初二數學下第五章生活中的軸對稱單元檢測試卷B
學習初二數學比別人提前一步，日積月累就是一大步的進步。多練習單元測試題吧!下面由小編為你整理的初二數學下第五章生活中的軸對稱單元檢測試題B，希望對大家有幫助!
初二數學下第五章生活中的軸對稱單元檢測試題B
一.選擇題 ***本大題共12小題，每小題4分，共48分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的***
1.等腰三角形的兩邊長分別為13cm、6cm，那麼第三邊長為*** ***
A.7cm B.13cm C.6cm D.8cm
2.下列四個判斷：①成軸對稱的兩個三角形是全等三角形;②兩個全等三角形一定成軸對稱;③軸對稱的兩個圓的半徑相等;④半徑相等的兩個圓成軸對稱，其中正確的有*** ***
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
3.如圖是跳棋盤，其中格點上的黑色點為棋子，剩餘的格點上沒有棋子，我們約定跳棋遊戲的規則是：把跳棋棋子在棋盤內沿直線隔著棋子對稱跳行，跳行一次稱為一步，已知點A為乙方一枚棋子，欲將棋子A跳進對方區域***陰影部分的格點***，則跳行的最少步數為*** ***
A.2步 B.3步 C.4步 D.5步
4.如圖，在邊長為1正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，3AE=EB，有一隻螞蟻從E點出發，經過F、G、H，最後回點E點，則螞蟻所走的最小路程是*** ***
A.2 B.4 C. D.
5.如圖①是一個直角三角形紙片，∠A=30°，BC=4cm，將其摺疊，使點C落在斜邊上的點C′處，摺痕為BD，如圖②，再將②沿DE摺疊.使點A落在DC′的延長線上的點A′處，如圖③，則摺痕DE的長為*** ***
A. cm B. cm C. cm D.3cm
6.三角形ABC的三條內角平分線為AE、BF、CG，下面的說法中正確的個數有*** ***
①△ABC的內角平分線上的點到三邊距離相等
②三角形的三條內角平分線交於一點
③三角形的內角平分線位於三角形的內部
④三角形的任一內角平分線將三角形分成面積相等的兩部分.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
7.下列各語句中不正確的是*** ***
A.全等三角形的周長相等
B.全等三角形的對應角相等
C.到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上
D.線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩端點的距離相等
8.在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°.在△ABC所在平面內畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫*** ***
A.7條 B.8條 C.9條 D.10條
9.已知，如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，延長AD到點E，連線BE、CE，∠ABD+ ∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列結論：①△ABD為等腰三角形;②AE=AC;③BE=CE=CD;④CB平分∠ACE.其中正確的結論個數有*** ***
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
10.若一個三角形的最小內角為60°，則下列判斷中正確的有*** ***
***1***這個三角形是銳角三角形;***2***這個三角形是等腰三角形;***3***這個三角形是等邊三角形;***4***形狀不能確定;***5***不存在這樣的三角形.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
11.已知△ABC中，三邊a，b，c滿足|b﹣c|+***a﹣b***2=0，則∠A等於*** ***
A.60° B.45° C.90° D.不能確定
12.邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連線得到一個正六邊形，記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點，順次連線又得到一個等邊三角形，記為第2個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連線又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形***如圖***，…，按此方式依次操作，則第6個正六邊形的邊長為*** ***
A. B. C. D.
二.填空題***共6小題,共24分***
13.把圖中的某兩個小方格塗上陰影，使整個圖形是以虛線為對稱軸的軸對稱圖形.
.
14.如圖所示，已知△ABC的周長是20，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC於D，且OD=3，則△ABC的面積是 .
15.在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中線BD將三角形周長分為15和21兩部分，則這個三角形的底邊長為 .
16.如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交於點O.給出下列三個條件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.上述三個條件中，哪兩個條件可判定△ABC是等腰三角形***用序號寫出一種情形***： .
