反三角函式的定義域是什麼
反三角函式是一種數學術語。反三角函式並不能狹義的理解為三角函式的反函式,是個多值函式。它是反正弦Arcsin x,反餘弦Arccos x,反正切Arctan x,反餘切Arccot x這些函式的統稱,各自表示其正弦、餘弦、正切、餘切為x的角。以下是小編為大家整理的關於反三角函式定義域,歡迎大家前來閱讀!
反三角函式定義域
y=arcsin***x***,定義域[-1,1]
y=arccos***x***,定義域[-1,1]
y=arctan***x***,定義域***-∞,+∞***
y=arccot***x***,定義域***-∞,+∞***
sin***arcsin x***=x,定義域[-1,1]
反三角函式數學術語
為限制反三角函式為單值函式,將反正弦函式的值y限在-π/2≤y≤π/2,將y作為反正弦函式的主值,記為y=arcsin x;相應地,反餘弦函式y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函式y=arctan x的主值限在-π/2
反三角函式實際上並不能叫做函式,因為它並不滿足一個自變數對應一個函式值的要求,其影象與其原函式關於函式y=x對稱。其概念首先由尤拉提出,並且首先使用了【arc+函式名】的形式表示反三角函式,而不是f-1***x***。
⑴正弦函式y=sinx在[-π/2,π/2]上的反函式,叫做反正弦函式。arcsinx表示一個正弦值為x的角,該角的範圍在[-π/2,π/2]區間內。【圖中紅線】
⑵餘弦函式y=cosx在[0,π]上的反函式,叫做反餘弦函式。arccosx表示一個餘弦值為x的角,該角的範圍在[0,π]區間內。【圖中藍線】
⑶正切函式y=tanx在***-π/2,π/2***上的反函式,叫做反正切函式。arctanx表示一個正切值為x的角,該角的範圍在***-π/2,π/2***區間內。【圖中綠線】
註釋:【圖的畫法根據反函式的性質即:反函式影象關於y=x對稱】
反三角函式主要是三個:
y=arcsin***x***,定義域[-1,1],值域[-π/2,π/2]圖象用深紅色線條;
y=arccos***x***,定義域[-1,1],值域[0,π],圖象用深藍色線條;
y=arctan***x***,定義域***-∞,+∞***,值域***-π/2,π/2***,圖象用淺綠色線條;
y=arccot***x***,定義域***-∞,+∞***,值域***0,π***,暫無圖象;
sin***arcsinx***=x,定義域[-1,1],值域[-1,1]arcsin***-x***=-arcsinx
證明方法如下:設arcsin***x***=y,則sin***y***=x,將這兩個式子代入上式即可得
其他幾個用類似方法可得
cos***arccosx***=x,arccos***-x***=π-arccosx
tan***arctanx***=x,arctan***-x***=-arctanx
反三角函式數學公式
反三角函式其他公式:
cos***arcsinx***=***1-x^2***^0.5
arcsin***-x***=-arcsinx
arccos***-x***=π-arccosx
arctan***-x***=-arctanx
arccot***-x***=π-arccotx
arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
sin***arcsinx***=cos***arccosx***=tan***arctanx***=cot***arccotx***=x
arcsinx=x+x^3/***2*3***+***1*3***x^5/***2*4*5***+1*3*5***x^7***/***2*4*6*7***……+***2k+1***!!*x^***2k-1***/***2k!!****2k+1******+……***|x|<1***!!表示雙階乘
arccosx=π-***x+x^3/***2*3***+***1*3***x^5/***2*4*5***+1*3*5***x^7***/***2*4*6*7***……******|x|<1***
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……
舉例
當x∈[-π/2,π/2]有arcsin***sinx***=x
x∈[0,π],arccos***cosx***=x
x∈***-π/2,π/2***,arctan***tanx***=x
x∈***0,π***,arccot***cotx***=x
x>0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx類似
若***arctanx+arctany***∈***-π/2,π/2***,則arctanx+arctany=arctan******x+y***/***1-xy******
例如,arcsinχ表示角α,滿足α∈[-π/2,π/2]且sinα=χ;arccos***-4/5***表示角β,滿足β∈[0,π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ,滿足φ∈***-π/2,π/2***且tanφ=2
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