推數列.
二、可轉化為等差、等比數列或一些特殊數列的二階遞推數列
例5 設數列
求數列
的通項公式. 解析：由
可得
設
故
即
用累加法得
或
例6 在數列
求數列
的通項公式.
解析：可用換元法將其轉化為一階線性遞推數列.
令
使數列
是以
為公比的等比數列***
待定***. 即
∴
對照已給遞推式， 有
即
的兩個實根. 從而
∴
① 或
② 由式①得
;由式②得
. 消去
. 例7 在數列
求
. 解析：由
①，得
②. 式②+式①，得
，從而有
.∴數列
是以6為其週期.故
=
=-1.
三、特殊的n階遞推數列
例8 已知數列
滿足
，求
的通項公式. 解析：∵
① ∴
② ②-①，得
.∴
故有
將這幾個式子累乘，得
又
例9 數列{
｝滿足
，求數列{
｝的同項公式. 解析：由
①，得
②. 式①-式②，得
，或
，故有
. ∴
,
. 將上面幾個式子累乘，得
，即
. ∵
也滿足上式，∴
.高中數學常見數列通項公式
累加法
遞推公式為a***n+1***=an+f***n***，且f***n***可以求和
例：數列{an}，滿足a1=1/2，a***n+1***=an+1/***4n^2-1***，求{an}通項公式
解：a***n+1***=an+1/***4n^2-1***=an+[1/***2n-1***-1/***2n+1***]/2
∴an=a1+***1-1/3+1/3-1/5+……+1/***2n-3***-1/***2n-1******
∴an=1/2+1/2 ***1-1/***2n-1******=***4n-3***/***4n-2***
累乘法
遞推公式為a***n+1***/an=f***n***,且f***n***可求積
例：數列{an}滿足a***n+1***=***n+2***/n an，且a1=4，求an
解：an/a1=an/a***n-1***×a***n-1***/a***n-2***×……×a2/a1=2n***n+1***
構造法
將非等差數列、等比數列，轉換成相關的等差等比數列
連加相減，連乘相除
例：{an}滿足a1+2a2+3a3+……+nan=n***n+1******n+2***
解：令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n***n+1******n+2***
nan=bn-b***n-1***=n***n+1******n+2***-***n-1***n***n+1***
∴an=3***n+1***