淺談數學與哲學關係的論文示例
在數學的哲學中，直覺主義可謂引起引起了現代學術思想的一次革命。數學與哲學的關係一是人們談論的問題。以下是小編整理的數學與哲學的論文的相關資料，歡迎閱讀!
數學與哲學的論文篇一
摘要：在數學哲學中，直覺主義可謂引起引起了現代學術思想的一次革命。雖然直覺主義可以追溯到康德，甚至柏拉圖。然而，它是近現代的，20世紀前20年，它作為一個獨立的數學哲學思潮而聞名。它是邏輯學哲學中的一次風暴逆襲，是經典數學的有力挑戰者。直覺主義強調“構造”，出發於“心智”。直覺主義把整個自然數論視為整個數學的基礎，直覺主義拒絕排中律和反證律，抵制實無窮而推崇潛無窮。隨著計算機的產生和發展，直覺主義在數字構造中起到了積極的應用。同時，直覺主義對數學哲學的創新教育等方面都有著不可忽視的影響。
關鍵詞：數學哲學 直覺主義 傳統邏輯 布勞威爾
一、 “存在必須是被構造”——直覺主義的產生
直覺intuition一詞意為未經充分邏輯推理的，直觀的，直接領捂事物本質的思考。與H.柏格森、B.克羅齊、E.胡塞爾等人的直覺主義不同，我們這裡所研究的“直覺”並不是指主體對於客觀事物的一種直接把握能力，而是指思維的本能上的一種心智活動。在這裡，直覺主義提倡的直覺，並非辯證唯物主義的“直觀的感覺”，其本意是“先驗的心智構造”，以此為出發點，形成了對數學物件“存在性”與“可構造性”等同的要求。[1]直覺主義哲學是一種反理性主義的唯心主義哲學思潮。數學研究中的構造主義是一種有關數學基礎的觀點，它主張自然數及其某些規律和方法，特別是數學歸納法，是可靠的出發點，其它一切數學物件和理論都應該從自然數構造出來。[2]“存在必須是被構造”，這是直覺主義派最著名的口號。也因此，直覺主義是一種構造邏輯。直覺派認為，數學中的概念和方法都是必須可以被構造的，非構造性的證明不是直覺主義者能接受的。在數學領域中，集合論悖論的問題不可能通過對已有的數學作某種區域性的修改和限制加以解決，而必須依靠一些可信的標準對已有的數學進行全面的審視和改造。直覺主義認為邏輯依賴於數學,而非數學依賴邏輯。數學建立在直覺的基礎上。同時，直覺主義認為哲學、邏輯甚至計數等概念都比數學複雜得多,不能作為數學的基礎,數學的基礎需要更簡單、更直接的概念,它就是直覺,直覺是心智的一項基本功能。[3]一位直覺主義數學家阿倫特·海廷Arend Heyting在他的論文《數學的直覺主義基礎》中指出：“立即處理數學的構造也許是符合直覺主義者的積極態度了。這個構造的最重要基石是一unity的概念，它是整數序列所依賴的構造原則。整數必須作為單位units來看待，這些單位僅僅由於在這個序列中的位置而相互區別。”[4]61
直覺主義者認為，數學的基礎在於數學直覺，在他們看來，建立在數學直覺之上的理論能使“概念和推理十分清楚地呈現在我們面前”，即“對於思想來說是如此的直接，而其結果又是如此的清楚，以致不再需要任何鑄的什麼基礎了”A·黑丁:《直覺主義導論》。任何數學物件被視為思維構造的產物，所以一個物件的存在性等價於它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對於直覺主義者，這是不正確的;不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種;但它不是唯一的一類。直覺主義的基本哲學立場是，數學是人類心智“固有”的一種創造活動，是主體的自身的活動，而不是對外在的描述.數學概念是一種自主的智力活動的結果，智力活動則是研究自明定律所支配的思想構造。[5]
二、顛覆傳統邏輯，形式主義的逆襲——直覺主義的特點