17.如圖，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分別是角平分線，且MN∥BA，分別交AC於N、BC於M，則△CMN的周長為 .
18.如圖，C為線段AE上一動點***不與點A，E重合***，在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交於點O，AD與BC交於點P，BE與CD交於點Q，連線PQ.則下列結論：①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP.其中正確的是 .
三.解答題***共8小題***
19.如圖，在平面直角座標系中，點A的座標為***3，﹣3***，點B的座標為***﹣1，3***，回答下列問題
***1***點C的座標是 .
***2***點B關於原點的對稱點的座標是 .
***3***△ABC的面積為 .
***4***畫出△ABC關於x軸對稱的△A′B′C′.
20.如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D.
求證：***1***∠ECD=∠EDC;
***2***OC=OD;
***3***OE是線段CD的垂直平分線.
21.如圖，在ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分別交AB，BC於D，E.
***1***若∠CAE=∠B+30°，求∠B的大小;
***2***若AC=3，AB=5，求△AEB的周長.
22.小明用一條長30cm的細繩圍成了一個等腰三角形，他想使這個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，那麼這個三角形的各邊的長分別是多少?
23.已知如圖1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交於點O，過點O作EF∥BC交AB、AC於E、F.
①圖中有幾個等腰三角形?請說明EF與BE、CF間有怎樣的關係.
②若AB≠AC，其他條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，請分別指出它們.另第①問中EF與BE、CF間的關係還存在嗎?
③若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交於O，過O點作OE∥BC交AB於E，交AC於F.如圖3，這時圖中還有哪幾個等腰三角形?EF與BE、CF間的關係如何?為什麼?
24.在等腰三角形中，過其中的一個頂點的直線如果能把這個等腰三角形分成兩個小的等腰三角形，我們稱這種等腰三角形為“少見的三角形”，這條直線稱為分割線，下面我們來研究這類三角形.
***1***等腰直角三角形是不是“少見的三角形”?
***2***已知如圖所示的鈍角三角形是一個“少見的三角形”，請你畫出分割線的大致位置，並求出頂角的度數;
***3***銳角三角形中有沒有“少見的三角形”?如果沒有，請說明理由;如果有，請畫出圖形並求出頂角的度數.
25.數學課上，李老師出示瞭如下的題目：
“在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關係，並說明理由”.
小敏與同桌小聰討論後，進行了如下解答：
***1***特殊情況，探索結論
當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關係，請你直接寫出結論：AE DB***填“>”，“<”或“=”***.
***2***特例啟發，解答題目
解：題目中，AE與DB的大小關係是：AE DB***填“>”，“<”或“=”***.理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC於點F.***請你完成以下解答過程***
***3***拓展結論，設計新題
在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC.若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長***請你直接寫出結果***.
26.數學課上，李老師出示瞭如下框中的題目.
小明與同桌小聰討論後，進行了如下解答：
***1***特殊情況，探索結論
當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關係，請你直接寫出結論：AE DB***填“>”，“<”或“=”***.
***2***一般情況，證明結論：
如圖2，過點E作EF∥BC，交AC於點F.***請你繼續完成對以上問題***1***中所填寫結論的證明***
***3***拓展結論，設計新題：
在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC. 若△ABC的邊長為1，AE=2，則CD的長為 ***請直接寫出結果***.
初二數學下第五章生活中的軸對稱單元檢測試題B答案
一.選擇題***共12小題***
1.【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長分別為13cm、6cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關係驗證能否組成三角形.
【解答】解：當6cm是腰時，因6+6<13，不能組成三角形，應捨去;
當13cm是腰時，6cm、13cm、13cm能夠組成三角形.
則第三邊應是13cm.
故選：B.
2. 【分析】注意全等三角形與軸對稱的性質
【解答】解：①成軸對稱的圖形，關於對稱軸摺疊後可重合，正確;
②軸對稱不僅考慮全等，還要考慮位置，所以全等三角形不一定成軸對稱，錯誤;
③錯誤.兩個同心圓，是軸對稱圖形，半徑不相等.
