哈斯拉赫爾

[拼音]:Keluoneike bubianliang

[英文]:Kronecker invariants

描述多變數線性系統結構的一組引數。考慮線性系統

式中x(t)為n維狀態向量,u(t)為p 維輸入向量,y(t)為q維輸出向量;A、B、C分別為n×n、n×p、q×n維矩陣。如果系統是完全能觀測的(見能觀測性),它的能觀測性矩陣為

則F的秩為n。將F的行向量按一定的順序排列起來,例如C1,C2,…,Cq,C1A,C2A,…,CqA,…,C1An-1,C2An-1,…,CqAn-1;其中Ci為矩陣C的第i行。對這個向量序列從左向右逐個挑選,選出與前面所選出的向量線性無關的向量。這樣被選出來的向量恰好是 n個。若所選出的形如CiAj(i=1,2,…,q;j≥0)的向量的個數為vi,則有v1+v2+…+vq=n。陣列(v1, v2,…,vq)稱為能觀性指標。

如果系統是完全能控的(見能控性),它的能控性矩陣為

G=[B,AB,A2B,…,An-1B]

則G的秩為n。將G 的列向量按一定的順序排列起來,用上面同樣的辦法也能選出n個線性無關的向量,並得出一組整數型引數μi(i=1,2,…,p)。同樣,也有μ1+μ2+…+μp=n。陣列(μ1,μ2,…,μp)稱為能控性指標。

(v1,v2,…,vq)和(μ1,μ2,…,μp) 在代數等價的意義下是不變的,即對任何滿秩方陣T,系統(A,B,C)和系統(TAT-1,TB,CT-1)所決定的能觀測性和能控性指標是一樣的。這兩組指標都稱為克羅內克不變數。

不變數的值取決於選擇無關向量時向量的排列順序,順序不同可能得到不同的不變數,從而決定不同的規範型。但如果在選擇無關向量時的順序已經給定,則不變數和規範型就都是唯一確定的。

克羅內克不變數是研究線性系統的基本引數。如何通過輸入輸出資料去決定不變數組,是線性系統結構辨識的基本問題。