高一數學函式學習方法

　　函式是高中數學學習裡的重點內容。下面是小編網路收集整理的以供大家學習。

　　之觀察法

　　通過對函式定義域、性質的觀察，結合函式的解析式，求得函式的值域。

　　例1求函式y=3+√***2-3x*** 的值域。

　　點撥：根據算術平方根的性質，先求出√***2-3x*** 的值域。

　　解：由算術平方根的性質，知√***2-3x***≥0，

　　故3+√***2-3x***≥3。

　　點評：算術平方根具有雙重非負性，即：***1***被開方數的非負性，***2***值的非負性。

　　本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函式的值域的求法，簡捷明瞭，不失為一種巧法。

　　練習：求函式y=[x]***0≤x≤5***的值域。***答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝***

　　之反函式法

　　當函式的反函式存在時，則其反函式的定義域就是原函式的值域。

　　例2求函式y=***x+1***/***x+2***的值域。

　　點撥：先求出原函式的反函式，再求出其定義域。

　　解：顯然函式y=***x+1***/***x+2***的反函式為:x=***1-2y***/***y-1***,其定義域為y≠1的實數,故函式y的值域為{y∣y≠1,y∈R｝。

　　點評：利用反函式法求原函式的定義域的前提條件是原函式存在反函式。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

　　練習：求函式y=***10x+10-x***/***10x-10-x***的值域。***答案：函式的值域為{y∣y<-1或y>1｝***

　　之配方法

　　當所給函式是二次函式或可化為二次函式的複合函式時,可以利用配方法求函式值域

　　例3：求函式y=√***-x2+x+2***的值域。

　　點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函式的最值求。

　　解：由-x2+x+2≥0,可知函式的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-***x-1/2***2+9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函式的值域是[0,3/2]

　　點評：求函式的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

　　練習：求函式y=2x-5+√15-4x的值域.***答案:值域為{y∣y≤3}***

　　之判別式法

　　若可化為關於某變數的二次方程的分式函式或無理函式,可用判別式法求函式的值域。

　　例4求函式y=***2x2-2x+3***/***x2-x+1***的值域。

　　點撥：將原函式轉化為自變數的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函式的值域。

　　解：將上式化為***y-2***x2-***y-2***x+***y-3***=0 *******

　　當y≠2時,由Δ=***y-2***2-4***y-2***x+***y-3***≥0，解得：2

　　當y=2時,方程*******無解。∴函式的值域為2

　　點評：把函式關係化為二次方程F***x,y***=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函式的值域。常適應於形如y=***ax2+bx+c***/***dx2+ex+f***及y=ax+b±√***cx2+dx+e***的函式。

　　練習：求函式y=1/***2x2-3x+1***的值域。***答案：值域為y≤-8或y>0***。

　　之最值法

　　對於閉區間[a,b]上的連續函式y=f***x***,可求出y=f***x***在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f***a***.f***b***作比較,求出函式的最值,可得到函式y的值域。

　　例5已知***2x2-x-3***/***3x2+x+1***≤0,且滿足x+y=1,求函式z=xy+3x的值域。

　　點撥：根據已知條件求出自變數x的取值範圍，將目標函式消元、配方，可求出函式的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x***-1≤x≤3/2***,

　　∴z=-***x-2***2+4且x∈[-1,3/2],函式z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。

　　當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4。

　　∴函式z的值域為{z∣-5≤z≤15/4｝。

　　點評：本題是將函式的值域問題轉化為函式的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函式的值域。

　　之圖象法

　　通過觀察函式的圖象，運用數形結合的方法得到函式的值域。

　　之單調法

　　利用函式在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

　　例1求函式y=4x-√1-3x***x≤1/3***的值域。

　　點撥：由已知的函式是複合函式，即g***x***= -√1-3x,y=f***x***+g***x***，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函式的增減性，從而確定函式的值域。

　　之換元法

　　以新變數代替函式式中的某些量，使函式轉化為以新變數為自變數的函式形式，進而求出值域。

　　例2求函式y=x-3+√2x+1 的值域。

　　點撥：通過換元將原函式轉化為某個變數的二次函式，利用二次函式的最值，確定原函式的值域。

　　之比例法

　　對於一類含條件的函式的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函式，進而求出原函式的值域。

　　例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函式z=x2+y2的值域。

　　點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設定引數，代入原函式。

　　解：由3x-4y-5=0變形得，***x3***/4=***y-1***/3=k***k為引數***

　　∴x=3+4k,y=1+3k,

　　∴z=x2+y2=***3+4k***2+***14+3k***2=***5k+3***2+1。

　　當k=-3/5時，x=3/5,y=-4/5時，zmin=1。

　　函式的值域為{z|z≥1｝.

　　有關高中數學函式學習方法推薦：

　　函式把運動學帶進了數學.函式本身講的是數的互動，而靜則是運動過程中的某一即時狀態.動以靜為參照，沒有參照物的運動是沒有意義的，同樣沒有“靜數”的函式也無意義.當變數***動數***的個數較多時，我們先考慮一對互動中的變數，而把其他變數暫視靜止***常數或引數***。今天我們就來告訴大家高中數學函式學習技巧。

　　例如，考慮二次函式y=ax2+bx+c時，是把x,y看作一對互動的變數，而把a,b,c看作“靜數”.其實，a,b,c也在變化，只是要等到需要考慮它們的變化時再把它們視作變數.?

　　?●典例示範?

　　【例1】設雙曲線與直線x+y=1相交於兩個不同的點A和B，求雙曲線離心率的取值範圍.?

　　【分析】求取值範圍就是求離心率e的值域.為此，我們要尋求e的函式式.?

　　【解答】按雙曲線離心率的關係式，有 ??

　　【插語】公式e= 本來是“靜式”，現在讓其運動起來，成了函式式f ***a***.啟發我們求函式e=f ***a***的定義域，即a的取值範圍.?

　　【續解】由雙曲線與直線相交於兩點，得方程組?

　　【插語】我們並非要從這個方程中解得x和y的值，而是要由“方程組有2個解”的條件求出a2的取值範圍.?

　　【續解】消y後整理得?

　　函式e=f ***a***= 在***0，1***和***1， ***上都是減函式，故有f ***a***> 且f ***a***≠ .即所求範圍是 .?

　　【點評】函式解題，動靜相依，動靜互控，從而實現由簡單函式與複合函式的互動，以及函式與方程，函式與不等式的互動.?

　　【附錄】以下我們用函式性質討論a2的取值範圍.?