④兩個圓半徑相等，則全等，並且總能找到作為對稱軸的一條直線，所以一定成軸對稱，正確.
∴①④共2個正確.
故選C.
3. 【分析】根據題意，結合圖形，由軸對稱的性質判定正確選項.
【解答】解：觀察圖形可知：先向右跳行，在向左，最後沿著對稱的方法即可跳到對方那個區域，所以最少是3步.
故選B.
4.【分析】延長DC到D'，使CD=CD'，G對應位置為G'，則FG=FG'，作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，H對應的位置為H'，則G'H'=GH，再作A'B'⊥D'A'，E的對應位置為E'，則H'E'=HE.由兩點之間線段最短可知當E、F、G'、H'、E'在一條直線上時路程最小，再延長AB至K使BK=AB，連線E′K，利用勾股定理即可求出EE′的長.
【解答】解：延長DC到D'，使CD=CD'，G關於C對稱點為G'，則FG=FG'，
同樣作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，H對應的位置為H'，則G'H'=GH，
再作A'B'⊥D'A'，E的對應位置為E'，
則H'E'=HE.
容易看出，當E、F、G'、H'、E'在一條直線上時路程最小，
最小路程為EE'= = =2 .
故選C.
5.【分析】根據直角三角形兩銳角互餘求出∠ABC=60°，翻折前後兩個圖形能夠互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然後求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然後求出DE即可.
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，
∴∠ABC=90°﹣30°=60°，
∵沿摺痕BD摺疊點C落在斜邊上的點C′處，
∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD= ∠ABC=30°，
∵沿DE摺疊點A落在DC′的延長線上的點A′處，
∴∠ADE=∠A′DE，
∴∠BDE=∠A′DB+∠A′DE= ×180°=90°，
在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=4÷ = cm，
在Rt△BDE中，DE=BD•tan30°= × = cm.
故選：C.
6. 【分析】畫出圖形，設O為∠BAC的角平分線和∠ACB的角平分線的交點，過O作ON⊥AB於N，OM⊥BC於M，OQ⊥AC於Q，求出ON=OM=OQ，判斷即可.
【解答】解：
∵設O為∠BAC的角平分線和∠ACB的角平分線的交點，過O作ON⊥AB於N，OM⊥BC於M，OQ⊥AC於Q，
∴ON=OQ，OQ=OM，
∴ON=OM=OQ，
∴△ABC的三個內角的角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，∴①錯誤;
∵ON⊥AB，OM⊥BC，ON=OM，
∴O在∠ABC的角平分線上，
即O是△ABC的三個角的平分線交點，∴②正確;
∵三角形的三個內角的平分線都在三角形的內部，∴③正確;
∵三角形的任意中線把三角形的面積分為面積相等的兩部分，而三角形的任意角平分線不一定把三角形的面積分成面積相等的兩部分，∴④錯誤;
故選B.
7.【分析】此題從已知開始結合全等三角形、角平分線、中垂線的相關性質對各個選項進行判斷.
【解答】解：全等三角形是能夠完全重合的兩個三角形，因此它們的周長相等，對應角也相等;故A、B正確;
到角兩邊距離相等的點，在角的平分線所在直線上，很明顯C的敘述有漏解的情況，故C錯誤;
線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，是中垂線的性質，故D正確;
故選C.
8. 【分析】根據等腰三角形的判定，進行劃分，即可解答.
【解答】解：如圖：
∴最多畫8條，
故選：B.
9. 【分析】可根據證△ABF≌△△ADF推出AB=AD，得出△ABD為等腰三角形;可根據同弦所對的圓周角相等點A、B、C、E共圓，可判出BE=CE=CD，根據三角形內角和等於180°，可判出AE=AC;求出∠7=90°﹣ ∠2，根據∠1=∠4=∠2推出∠4≠∠7，即可得出BC不是∠ACE的平分線.
