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[拼音]：lisan shijian xitong de Fuliye fenxi

[英文]：Fourier analysis in discrete time system

用傅立葉變換的方法在頻域中對離散時間線性時不變系統在零狀態下激勵訊號產生響應的問題進行分析。在頻域中研究離散時間系統中的問題常常比在時域中研究有其特殊的便利。由於離散時間序列的傅立葉變換把時域中的卷積計算變為頻域中的乘法計算，使訊號通過系統的問題得到簡化。還有訊號的調製、抽樣等實際問題，也需要用傅立葉方法進行分析。所以傅立葉分析在研究訊號與系統中是非常重要的。

離散時間系統可用差分方程

(1)

來描述。式中N 為差分方程的階數。用N 階差分方程描述的系統稱為N 階系統。任意階次的系統可以用一階或二階系統作為基本單元來構成，所以，離散時間系統研究的重點在一階和二階系統。高階系統則可以通過基本單元的適當聯接實現。

離散時間系統傅立葉分析所用的工具為離散時間序列的傅立葉變換。

離散時間系統的頻率響應

由於在時域中離散時間線性時不變系統的輸出序列y(n)等於該系統的單位衝激響應h(n)與輸入序列χ(n)的卷積

(2)

根據離散時間序列傅立葉變換的時域卷積定理，式(2)的傅立葉變換為

Y(ejw)＝H(ejw)·X(ejw) (3)

式中Y(ejw)、H(ejw)和X(ejw)分別為y(n)、h(n)和χ(n)的傅立葉變換。

定義離散時間線性時不變系統的頻率響應為該系統輸出序列的傅立葉變換與輸入序列的傅立葉變換之比。即

(4)

式中H(ejw)為離散時間線性時不變系統的頻率響應。已知系統的頻率響應，用它乘輸入序列的傅立葉變換，便得到系統的輸出序列的傅立葉變換。因此，頻率響應能全面地描述系統。

離散時間系統頻率響應的一般表示式為

(5)

頻率響應H(ejw)的物理意義，對離散時間系統輸入訊號e

，如圖所示，1

則

(6)

式中argH(ejw)為H(ejw)的相位。式(6)說明，訊號e

通過系統時，系統用它的頻率響應在幅度上和相位上對輸入訊號進行改變，使y(n)的幅度為｜H(ejw)｜，相位為ωn+argH(ejw)。

由於很多訊號可以看作是

，所以把e

稱為基本訊號或系統的本徵函式，而把H(ejw)稱為系統的本徵值。

如果輸入序列由不同頻率的基本訊號組成，

則系統的輸出為

(7)

式中H(e

)為系統對頻率ωk的頻率響應。也就是說，對於線性時不變離散時間系統，不同頻率的訊號通過系統時，系統以不同的頻率響應作用於輸入訊號各不同頻率的成分，而系統的輸出則為各不同頻率輸出的疊加。

頻率響應是一個隨頻率而變化的複數量。它一般寫成

(8)

式中｜H(ejw)｜是頻率響應的幅度，argH(ejw)是頻率響應的相位。｜H(ejw)｜隨頻率的變化稱為系統的幅頻特性，argH(ejw)隨頻率的變化稱為相頻特性。

根據系統的單位衝激響應 h(n)與頻率響應H(ejw)為一對傅立葉變換，所以已知H(ejw)後，便可通過

(9)

求出h(n)。

離散時間系統的級聯實現和並聯實現

式 (5)所示系統的頻率響應是一個有理式，其分母和分子都是以e

為變數的多項式。如果將分母和分子多項式都分解為因式，則頻率的響應可寫成

(10)

式中Hk(ejw)(k=1，2，…，N)為一階或二階系統的頻率響應。因此，系統的總的頻率響應可用級聯的形式來實現（圖2）。

如果將式(5)展開為部分分式，則

(11)

式中Hk(ejw)（k=1，2，…，N）為一階或二階系統的頻率響應。因此，系統的總的頻率響應可用並聯形式來實現(圖3)。

一階離散時間系統

在頻域中分析一階離散時間系統主要是研究它的頻率響應，包括幅頻特性和相頻特性。

描述一階離散時間系統的差分方程為

(12)

則其頻率響應為

(13)

於是幅頻特性

(14)

幅頻特性曲線如圖4所示。

相頻特性為

(15)

相頻特性曲線如圖5所示。

由於從H(ejw)可以直接求出h(n)，從式(13)得

(16)

在a為實數的情況下，當0＜a＜1，h(n)是個隨n增加而逐漸衰減的序列；當-1＜a＜0，h(n)是個隨n增加而交替正負並逐漸衰減的序列；當a＞1，h(n)是個隨n增加而逐漸增加的發散序列；當a＜-1， h(n)是個隨n增加而交替正負並逐漸增加的發散序列。

所以，在已知描述系統的差分方程後，可通過傅立葉變換得出頻率響應H(ejw)。這樣，當一個訊號序列χ(n)進入這個系統後，只要χ(n)的傅立葉變換乘以H(ejw)，就得到輸出序列的傅立葉變換Y(ejw)，再經過逆變換就得到y(n)。得知系統的H(ejw)後，也就知道了系統的時域效能。例如通過h(n)確定系統是否穩定，單位衝激響應是否交替變化等。