一元二次方程教案人教版_一元二次方程專題練習

　　只含有一個未知數***一元***，並且未知數項的最高次數是2***二次***的整式方程叫做一元二次方程。下面小編給你分享一元二次方程教案人教版，歡迎閱讀。

　　一元二次方程教案人教版

　　學情分析：

　　學生在七年級和八年級已經學習了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基礎上本節課將從實際問題入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.

　　教學目標

　　知識技能：

　　1、 理解一元二次方程的概念.

　　2、掌握一元二次方程的一般形式，正確認識二次項係數、一次項係數及常數項.

　　數學思考：

　　1、通過一元二次方程的引入，培養學生建模思想，歸納、分析問題及解決問題的能力.

　　2、通過一元二次方程概念的學習，培養學生對概念理解的完整性和深刻性.

　　3、由知識來源於實際，樹立轉化的思想，由設未知數、列方程向學生滲透方程的思想，從而進一步提高學生分析問題、解決問題的能力.

　　解決問題：

　　在分析、揭示實際問題的數量關係並把實際問題轉化為數學模型***一元二次方程***的過程中使學生感受方程是刻畫現實世界數量關係的工具，增加對一元二次方程的感性認識.

　　情感態度：

　　1、培養學生自主自主學習、探究知識和合作交流的意識.

　　2、激發學生學數學的興趣，體會學數學的快樂，培養用數學的意識.

　　教學重點：

　　一元二次方程的概念及一般形式.

　　教學難點：

　　1、由實際問題向數學問題的轉化過程.

　　2、正確識別一元二次方程一般形式中的“項”及“係數”.

　　教學互動設計：

　　一、自主學習 感受新知

　　【問題1】有一塊麵積為900平方米的長方形綠地，並且長比寬多10米，則綠地的長和寬各為多少?

　　【分析】設長方形綠地的寬為x米，依題意列方程為：x***x+10***=900;

　　整理得： x2+10x-900=0 ①

　　【問題2】學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計至明年年底增加到7.2萬冊，求這兩年的年平均增長率。

　　【分析】設這兩年的年平均增長率為x，依題列方程為：5***1+x***2=7.2;

　　整理得： 5 x2+10x-2.2=0 ②

　　【問題2】學校要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽?

　　【分析】全部比賽共4×7=28場，設應邀請x個隊參賽，則每個隊要與其它 ***x-1***隊各賽1場，全場比賽共場，依題意列方程得：;

　　整理得： x2-x-56=0 ③

　　***設計意圖：在現實生活中發現並提出簡單的問題，吸引學生的注意力，激發學生自主學習的興趣和積極性。 同時通過解決實際問題引入一元二次方程的概念,同時可提高學生利用方程思想解決實際問題的能力。***

　　二、自主交流 探究新知

　　【探究】***1***上面三個方程左右兩邊是含未知數的 整式 ***填 “整式”“分式”等***;

　　***2***方程整理後含有 一 個未知數;

　　***3***按照整式中的多項式的規定，它們最高次數是 二 次。

　　【歸納】

　　1、一元二次方程的定義

　　等號兩邊都是 整式 ，只含有 一 個求知數***一元***，並且求知數的最高次數是 2 ***二次***的方程，叫做一元二次方程。

　　2、一元二次方程的一般形式

　　一般地，任何一個關於x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式：

　　ax2+bx+c=0***a≠0***

　　這種形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次項，a是二次項係數，bx是一次項，b是一次項係數，c是常數項。

　　【強調】方程ax2+bx+c=0只有當a≠0時才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0時就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必須包含a≠0這個條件。

　　***設計意圖：由於學生已熟練掌握了整式、分式、一元一次方程等概念，所以從未知數的個數及最高次數提問，引導學生歸納共同點是符合學生的認知基礎的。學生的自主觀察、比較、歸納是活動有效的保證，教學中應當讓學生充分的探究和交流。同時，在概念教學中類比是幫助學生正確理解概念的有效方法。***

　　【對應練習】判斷下列方程，哪些是一元二次方程?哪些不是?為什麼?