【解答】解：作AF平分∠BAD，
∵∠BAD=∠3，∠ABD+ ∠3=90°，
∴∠BAF= ∠3=∠DAF，
∴∠ABF+∠BAF=90°
∴∠AFB=∠AFD=90°，
在△BAF和△DAF中
∴△ABF≌△ADF***ASA***，
∴AB=AD，∴①正確;
∵∠BAD=∠2=∠3，
∴點A、B、E、C在同一個圓上，
∴∠BAE=∠4=∠3，∠ABC=∠6，
∴BE=CE，
∵∠5=∠ADB=∠ABD，∠BAE=∠4，
∴∠5=∠6，
∴CE=CD，
即CD=CE=BE，∴③正確;
∵∠6+∠2+∠ACE=180°，∠6=∠5=∠ADB=∠ABD=90°﹣ ∠2.
∴∠ACE=180°﹣∠6﹣∠2=90°﹣ ∠2，
∴∠ACE=∠6，
∴AE=CE，∴②正確
∵∠5=∠2+∠7=90°﹣ ∠2，
∴∠7=90°﹣ ∠2，
∵∠BAD=∠4=∠2，
∴∠4≠∠7，∴④錯誤;
故選C.
10. 【分析】因為最小角為60度，則該三角形的最大角不能大於60度，否則最小的角將不是60°，則可以得到其三個角均為60度，即是一個等邊三角形.
【解答】解：因為最小角為60度，則該三角形的最大角不能大於60度，否則不合題意，則可以得到其三個角均為60度，即是一個等邊三角形;
其最大角不大於90度，所以是銳角三角形;
等邊三角形是特殊的等腰三角形.
所以前三項正確，即正確有三個.
故選C.
11. 【分析】根據非負數的性質列式求解得到a=b=c，然後選擇答案即可.
【解答】解：△ABC中，三邊a，b，c滿足|b﹣c|+***a﹣b***2=0，
∴b﹣c=0，a﹣b=0，
∴a=b=c，
∴三角形是等邊三角形，所以∠A=60°.
故答案選：A.
12.【分析】連線AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根據HL證兩三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，過F作FZ⊥GI，過E作EN⊥GI於N，得出平行四邊形FZNE得出EF=ZN= a，求出GI的長，求出第一個正六邊形的邊長是 a，是等邊三角形QKM的邊長的 ;同理第二個正六邊形的邊長是等邊三角形GHI的邊長的 ;求出第五個等邊三角形的邊長，乘以 即可得出第六個正六邊形的邊長.
【解答】解：連線AD、DF、DB.
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中
∴Rt△ABD≌Rt△AFD***HL***，
∴∠BAD=∠FAD= ×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分別為AF、DE中點，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，△QKM是等邊三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等邊三角形QKM的邊長是a，
∴第一個正六邊形ABCDEF的邊長是 a，即等邊三角形QKM的邊長的 ，
過F作FZ⊥GI於Z，過E作EN⊥GI於N，
則FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四邊形FZNE是平行四邊形，
∴EF=ZN= a，
∵GF= AF= × a= a，∠FGI=60°***已證***，
∴∠GFZ=30°，
∴GZ= GF= a，
同理IN= a，
∴GI= a+ a+ a= a，即第二個等邊三角形的邊長是 a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第二個正六邊形的邊長是 × a;
同理第第三個等邊三角形的邊長是 × a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第三個正六邊形的邊長是 × × a;
同理第四個等邊三角形的邊長是 × × a，第四個正六邊形的邊長是 × × × a;
第五個等邊三角形的邊長是 × × × a，第五個正六邊形的邊長是 × × × × a;
第六個等邊三角形的邊長是 × × × × a，第六個正六邊形的邊長是 × × × × × a，
即第六個正六邊形的邊長是 × a，
故選：A.