直覺主義不承認實無窮，拒絕實際無窮的抽象。也就是說，它不考慮像所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定物件。數學上的實無窮思想是指：把無限的整體本身作為一個現成的單位，是已經構造完成了的東西，換言之，即是把無限物件看成為可以自我完成的過程或無窮整體。數學上存在著潛無窮與實無窮之爭，就如同哲學上存在著唯物主義與唯心主義之爭。而且必將長時間的持續的爭論不休。數學上的潛無窮思想是指：把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著被不斷產生出來的東西來解釋。舉個形象點的例子就是，構成一條直線的點有無窮個，並且這條直線永遠延伸著，不會有終結的一天。它永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在。按照全稱和條件量詞的標準直覺主義，一個證明就是這樣的潛無窮結構，這可能是合理的。達米特《直覺主義邏輯的哲學基礎》[4]142按照此觀點，所有的自然數可以構成一個集合，因為可以將所有的自然數看做是一個完成了的無窮整體。很顯然，直覺主義支援潛無窮的觀點，即把無窮集合看成無限延伸著的序列。
直覺主義反對排中律，這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。排中律和同一律、矛盾律並稱為形式邏輯的三大基本規律。傳統邏輯首先把排中律當作事物的規律，意為任一事物在同一時間裡具有某屬性或不具有某屬性，而沒有其他可能。排中律同時也是思維的規律，即一個命題是真的或不是真的，此外沒有其他可能。例如，說A 或 B, 對於一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。但是，對於排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否命題。
直覺主義主要對抗的是形式主義。多個世紀以來，對數學規律的無懈可擊的精確性的信念的依據是數學哲學研究的主要物件。直覺主義表示，精確性存在於人類心智之中，形式主義者認為，存在於紙面上。[4]90
直覺主義具有非邏輯性和整體性。數學直覺是作為邏輯的對立面而介定的一種認識方法,因此非邏輯性是數學直覺的最主要特性。可以說數學直覺的其他特性都是由它的非邏輯性所決定的,這是許多哲學家、科學家的共同見解。[6]直覺主義認為，數學是心靈的創造活動，心靈是豐富的，邏輯則是貧乏的。因此，堅決不能用貧乏的邏輯規則來全面準確地規劃豐富的心靈活動。直覺主義的另一位代表人物阿倫特?海廷Arend Heyting說：“邏輯屬於應用數學”。在對於直覺主義整體性上，一個日本數學家有如下精闢的解釋：當一個人已經長期而持續地從事了研究並已成為一個完全成熟的研?a href='//' target='_blank'>咳嗽筆?他就已經在自己的頭腦中形成了一種相對穩定的知識體系。經過他自己的努力,這種知識體系已被綜合成為一種特殊的,確定的形式。而且自己綜合的工作當然本身就是一種極有價值的經驗。[7]
彭加勒在《數學中的直覺和邏輯》一文中寫道：
哲學家告訴我們，純邏輯永遠也不能使我們得到任何東西;它不能創造任何新東西，任何科學也不能僅僅從它產生出來。在某種憊義上，這些哲學家是對的;要構成算術，像要構成幾何學或構成任何科學一樣，除了純邏輯之外，還需要其他東西。為了稱呼這種東西，我們只好使用直覺這個詞。可是，在這同一諭後，潛藏著多少不同的意思呢?比較一下這四個公理:1等於第三個最的兩個量相等;2若一定理對數1為真，假定它對N為真，如果我們證明它對N+1為真，則它對所有整數均為真;3設在一直線上，C點在A與B之間，D點在A與C之間，則D點將在A與B之間;4通過一個定點僅有一條直線與已知直線平行。所有這四個公理都歸之於直覺，不過第一個闡明瞭形式邏輯諸法則中的一個法則;第二個是真實的先驗綜合判斷，它是嚴格的數學歸納法的基礎;第三個求助於想象:第四個是偽定義。直覺不必建立在感覺明白之上;感覺不久便會變得無能為力。[8]