　　***1***x3-2x2+5=0; ***2***x2=1;

　　***3***5x2-2x-=x2-2x+; ***4***2***x+1***2=3***x+1***;

　　***5***x2-2x=x2+1; ***6***ax2+bx+c=0

　　***設計意圖：此問題採取搶答的形式,提高學生學習數學的興趣和積極性。其目的是為了及時鞏固一元二次方程的概念，同時讓學生知道判斷一個方程是不是一元二次方程，首先要對其整理成一般形式，然後根據定義判斷。***

　　三、自主應用 鞏固新知

　　【例1】 已知方程***a-3***x|a-1|-2x+5=0，當 a=-1 時，此方程是一元二次方程，當a=0，2或3 時，此方程是一元一次方程。

　　***設計意圖：通過例1的學習，一是使學生進一步鞏固一元二次方程的概念，並注意其最基本的條件：未知數的最高次數為2，二次項係數不為0;二是使學生了解一元二次方程與一元一次方程的聯絡與區別。在填第一個空時要讓學生注意a值的取捨，填第二個空時要注意引導學生進行分類討論。***

　　【例2】將方程3x***x-1***=5***x+2***化成一元二次方程的一般形式，並寫出其中的二次項係數、一次項係數及常數項.

　　【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0***a≠0***.因此，方程3x***x-1***=5***x+2***必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等.

　　解：去括號，得：

　　3x2-3x=5x+10

　　移項合併同類項，得：

　　3x2-8x-10=0

　　其中二次項係數是3，一次項係數是-8，常數項是-10。

　　***設計意圖：通過例2的學習，一是使學生進一步掌握一元二次方程的一般形式，並注意強調二次項、二次項係數、一次項、一次項係數、常數項都包括前面的符號;二是使學生進一步瞭解方程的變形過程。***

　　四、自主總結 拓展新知

　　本節課你學了什麼知識?從中得到了什麼啟示?

　　1、a≠0是ax2+bx+c=0成為一元二次方程的必要條件，否則，方程ax2+bx+c=0變為bx+c=0，就不是一元二次方程。

　　2、找一元二次方程中的二次項係數、一次項係數、常數項，應先將方程化為一般形式。

　　***設計意圖：引導學生回顧本節課的學習內容，加強知識的形成。***

　　五、自主檢測 反饋新知

　　1、下列方程，是一元二次方程的是 ①④⑤ 。

　　①3x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③， ④ x2=0， ⑤

　　2、某學校準備修建一個面積為200平方米的矩形花圃，它的長比寬多10米，設花圃的寬為x米，則可列方程為x***x+10***=200，化為一般形式為x2+10x-200=0。

　　3、方程***m-2***x|m|+3mx+1=0是關於x的一元二次方程，則 m= -2 。

　　4、將方程***x+1***2+***x-2******x+2***=1化成一元二次方程的一般形式為 2x2+2x-4=0 ，其中二次項是 2x2 ，二次項係數是 2 ，一次項是 2x ，一次項係數是 2 ，常數項是 -4 。

　　***設計意圖：隨堂檢測學生對新知識的掌握情況，及時瞭解反饋和調整後續教學內容與教法。***

　　六、課後作業

　　教科書第28頁 1 2 5 6 7

　　教學理念與反思

　　本節內容是九年級數學第二章的第一課時，通過對本節課的學習，學生將掌握一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0***a≠0***和二次項、二次項係數、一次項、一次項係數和常數項，是典型的概念教學課。

　　概念教學總是遵循這樣的規律：引入概念、形成概念、鞏固概念、運用概念和深化概念，在設計教學中也是遵循這一規律，通過學習、交流、應用、總結、檢測這五個環節來完成教學任務。首先通過三個問題讓學生建立一元二次方程順利引入到新課;然後通過交流探究歸納出一元二次方程的概念，使學生體會到學習一元二次方程的必要性，探討一元二次方程的一般形式及相關概念，並學會利用方程解決實際問題，從而獲得本課的新知識;再次是通過兩個例題達到鞏固、運用概念的作用;最後通過總結與檢測來深化學生所學知識，並運用到實際問題中去，使學生熟練掌握所學知識。

　　教學過程中，強調自主學習，注重合作交流，讓學生與學生的交流合作在探究過程中進行，使他們在自主探究的過程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，並獲得數學活動的經驗，提高探究、發現和創新能力。

　　一元二次方程習題

　　1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成***x-p***2=7的形式，那麼x2-6x+q=2可以配方成下列的*** ***

　　A、***x-p***2=5 B、***x-p***2=9

　　C、***x-p+2***2=9 D、***x-p+2***2=5

　　2、已知m是方程x2-x-1=0的一個根，則代數式m2-m的值等於*** ***

　　A、-1 B、0 C、1 D、2

　　3、若α、β是方程x2+2x-2005=0的兩個實數根，則α2+3α+β的值為*** ***

　　A、2005 B、2003 C、-2005 D、4010

　　4、關於x的方程kx2+3x-1=0有實數根，則k的取值範圍是*** ***

　　A、k≤- B、k≥- 且k≠0

　　C、k≥- D、k>- 且k≠0

　　5、關於x的一元二次方程的兩個根為x1=1，x2=2，則這個方程是*** ***

　　A、 x2+3x-2=0 B、x2-3x+2=0

　　C、x2-2x+3=0 D、x2+3x+2=0

　　6、已知關於x的方程x2-***2k-1***x+k2=0有兩個不相等的實根，那麼k的最大整數值是*** ***

　　A、-2 B、-1 C、0 D、1

　　7、某城2004年底已有綠化面積300公頃，經過兩年綠化，綠化面積逐年增加，到2006年底增加到363公頃，設綠化面積平均每年的增長率為x，由題意所列方程正確的是*** ***