二.填空題***共6小題***
13.【分析】本題主要是根據軸對稱圖形的性質來做，就是從陰影部分圖形的各頂點向虛線作垂線並延長相同的距離找對應點，然後順次連線各點就可.
【解答】解：所作圖形如圖：
14.【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得點O到AB、AC、BC的距離都相等***即OE=OD=OF***，從而可得到△ABC的面積等於周長的一半乘以3，代入求出即可.
【解答】解：如圖，連線OA，過O作OE⊥AB於E，OF⊥AC於F，
∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC的周長是22，OD⊥BC於D，且OD=3，
∴S△ABC= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF= ×***AB+BC+AC***×3
= 20×3=30，
故答案為：30.
15.【分析】本題由題意可知有兩種情況，AB+AD=15或AB+AD=21.從而根據等腰三角形的性質及三角形三邊關係可求出底邊為8或16.
【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中線，可設AD=CD=x，則AB=AC=2x，
又知BD將三角形周長分為15和21兩部分，
∴可知分為兩種情況
①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此時BC=21﹣x=21﹣5=16;
②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7;此時等腰△ABC的三邊分別為14，14，8.
經驗證，這兩種情況都是成立的.
∴這個三角形的底邊長為8或16.
故答案為：16或8.
16.【分析】根據已知條件求證△EBO≌△DCO，然後可得∠OBC=∠OCB再利用兩角相等即可判定△ABC是等腰三角形.此題答案不唯一.
【解答】答：由①③條件可判定△ABC是等腰三角形.
證明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，***對頂角相等***
BE=CD，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形.
17.【分析】根據AO、BO分別是角平分線和MN∥BA，求證△AON和△BOM為等腰三角形，再根據AC+BC=24，利用等量代換即可求出△CMN的周長
【解答】解：AO、BO分別是角平分線，
∴∠OAN=∠BAO，∠ABO=∠OBM，
∵MN∥BA，∴∠AON=∠BAO，∠MOB=∠ABO，
∴AN=ON，BM=OM，即△AON和△BOM為等腰三角形，
∵MN=MO+ON，AC+BC=24，
∴△CMN的周長=MN+MC+NC=AC+BC=24.
故答案為：24.
18.【分析】根據等邊三角形的三邊都相等，三個角都是60°，可以證明△ACD與△BCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=BE，所以①正確，對應角相等可得∠CAD=∠CBE，然後證明△ACP與△BCQ全等，根據全等三角形對應角相等可得PC=PQ，從而得到△CPQ是等邊三角形，再根據等腰三角形的性質可以找出相等的角，從而證明PQ∥AE，所以②正確;根據全等三角形對應邊相等可以推出AP=BQ，所以③正確，根據③可推出DP=EQ，再根據△DEQ的角度關係DE≠DP.
【解答】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴180°﹣∠ECD=180°﹣∠ACB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE***SAS***，
∴AD=BE，故①小題正確;
∵△ACD≌△BCE***已證***，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°***已證***，
∴∠BCQ=180°﹣60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP與△BCQ中， ，
∴△ACP≌△BCQ***ASA***，
∴AP=BQ，故③小題正確;PC=QC，
∴△PCQ是等邊三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②小題正確;
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD﹣AP=BE﹣BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④小題錯誤.
綜上所述，正確的是①②③.
故答案為：①②③.
三.解答題***共8小題***
19.***【分析】***1***根據平面直角座標系寫出即可;
***2***根據關於原點對稱的點的橫座標與縱座標都互為相反數解答;
***3***利用三角形所在的矩形的面積減去四周三個直角三角形的面積，列式計算即可得解;
***4***根據網格結構找出點A、B、C關於x軸的對稱點A′、B′、C′的位置，然後順次連線即可.
【解答】解：***1***點C的座標是***﹣3，﹣2***;
***2***點B關於原點的對稱點的座標是***1，﹣3***;
***3***△ABC的面積=6×6﹣ ×2×5﹣ ×1×6﹣ ×4×6，
=36﹣5﹣3﹣12，
=36﹣20，
=16;
***4***如圖所示，△A′B′C′即為所求作的三角形.
故答案為：***1******﹣3，﹣2***，***2******1，﹣3***，***3***16.