值得注意的是，直覺主義不是神祕主義。直覺的“不可解釋性”並不等於直覺的“神祕性”，儘管直覺是“不可解釋”的，但它卻有著確定的本質。我們認為，直覺是認識過程中的一種飛躍，因此它就不是一種經驗的認識，而是原來的思想路線的中斷，不可能按照通常的思維方式，用結論和推理的環節把它連線起來，所以直覺是“不可解釋的”。[9]
三、從Kant到Dummett，直覺主義派的主要人物及其思想
伊曼努爾·康德Immanuel Kant, 1724-1804，從某種意義上來說，直覺主義是由哲學家康德開始的。1755到1770年，康德在哥尼斯堡大學教物理和數學，他認為我們所有的感覺都來自於一個預先假定的外部世界。雖然這些感覺不能提供任何知識，但是被感知到的物體間相互作用就產生了知識。心智將這些感覺梳理清楚，得到對空間和時間的直覺。康德說，感性直覺有兩個純形式，它們是先天知識的原則，這兩個純形式就是空間和時間。空間是外直覺的純形式，而時間是內直覺的純形式，它們都不是從外鄰經驗得來的，而是必然的、先天的觀念。空間和時間不是客觀存在的，而是心智的創作。心智理解經驗，經驗喚醒心智。雖然康德的思想有著直覺主義的影子，但是依舊沒有直觀地提出直覺主義，就數學基礎的方法而言，直覺主義是現代的。[10]
亨利·彭加勒常譯作龐加萊，Henry Poincare，1854-1912，當代語境中的數學直覺主義的先驅。後人評價為數學哲學與當代數學直覺主義之間的一座橋樑。邏輯主義對於數學基礎的理解是虛幻的。它使數學失去基礎。然而數學的基礎是存在的，它就是我們的直覺。它賦予數學以意義，從而給數學以物件。彭加勒指明瞭一座本來就架在人類精神和數學存在之間的橋樑，那便是我們的數學直覺。[11]彭加勒主張自然數是最基本的直覺，認為數學歸納法是一種包含直觀的思維方法，是不能簡單地歸結為邏輯的。他主張使用有限個詞能定義的概念，主張數學物件的可構造性。他還在另一種意義上理解和強調數學直覺，將其看做選擇和發明的工具。彭加勒認為，我們有多種直覺。然而，最重要的可以歸結為兩類：一是“純粹直覺”，即他通常所說的“純粹數的直覺”、“純粹邏輯形式的直覺”、“數學次序的直覺”等，這主要是解析家的直覺;二是“可覺察的直覺”，即想象，這主要是幾何學家“形”的直覺。對於這兩類直覺，他認為都是必要的，各自發揮著不同的作用。他認為，這兩類直覺“似乎發揮出我們心靈的兩種不同的本能”，它們像“兩盞探照燈，引導陌生人相互來往於兩個世界”。[12]
布勞威爾L.E.J.Brouwer，1881-1966，直覺主義真正的創始人和奠基人是布勞威爾。布勞威爾在數學上的直覺主義立場來源於他的哲學。1907年他在博士論文《數學基礎》中提出直覺主義觀點,認為數學的基礎是先驗的初始直覺。數學是起源於和產生於頭腦的人類活動，不存在於頭腦之外，因此，是獨立於真實世界的。布勞威爾認為數學思維是智力構造的一個過程，它建造自己的天地，獨立於經驗，並且只受到必須建立於基本的數學直覺之上的限制。[10]布勞維爾發表的《數學基礎》表明直覺主義的立場是強調“直覺”，這並不是說否認數學的邏輯性和嚴謹性,而只是突出直覺、靈感和創造力在數學中的地位。直覺主義者認為數學不僅是最講究嚴格性的科學,也是最富有創造性的科學。布勞維爾認為數學的基礎是先驗的初始直覺,他和他的學生說他們所說的直覺正是人心對於它本身所構造的東西的清晰理解。[13]布勞維爾修改了康德的先驗時空學說，放棄了“外直覺的純形式”的先驗時空概念，以適應非歐幾何的發展;池把數學的基本直覺建立在“內直覺的純形式”的先驗時間概念的基礎之上。[14]布勞威爾還提出了“二·一原則”tow-oneness。他認為這是數學的基本直覺。即假設N成立，則N+1成立。這個過程可以無限重複，創造了一切有限序數，因為“二·一原則”的元素之一可以被認為是一個新的“二·一原則”。布勞威爾認為，在這個數學的基本直覺中，聯通和分離、連續和離散得到統一，並直接引出了線性連續統的直覺，即“介於”between的直覺。布勞威爾《直覺主義和形式主義》[4]93