　　A、300***1+x***=363 B、300***1+x***2=363

　　C、300***1+2x***=363 D、363***1-x***2=300

　　8、甲、乙兩個同學分別解一道一元二次方程，甲因把一次項係數看錯了，而解得方程兩根為-3和5，乙把常數項看錯了，解得兩根為2+ 和2- ，則原方程是*** ***

　　A、 x2+4x-15=0 B、x2-4x+15=0

　　C、x2+4x+15=0 D、x2-4x-15=0

　　十字相乘法解一元二次方程介紹

　　在解一元二次方程時，常常需要用到分解因式，但是教材中一般只介紹了提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法.

　　本期我們將介紹一種在因式分解中起著重要作用的方法：十字相乘法.

　　先來看一個等式：

　　***x+a******x+b***=x²+***a+b***x+ab.

　　把這個等式反過來寫就是：

　　x²+***a+b***x+ab=***x+a******x+b***.

　　此時我們可以發現，如果一個式子可以化成x²+***a+b***x+ab的形式，它就可以通過因式分解得到***x+a******x+b***.

　　而x²+***a+b***x+ab的特點是：二次項x²的係數是1，一次項的係數與常數項有聯絡，一個是a+b,一個是ab.

　　現在我們來看兩個例題：

　　例1.解方程：x²+x-6=0.

　　分析：因為x的係數是1，所以我們要找兩個相加等與1的數，而且這兩個數乘積是-6. 於是我們找到了-2和3.

　　解：x²+x-6=***x+3***[x+***-2***]

　　=***x+3******x-2***=0.

　　所以方程的解為：

　　x1=-3, x2=2.

　　例2：解方程：x²+5x+6=0.

　　分析：因為x的係數是5，我們就要找兩個相加等與5的數，而且這兩個數乘積是6. 於是我們找到了2和3.

　　解：x²+x-6=***x+3******x+2***=0.

　　所以方程的解為：

　　x1=-3,x2=-2.

　　以下幾道習題留給讀者練習一下：

　　解下列方程：

　　x²+5x-6=0;

　　x²+7x+12=0;

　　x²+3x-10=0;

　　x²-5x+6=0;

　　x²-4x+3=0.

　　有的讀者會問為什麼叫十字相乘法，這與用這種方法解題的方式有關. 這要從這種方法的更一般的形式說起.

　　我們一起來看下面的等式：

　　***ax+b******cx+d***

　　=acx²+***ad+bc***x+bd.

　　這個等式反過來寫就是：

　　acx²+***ad+bc***x+bd

　　=***ax+b******cx+d***.

　　我們如果把二次項acx²的係數ac和常數項bd按下圖的方式寫在一個正方形的四個頂點處，那麼，讓同一條對角線上的兩個數相乘之後，我們就得到兩個乘積：ad和bc.

　　讓這兩個乘積相加，則有ad+bc，這正好是一次項***ad+bc***x的係數.

 

　　而在同一行，橫著的兩個數，讓左邊的數乘上x再加右邊的數，就得到：ax+b和cx+d兩個式子，這正是因式分解後得到的結果***ax+b******cx+d***中的兩個因式.

　　而上圖中出現的那個“×”，像個斜放著的“十”字，所以我們稱這種方法為：十字相乘法.

　　這個方法的應用如下：

　　例3. 解方程：6x²-2x-28=0.

　　分析：分別把6和-28進行分解，然後作十字相乘，找可以得到-2的結果.如圖：

 

　　這裡，6分解成2×3，-28分解成4×***-7***，作十字相乘，得到兩個乘積：-14和12，讓兩個積相加，就得到一次項的係數-2. 每一行，橫著的兩個數，左邊的數乘x再加上右邊的數，得到：2x+4和3x-7.

　　所以6x²-2x-28

　　=***2x+4******3x-7***=0

　　這個方程的解為：

 

　　以下是兩道練習：

　　解下列方程：

　　6x²+12x-48=0;

　　5x²-25x+20=0.

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