20.【分析】***1***根據角平分線性質可證ED=EC，從而可知△CDE為等腰三角形，可證∠ECD=∠EDC;
***2***由OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，OE=OE，可證△OED≌△OEC，可得OC=OD;
***3***根據ED=EC，OC=OD，可證OE是線段CD的垂直平分線.
【解答】證明：***1***∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，即△CDE為等腰三角形，
∴∠ECD=∠EDC;
***2***∵點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，
∴△OED≌△OEC***AAS***，
∴OC=OD;
***3***∵OC=OD，且DE=EC，
∴OE是線段CD的垂直平分線.
21.【分析】***1***根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，根據等邊對等角可得∠B=∠BAE，再根據三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和可得∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，然後在△ACE中，根據直角三角形兩銳角互餘列出方程求解即可;
***2***利用勾股定理列式求出BC=4，設AE=BE=x，表示出CE=4﹣x，然後在Rt△ACE中，利用勾股定理列式求出x，再根據三角形的周長的定義列式計算即可得解.
【解答】解：***1***∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∴∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，
在△ACE中，∠CAE+∠CEA=∠B+30°+2∠B=90°，
解得∠B=20°;
***2***由勾股定理得，BC= = =4，
設AE=BE=x，則CE=4﹣x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2=AE2，
即32+***4﹣x***2=x2，
解得x= ，
∴△AEB的周長= ×2+5=11.25.
22.【分析】可設一邊長為x，則另一邊長為2x，然後分x為腰和底兩種情況，表示出周長解出x，再利用三角形三邊關係進行驗證即可.
【解答】解：設一邊為xcm，則另一邊為2xcm，
當長為xcm的邊為腰時，此時三角形的三邊長分別為xcm、xcm、2xcm，
由題意可列方程：x+x+2x=30，解得x=7.5，此時三角形的三邊長分別為：7.5、7.5和15，因為7.5+7.5=15，不符合三角形三邊之間的關係，所以不符合題意;
當長為xcm的邊為底時，此時三角形的三邊長分別為xcm、2xcm、2xcm，
由題意可列方程：x+2x+2x=30，解得x=6，此時三角形的三邊長分別為：6、12、12，滿足三角形的三邊之間的關係，
所以這個三角形的各邊長分別為6cm、12cm和12cm.
23.【分析】***1***根據EF∥BC，∠B、∠C的平分線交於O點，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上題目中給出的AB=AC，共5個等腰三角形;根據等腰三角形的性質，即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關係.
***2***根據EF∥BC 和∠B、∠C的平分線交於O點，還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形;利用幾個等腰三角形的性質即可得出EF與BE，CF的關係.
***3***EO∥BC和OB，OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線，還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形.
【解答】解：***1***有5個等腰三角形，EF與BE、CF間有怎樣的關係是：EF=BE+CF=2BE=2CF.理由如下：
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
又∠B、∠C的平分線交於O點，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，
∴OE=BE，OF=CF，
∴EF=OE+OF=BE+CF.
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，
∴EF=BE+CF=2BE=2CF;
***2***有2個等腰三角形分別是：等腰△OBE和等腰△OCF;
第一問中的EF與BE，CF的關係是：EF=BE+CF.
***3***有，還是有2個等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE﹣CF，理由如下：
∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG***G是BC延長線上的一點***
又∵OB，OC分別是∠ABC與∠ACG的角平分線
∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCD，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE，
∠FCO=∠FOC，
∴CF=FO，
又∵EO=EF+FO，
∴EF=BE﹣CF.