阿倫特·海廷Arend Heyting，1898-1980，他是布勞威爾的學生。繼承了布勞威爾有關數學直覺主義的思想。他認為，直覺主義是從一定的、多少有點任意的假設出發的。它的主題是構造性的數學思想。這使得它處於經典數學之外。形式主義和直覺主義的差別在於，直覺主義的進行獨立於形式化，形式化只能追隨在數學構造的後面。邏輯不是直覺主義的立足點，數學構造在頭腦中是很直接的，結論也應該是很清楚的，所以不需要任何基礎。海廷主張，在描述直覺主義數學時，應當在日常生活中去理解。比如，在注視那邊樹木時，我確信我看到樹木，而實際上光波達到我眼中，使我構造出樹木這一信念需要相當的訓練。這種觀點是自然的。兩個人說話，我向你灌輸意見，實際製造了空氣的震動。這是理論的構造。阿倫特·海廷《論辯》[4]77-88
邁克爾·達米特又譯米歇爾·杜麥特Michael Dummett，1925-2011，當代數學直覺主義學派的代表人物。達米特認為，數學首先是先驗的，然後是分析的。達米特曾經從語言學角度和意義理論角度為直覺主義辯護。直覺主義關於數學陳述意義的解釋避免了以真概念為核心概念的意義理論的不足，它把說話者關於數學陳述的理解與說話者使用這個陳述的實際能力結合在一起，因此具有很大的優點。從直覺主義關於數學陳述的意義說明出發，達米特提出了以證實為核心概念的新的意義理論的構想。[15]202達米特指出：“對於直覺主義邏輯來說，排中律的雙重否定是有效的語義原則，就像二值邏輯認為排中律本身是有效的一樣：斷言任何陳述既不真也不假是不一致的。”[4]132
四、直覺主義的意義以及合理性
直覺主義對古典邏輯中的排中律和雙重否定律等原理中的部分原則以及非構造性的結論持否定態度，也不承認數學中的實無限的物件和方法。數學的歷史也表明，數學知識與理論不僅無法脫離對外部世界的永恆的依存關係，而且數學的錯誤不是通過限制數學，如排斥非構造數學和傳統邏輯而得到克服的。數學真理的積累以及對謬誤的拋棄是通過數學知識的不斷增長和理論的不斷完善獲得的。一句話、數學的生命在於生生不息的創造過程中。慶幸的是，直覺主義由十其思想體系中某種先天的弱點而末成為數學的統治思想。但也應看到其構造思想的重要價值。[16]123-124可以說，直覺主義學派在本質上是主觀和荒謬的，以直覺上的可構造性為由來絕對的肯定直覺派數學是不能真正解決問題的。但是，直覺主義揭示了經典邏輯只具有相對的真理性，在具體的數學工作中具有重要意義。
首先，數學哲學中的直覺主義學派高度認可直覺和個人的創造性思維在科學實踐中的作用，推動了現代遞迴函式論的建立和發展，這無疑對數學的進步起到了很積極的作用。其次，直覺主義者倡導的構造性的能行性的研究方法,促進了人工智慧和電腦科學的發展。這種積極探討可行性方法在計算機數學以及電腦科學中具有重大的現實意義。第三，直覺主義數學哲學的思想方法在素質教育理論研究與實踐上，具有寶貴的參考價值。在數學教育中，邏輯的作用很明顯，其特徵為，從已知知識出發,依據邏輯規則進行推導和演算,一步一步地達到對研究物件的認識。而直覺主義可以跳躍式地認知，雖然能一步得到正確答案，卻無法說清楚其中的步驟。直覺主義雖排斥傳統邏輯，但與邏輯關係十分密切，對培養良好的數學邏輯觀念有著不可忽視的作用。另外，直覺主義有助於培養數學教育中大膽猜測的思維習慣。這種創新和探索精神有利於數學的進步和發展。
參考文獻：
[1] 傅敏.直覺主義數學哲學研究及其對數學素質教育的啟示[J].西北師範大學學報自然科學版，19961.
[2] 諸葛殷同.對傳統邏輯的有力挑戰——評《經典邏輯與直覺主義邏輯》[J].哲學動態，19904.
[3] 柯華慶.直覺主義數學哲學的兩個階段[J].學術研究，20052.
[4] 保羅·貝納塞拉夫美，希拉里?普特南美.數學哲學[M].北京：商務印書館，2003.
[5] 黃秦安.數學哲學與數學文化[M].西安：陝西師範大學出版社，1999.