24.【分析】***1***畫出圖形，利用三角形內角和進行計算，可得等腰直角三角形是“少見的三角形”;
***2***畫出圖形，利用等腰三角形的性質、三角形內角和進行解答;
***3***有，畫出圖形，利用等腰三角形的性質、三角形內角和進行解答.
【解答】解：***1***如圖1，
當過頂角∠C的頂點的直線CD把△ABC分成了兩個等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，
設∠A=x°，
則∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
則頂角是90°;
∴△ABC是等腰直角三角形，
即等腰直角三角形是“少見的三角形”;
***2***如圖2，
AC=CD=AB，BD=AD，
設∠B=x°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x°，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=x°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°，
∵AC=DC，
∴∠ADC=∠CAD=2x°，
∴∠BAC=3x°，
∴x+x+3x=180，
x=36°，
則頂角∠BAC=108°.
***3***如圖3，
當過底角∠CAB的角平分線AD把△ABC分成了兩個等腰三角形，則有AC=BC，AB=AD=CD，
設∠C=x°，
∵AD=CD，
∴∠CAD=∠C=x°，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB=2x°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B=2x°，
∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36°，
則頂角是36°.
25.【分析】***1***根據等邊三角形性質和等腰三角形的性質求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可;
***2***過E作EF∥BC交AC於F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可;
***3***當D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時，由***2***求出CD=3，當E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時，求出CD=1.
【解答】解：***1***故答案為：=.
***2***過E作EF∥BC交AC於F，
∵等邊三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中
，
∴△DEB≌△ECF，
∴BD=EF=AE，
即AE=BD，
故答案為：=.
***3***解：CD=1或3，
理由是：分為兩種情況：①如圖1
過A作AM⊥BC於M，過E作EN⊥BC於N，
則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM= BC= ，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴ = ，
∴ = ，
∴BN= ，
∴CN=1+ = ，
∴CD=2CN=3;
②如圖2，作AM⊥BC於M，過E作EN⊥BC於N，
則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM= BC= ，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴ = ，
∴ = ，
∴MN=1，
∴CN=1﹣ = ，
∴CD=2CN=1，
即CD=3或1.
26. 【分析】***1***當E為中點時，過E作EF∥BC交AC於點F，則可證明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB;
***2***類似***1***過E作EF∥BC交AC於點F，可利用AAS證明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再證明△AEF是等邊三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB;
***3***分為四種情況：畫出圖形，根據等邊三角形性質求出符合條件的CD即可.
【解答】解：***1***如圖1，過點E作EF∥BC，交AC於點F，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
∴△BDE≌△FEC***AAS***，
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案為：=;
***2***如圖2，過點E作EF∥BC，交AC於點F，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC***AAS***，
∴BD=EF，
∴AE=BD.
***3***解：分為四種情況：
如圖3，
∵AB=AC=1，AE=2，
∴B是AE的中點，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形***根據直角三角形斜邊的中線等於斜邊的一半***，
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，
即△DEB是直角三角形.
∴BD=2BE=2***30°所對的直角邊等於斜邊的一半***，
即CD=1+2=3.
如圖4，
過A作AN⊥BC於N，過E作EM⊥CD於M，
∵等邊三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN= BC= ，CM=MD= CD，AN∥EM，
∴△BAN∽△BEM，
∴ ，
∵△ABC邊長是1，AE=2，
∴ = ，
∴MN=1，
∴CM=MN﹣CN=1﹣ = ，
∴CD=2CM=1;
如圖5，
∵∠ECD>∠EBC***∠EBC=120°***，而∠ECD不能大於120°，否則△EDC不符合三角形內角和定理，
∴此時不存在EC=ED;
如圖6，
∵∠EDC<∠ABC，∠ECB>∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD>∠EDC，
即此時ED≠EC，
∴此時情況不存在，
答：CD的長是3或1.
故答案為：1或3.